2024-2025学年江苏省泰州市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省泰州市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共34页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
2. 若是圆上任一点，则点到直线的距离的值不可能等于（ ）
A. 4B. 6C. D. 8
3. 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
4. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A. B. C. D.
5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D.
6. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ）
A B.
C. 以为直径的圆与相切D. 为等腰三角形
7. 对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则下列正确的是（ ）
A. ①成立②不成立B. ①不成立②成立
C. ①成立②成立D. ①不成立②不成立
8. 2024年3月，某科技公司启用具备“超椭圆”数学之美的新lg．设计师的灵感来源于曲线C：．其中星形线E：常用于超轻材料的设计．则下列关于星形线说法错误的是（ ）
A. E关于y轴对称B. E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C. 曲线E所围成图形的面积小于2D. E上的点到原点距离的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆
10. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
11. 已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（ ）
A 时，B.
C. D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
13. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是______.
14. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为，，点O为坐标原点，动点满足（且为常数），化简得曲线E：．下列命题中正确序号是__________．
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
②的最小值为2a；
③当时，的最大值为；
④面积不大于．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
16. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
17. 已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为.
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围.
18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
（1）求的方程；
（2）若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
19. 直线族是指具有某种共同性质直线的全体，例如表示过点2,1且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；
（2）若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；
（3）在（2）条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.
2024-2025学年江苏省泰州市高二上学期第一次月考数学学情
检测试题
注 意 事 项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【正确答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2. 若是圆上任一点，则点到直线的距离的值不可能等于（ ）
A. 4B. 6C. D. 8
【正确答案】D
【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.
【详解】如图，圆的圆心坐标为，半径为1，直线过定点．由图可知，圆心C到直线距离的最大值为，则点P到直线距离的最大值为；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是. 选项中仅D选项不在范围内.
故选：D.
3. 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率.
【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，
则，则，，
于是，
.
故选：C.
4. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D.
【正确答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

6. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ）
A. B.
C. 以为直径的圆与相切D. 为等腰三角形
【正确答案】C
【分析】由直线过抛物线的焦点，即可求得，进而判断A；将直线方程代入抛物线方程，结合韦达定理得出，由焦半径公式即可判断B；由的中点的横坐标得出中点到抛物线的准线的距离，即可判断C；分别求出两点的坐标，根据韦达定理即可判断D．
【详解】对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A错误；
对于B，抛物线方程为：，与交于两点，
直线方程代入抛物线方程可得，，所以，
所以，故B不正确；
对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，
所以以为直径的圆与相切，故C正确；
对于D，由B得，，解得或，
不妨设，则，
所以，，
所以不是等腰三角形，故D错误；
故选：C
7. 对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则下列正确的是（ ）
A. ①成立②不成立B. ①不成立②成立
C. ①成立②成立D. ①不成立②不成立
【正确答案】A
【分析】根据定义结合图象，验证是否恒成立即可．
【详解】由于椭圆是封闭的，则总可以找到满足题意的点，使得成立，
不妨设椭圆方程为，取点，
由椭圆性质可知，椭圆上的任意点P，总有，
若，则，
由，得，
整理得，
所以在椭圆上必存在点Q，使得成立，①成立；
在双曲线中，假定存在点，显然的最大值趋于正无穷大，的最小值是定值，
即的最小值是定值，设，则，
由，显然，不妨令，取，则，
与矛盾，②不成立．
故选：A
8. 2024年3月，某科技公司启用具备“超椭圆”数学之美的新lg．设计师的灵感来源于曲线C：．其中星形线E：常用于超轻材料的设计．则下列关于星形线说法错误的是（ ）
A. E关于y轴对称B. E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C. 曲线E所围成图形的面积小于2D. E上的点到原点距离的最小值为
【正确答案】ABC
【分析】A选项点与点都在曲线上即可判断；B选项应用基本不等式即可判断；C选项根据与图形的位置关系即判断；D选项由，结合立方和公式及B选项的结论即可判断.
【详解】对于A，若在星形线E上，则也在E上，故E关于轴对称，A正确；
对于B，由，则，当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，曲线E过点，在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成的面积小于2，C选项正确；
对于D，由，当且仅当时等号成立，故上的点到原点的距离最小值为，故D选项错误.
故选：ABC
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆
【正确答案】ABD
【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．
【详解】因为是线段的中垂线上的点，，
若在圆内部，且不为圆心，则，，
所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确；

若在圆外部，则，，
所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确；

若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．
若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，
所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确，
不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误，
故选：ABD
10. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
11. 已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 时，B.
C. D. 的最小值是
【正确答案】BCD
【分析】对于A，直接由直线与圆相切，列方程验算斜率即可；对于B，首先由直线与圆相切，联立方程组得判别式为0，由此可得，进一步解方程得切点坐标即可判断；对于C，首先得，通过构造函数，结合导数即可判断；对于D，由结合三角形三边关系即可求解.
【详解】当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
过点向圆引切线，根据题意可知，切线斜率存在，
设切线方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，又因为，所以，故A不正确；
设直线，由，
得，
由，即，
又因为，所以，所以，
所以，故B正确；
因为，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
因为，而，
所以，即，故C正确；
设，此时，
故而，等号成立当且仅当在上，故D正确.
故选：BCD.
关键点睛：关键是由直线和圆的位置关系得关于的表达式，由此即可顺利求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【正确答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故（中任意一个皆可以）．
13. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】设点，切线的方程为，可求得切线的斜率，由 可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，消参可求得点的轨迹方程，结合图形可求得的范围.
【详解】因为点为抛物线：上的点（不为原点），
所以可设点，且F0,1，
当切线的斜率不存在时，不合题意；
当切线的斜率存在时，可设为，
联立，消去可得，
化简可得，
令，可得，
化简可得，即，
又，所以的斜率，
所以的方程，
因为点，F0,1，
所以的斜率为，
则的方程为，
联立，解得，
即，
由两式相除可得，即，
由，可得，
再代入，可得，
化简可得，可得，
可知点轨迹为半径为的圆，圆心为F0,1，
结合图形可知，
又，，
则.
故答案为.
关键点睛：本题难点在于如何求出点的轨迹方程，可借助参数得出两直线的方程，联立后用参数表示该交点坐标，借助交点坐标消去参数，即可求得该点的轨迹方程.
14. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为，，点O为坐标原点，动点满足（且为常数），化简得曲线E：．下列命题中正确序号是__________．
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
②的最小值为2a；
③当时，的最大值为；
④面积不大于．
【正确答案】①③④
【分析】①：以代x，以代y，同时以代x，以代y判断；②：分和判断；③：由，化简得到，代入求解判断；④：由面积为判断.
【详解】①：以代x，得：，所以曲线关于纵轴对称；
以代y，得：，所以曲线关于横轴对称；
同时以代x，以代y得：，所以曲线关于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故正确；
②：因为，所以当时，有，
当时，显然P与，中一点重合，故此时，故错误；
③：当时，由，化简得，
因此有，所以，故正确；
④：面积为：，
当时，面积的最大值为，故正确.
故①③④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；
（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.
【小问1详解】
解：因为，
所以，解得，
设双曲线的半焦距为，因为离心率为，
所以，解得，
则，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
证明：设，则，，
直线的方程为，
直线的方程为.
联立方程消去并整理得
显然，即
所以，，
联立方程消去并整理得，
显然，即，
，
即当时，直线的方程为，
将上面求得的的解析式代入得，
整理得，
所以直线过定点.
16. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【正确答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.
（2）.
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【小问1详解】
如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
【小问2详解】
由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
17. 已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为.
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解；
（2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可；
（3）设，联立方程求出点Q的坐标，根据恒成立，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
抛物线的准线为，由于到抛物线准线的距离为3，
则点的横坐标为2，则，解得；
【小问2详解】
当时，点的横坐标为，则，
设，则中点为，由题意可得，解得，
所以，则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
【小问3详解】
如图，

设，则，
故直线的方程为，
令，可得，即，
则，依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意.
故实数的取值范围为.
18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
（1）求的方程；
（2）若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；
（2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果.
【小问1详解】
设点Px0,y0，则，因为，，
所以，，所以点，
代入方程中，得，所以的方程为.
【小问2详解】
设点Ax1,y1，Bx2,y2，，，
则直线的斜率，
同理得直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
，
从而得.
由消去得，
所以，
由，得或.
设和的中点分别为，，
则，，
同理，，
所以，即，
所以得.
19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点2,1且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；
（2）若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；
（3）在（2）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.
【正确答案】（1）
（2），
（3）
【分析】（1）根据包络曲线定义求解即可；
（2）依题意可得，方程无解，根据判别式即可得到，的关系式，进而求解即可；
（3）根据（2）的结论可以得到曲线的两条切线，进而可以得到过切点的直线方程，进而可以知道直线过定点，进而求得原点到直线距离的最大值.
【小问1详解】
由题可知，直线族与圆
相切即圆心O0,0到直线族的距离为4
满足的关系式为.
【小问2详解】
点不在直线族的任意一条直线上
则对，方程无解
即的取值范围为.
猜想：直线族的包络曲线为.
证明如下：
①设曲线上任意一点
曲线在点处的切线斜率为
曲线在点处的切线方程为，
即
令，则切线方程为
即曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
②，直线族中的每条直线都是曲线在点处的切线.
综上①②，直线族的包络曲线为.
【小问3详解】
法一：
设
由（2）知，直线方程为①
直线的方程为②
由①②得：
设直线的方程为
由得
在直线上即
直线的方程过定点
当时，原点到直线距离的最大值为.
法二：
设Ax1,y1,Bx2,y2
由（2）知，直线的方程为，直线的方程为设，则
两点满足上述方程
直线方程为
又在直线上
即直线过定点
当时，原点到直线距离的最大值为.
法三：
设点，则
由题意可知，过点与曲线相切的直线斜率存在，
故可设直线方程为
由联立得
且
设直线的斜率分别为，则是方程的根
则
由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，
设，则
由联立得：
则
则
即
直线的方程为过定点
当时，原点到直线距离的最大值为