北师大版（2024）七年级下册（2024）2 整式的乘法优秀教案

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）2 整式的乘法优秀教案，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算
2．掌握单项式与多项式相乘，多项式与多项式的乘法法则的应用的法则并会运用．(重点，难点)
一、情境导入
如图，试求出三块草坪的的总面积是多少？
p
a
c
b
p
二、合作探究
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.
三经典例题
【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算
计算：
(1)(eq \f(2,3)ab2－2ab)·eq \f(1,2)ab；
(2)－2x·(eq \f(1,2)x2y＋3y－1)．
解析：利用单项式乘以多项式法则计算即可．
解：(1)(eq \f(2,3)ab2－2ab)·eq \f(1,2)ab＝eq \f(2,3)ab2·eq \f(1,2)ab－2ab·eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,3)a2b3－a2b2；
(2)－2x·(eq \f(1,2)x2y＋3y－1)＝－2x·eq \f(1,2)x2y＋(－2x)·3y＋(－2x)·(－1)＝－x3y＋(－6xy)＋2x＝－x3y－6xy＋2x.
方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【类型二】 单项式与多项式乘法的实际应用
一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高eq \f(1,2)a米．
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝eq \f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a(2a＋2b)＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab(平方米)．故防洪堤坝的横断面面积为(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)平方米；
(2)堤坝的体积V＝Sl＝(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米．
方法总结：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【类型三】 利用单项式乘以多项式化简求值
先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2.
解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a，当a＝2时，原式＝－82.
方法总结：本题考查了整式的化简求值．在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
问题再现
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：
这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．
另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．
由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．二、合作探究
【类型一】 直接利用多项式乘多项式法则进行计算
计算：
(1)(3x＋2)(x＋2)；
(2)(4y－1)(5－y)．
解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果．
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.
方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【类型二】 多项式乘以多项式的混合运算
计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．
【类型一】 多项式乘以多项式的化简求值
先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．
解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．
【类型二】 多项式乘以多项式与方程的综合
解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x系数化为1，即可求出解．
解：去括号后得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项、合并同类项得－15x＝7，解得x＝－eq \f(7,15).
方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．
【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用
千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方米．
方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．
【类型四】 根据多项式乘以多项式求待定系数的值
已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2项，也不含x项，可得含x2项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2.∵积不含x2项，也不含x项，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝eq \f(3,2)，a＝eq \f(9,4)，∴系数a、b的值分别是eq \f(9,4)，eq \f(3,2).
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答
三、板书设计
1．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
单项式与多项式乘法的应用
3．多项式与多项式的乘法法则：
多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4．多项式与多项式乘法的应用
本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上，学习单项式乘以多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高解题水平