七年级下册（2024）2 整式的乘法第2课时学案设计

这是一份七年级下册（2024）2 整式的乘法第2课时学案设计，共7页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，情景导入，初步认识，思考探究，获取新知，运用新知，深化理解等内容，欢迎下载使用。
在具体情境中了解含多项式乘法的意义，会进行含多项式的乘法运算。
【学习重难点】
重点：会进行含多项式的乘法运算。
难点：灵活运用含多项式的运算法则。
【学习过程】
【情景导入，初步认识】
1.如何进行单项式乘单项式的运算？你能举例说明吗？
2.计算：
(1)3a2b·2abc·eq \f(1,3)abc2；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)m3n))eq \s\up12(3)·(－2m2n)4。
3.写一个多项式，并说明它的次数和项数。
【思考探究，获取新知】
探究1：宁宁作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了eq \f(1,8)x m的空白，这幅画的画面面积是多少？
有两种做法：
方法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mx－\f(1,4)x))；
方法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为mx2－eq \f(1,4)x2。
两种方法得到的答案不一样，但都是正确的，由此引出xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mx－\f(1,4)x))＝mx2－eq \f(1,4)x2这个等式。
思考：
式子的左边是什么运算？能不能用学过的法则说明这个等式成立的原因？
总结：式子的左边是一个单项式与一个多项式相乘，利用分配律可得xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mx－\f(1,4)x))＝x·mx－x·eq \f(1,4)x，再根据单项式乘单项式法则或同底数幂的乘法性质得到x·mx－x·eq \f(1,4)x＝mx2－eq \f(1,4)x2。
想一想：
问题1：ab·(abc＋2x)及c2(m＋n－p)等于什么？你是怎样计算的？
问题2：如何进行单项式与多项式相乘的运算？
归纳结论
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
探究2：如图①是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形(图②)的面积可以怎样表示？
有四种解法：
方法一：长方形的长为m＋a，宽为n＋b，所以面积可以表示为(m＋a)(n＋b)；
方法二：长方形可以看做由四个小长方形拼成的，四个小长方形的面积分别为mn，mb，an，ab，所以长方形的面积可以表示为mn＋mb＋an＋ab；
方法三：长方形可以看做是由上下两个长方形组成的，上面的长方形面积为b(m＋a)，下面的长方形面积为n(m＋a)，这样长方形的面积就可以表示为n(m＋a)＋b(m＋a)，根据单项式乘多项式的法则，结果为nm＋na＋bm＋ba；
方法四：长方形可以看做是由左右两个长方形组成的，左边的长方形面积为m(b＋n)，右边的长方形面积为a(b＋n)，这样长方形的面积就可以表示为m(b＋n)＋a(b＋n)，根据单项式乘多项式的法则，结果为mb＋mn＋ab＋an。
于是得到
(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)＝m(b＋n)＋a(b＋n)＝mn＋mb＋an＋ab。
观察上面的过程，回答下列问题：
1.你能说出(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)这一步运算的道理吗？
2.结合这个算式(m＋a)(n＋b)＝mn＋mb＋an＋ab，你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算？
3.归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则。
归纳结论
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【运用新知，深化理解】
1.要使(－x)(x2－mx＋2x)的展开式中不含x2的项，则m的值是（ C ）
A.－2 B.0 C.2 D.3
2.下列多项式相乘的结果是a2－a－6的是( B )
A.(a－2)(a＋3) B.(a＋2)(a－3)
C.(a－6)(a＋1) D.(a＋6)(a－1)
3.下列计算中正确的是( C )
A.a3·(－a2)＝a5
B.(－ax2)3＝－ax6
C.3x3－x(3x2－x＋1)＝x2－x
D.(x＋1)(x－3)＝x2＋x－3
4.若(x＋m)(x＋n)＝x2－6x＋5，则( A )
A.m，n同时为负
B.m，n同时为正
C.m，n异号
D.m，n异号且绝对值小的为正
5.要使(x－3)·M＝x2＋x＋N成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则( C )
A.M＝x－4，N＝12 B.M＝x－5，N＝15
C.M＝x＋4，N＝－12 D.M＝x＋5，N＝－15
6.计算：
(1)－6a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a2－\f(1,3)a＋2))；
(2)－3x·(2x2－x＋4)；
(3)(3a2b－4ab2－5ab－1)·(－2ab2)。
解：(1)原式＝3a3＋2a2－12a。
(2)原式＝－6x3＋3x2－12x。
(3)原式＝－6a3b3＋8a2b4＋10a2b3＋2ab2。
7.计算：
(1)(x－5)(x＋2); (2)(x＋5)(x－2)；
(3)(x－5)(x－2); (4)(x＋5)(x＋2)。
解：(1)x2－3x－10。(2)x2＋3x－10。
(3)x2－7x＋10。(4)x2＋7x＋10。
8.若(mx＋y)(x－y)＝2x2＋nxy－y2，求m，n的值。
解：左边＝mx2－mxy＋xy－y2
＝mx2＋(1－m)xy－y2，
所以m＝2，n＝1－m。所以n＝－1。
9.一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a m，下底宽(a＋2b) m，坝高eq \f(1,2)a m。
(1)求防洪堤坝的横断面积；
(2)如果防洪堤坝长100 m，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解：(1)防洪堤坝的横断面积
S＝eq \f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq \f(1,2)a＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab。
故防洪堤坝的横断面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a2＋\f(1,2)ab)) m2。
(2)堤坝的体积V＝Sh＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a2＋\f(1,2)ab))×100＝50a2＋50ab。
故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab) m3。