2024-2025学年甘肃省兰州市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A. 2枚都是4点
B. 1枚是1点，另1枚是3点
C. 2枚都是2点
D. 1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
2. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 番禺图书馆新馆是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.有段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的概率0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是（ ）
A. 0.9B. 0.8C. 0.5D. 0.4
4. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 两等差数列和的前项和分别是,已知,则
A. 7B. C. D.
6. 已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为（ ）
A B. C. D. 或
7. 在等比数列中，则为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列的前n项和为，且，，则的值为（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列描述正确的是（ ）
A. 若事件A，B满足，则A与B对立事件
B 若，，，则事件A与B相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
10. 已知等差数列{an}的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 当且仅当时，取得最大值D. 当时，n的最大值为20
11. 已知数列满足，，，则（ ）
A. 是等比数列B.
C. 是递增数列D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．
13. 在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______
14. 等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
（1）数列是否为等差数列？说明理由．
（2）求an.
16. 他指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
17. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
（1）试分别求出事件B和事件C发生概率；
（2）试求A、B、C只有一个发生的概率.
18. 已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19. 已知数列满足：，．
（）求，，的值．
（）求证：数列是等比数列．
（）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
2024-2025学年甘肃省兰州市高二上学期第一次月考数学学情
检测试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A. 2枚都是4点
B. 1枚是1点，另1枚是3点
C. 2枚都是2点
D. 1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
【正确答案】D
【分析】由随机变量的意义可解.
【详解】A表示的是随机试验中的其中一个结果，
B，C中表示的是随机试验中的部分结果，
而D是代表随机试验中的所有试验结果.
故选：D.
2. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.
【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
3. 番禺图书馆新馆是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.有段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的概率0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是（ ）
A. 0.9B. 0.8C. 0.5D. 0.4
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，利用利用独立事件及对立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，甲、乙两人都没前往番禺图书馆新馆的概率，
所以甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是.
故选：A
4. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分三种情况，甲第一次即投中，第二次投中，第三次投中，求出相应的概率相加后得到答案.
【详解】甲获胜分为三种情况，
甲第一次即投中，此时概率为，
甲第一次没有投中，第二次投中，乙没有投中，
此时概率为，
甲前两次没有投中，第三次投中，乙两次均未投中，
此时概率为，
故甲获胜的概率为.
故选：C
5. 两等差数列和的前项和分别是,已知,则
A. 7B. C. D.
【正确答案】D
【详解】.
故选：D.
等差数列的性质的灵活应用是解决此题的关键，等差数列是比较重要的一类数列，也是高考中考查的重点内容.
6. 已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】B
【分析】设等差数列公差为，利用等差数列的求和公式可求得的值，然后解不等式可得出结果.
【详解】设等差数列公差为，则，.
由于，所以，
令，解得，所以取最大值时的为.
故选：B.
本题考查等差数列前项和的最值，考查计算能力，属于中等题.
7. 在等比数列中，则为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.
【详解】令的公比为，因为，所以，解得.
根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，
所以.
故选：B.
8. 已知数列前n项和为，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用，求出数列的递推关系，从而得数列的通项公式，然后由求和公式计算．
【详解】，时，，相减得，
∴，又，，
所以从第二项项开始成等比数列，时，，
，
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列描述正确的是（ ）
A. 若事件A，B满足，则A与B是对立事件
B. 若，，，则事件A与B相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
【正确答案】BC
【分析】A选项，举出反例；B选项，利用判断出事件A与B相互独立；C选项，根据互斥事件的定义作出判断；D选项，分两种情况进行计算.
【详解】对于A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，则，但是A，B不是对立事件，故A不正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确；
对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确.
故选：BC
10. 已知等差数列{an}的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 当且仅当时，取得最大值D. 当时，n的最大值为20
【正确答案】BD
【分析】分别运用等差数列求和公式以及等比中项的性质，列方程可得首项和公差，可判断A，B；判断数列{an}中小于0的项以及大于0的项，可判断C；由解不等式可判断D．
【详解】因为，故，又，
整理得到：，故，，故A错，B正确.
可得，当时，；当时，；当时，，故当、时，取得最大值，故C错误.
又，令，则，即n的最大值为20，故D正确.
故选：BD.
11. 已知数列满足，，，则（ ）
A. 是等比数列B.
C. 是递增数列D.
【正确答案】ACD
【分析】根据给定条件探求数列的特性，再逐项分析计算判断作答.
【详解】数列满足，，，则，，
数列是首项为，公比为3的等比数列，A正确；
，则，B不正确；
，则，是递增数列，C正确；
，当时，，则，当时，，
当时，，
即，，D正确.
故选：ACD
易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．
【正确答案】
【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.
【详解】与对立，，
与互斥，.
故答案为.
13. 在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______
【正确答案】18
【分析】根据题意和等比数列的性质，求得，，进而求得等比数列的通项公式，得到，在由等差数列的求和公式，得到，再结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为为各项均为正数的等比数列，且公比，
由，
可得，为方程的两根，又由，所以，，
得，即，所以，
由，所以为等差数列，
所以，则，即数列也为等差数列，
所以，
结合二次函数的图象与性质，可得当或9时，最大，最大值为18．
故18．
14. 等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则______．
【正确答案】13
【分析】利用等差数列和等比数列的下标和性质求解可得.
【详解】由题知，，解得，
所以，
所以.
故13
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
（1）数列是否为等差数列？说明理由．
（2）求an.
【正确答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）an＝.
【分析】（1）由已知得－＝，根据等差数列的定义可得证；
（2）根据等差数列的通项公式可求得答案.
【详解】解：（1）数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，
所以数列是以首项为＝，公差为d＝的等差数列．
（2）由（1）可知，＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
16. 他指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
【正确答案】（1）2000，
（2）
【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，
（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．
【小问1详解】
由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
17. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
（1）试分别求出事件B和事件C发生的概率；
（2）试求A、B、C只有一个发生的概率.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解.
【小问1详解】
由题意得：，
，即，
解得：或
【小问2详解】
设A、B、C只有一个发生的概率为P，
当时，
则；
当时，同理可得：，
综上：A、B、C只有一个发生的概率为
18. 已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【正确答案】（1）,；
（2）.
【分析】（1）利用关系及等比数列定义求通项公式，利用等差数列的通项公式求基本量，即得的通项公式；
（2）应用错位相减、等比数列前n项和公式求.
【小问1详解】
当时，，解得.
当时，,，
两式相减得，即，
所以是首项、公比均为2的等比数列，故.
设等差数列的公差为d，
由，可得，又，
所以，解得，故.
【小问2详解】
令，由（1）知，则，①
，②
①—②，得，
所以.
19. 已知数列满足：，．
（）求，，的值．
（）求证：数列是等比数列．
（）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），，；（2）见解析；（3）
【详解】试题分析：
（1）根据递推关系求值即可．
（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以为首项，以为公比的等比数列．
（3）由（）可得，故，作差判断可得数列前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得所求范围．
试题解析：
（）由题意，，，，
计算可得，，．
（）由题意可得，，
，
两式相减得，
即，
∴，
又，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．
（）由（）可得，
∴，
∴，
由，得；
由可得，
∴，
∴数列有最大值，
∴对任意，有，
∵对任意的，有，即恒成立，
∴，整理得
解得或．
∴实数的取值范围是．
点睛：
（1）已知Sn与an的关系解题时，要注意由Sn求an的纽带：，根据题目已知条件，消掉Sn或an，通过构造等差数列或等比数列进行求解．
（2）本题（3）中，将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．求数列项的最值时，可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值．
调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀