2024-2025北师版七下数学-第五章-图形的轴对称5.2第三课时角平分线的性质【教案】

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2 简单的轴对称图形第3课时 角平分线的性质教学内容第3课时 角平分线的性质 课时1核心素养目标从日常生活的常识，提炼出里面的数学思想，培养学生的数学思维能力和归纳总结的能力。根据折叠的性质，由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法。通过对角的平分线的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值。知识目标1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；2.探索并证明角的平分线的性质；3.能用角的平分线的性质解决简单问题。教学重点探索并证明角的平分线的性质。教学难点能用角的平分线的性质解决简单问题。教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知当堂练习，巩固所学创设情境，导入新知你发现了什么图形？师生活动：教师通过放映PPT展示角在生活中的应用。小组合作，探究概念和性质知识点一：角的轴对称性 提问：角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？预设回答：是。追问：请指出它的对称轴。师生活动：学生下独立思考，再相互交流。教师引导学生总结：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。知识点二：角平分线的性质思考·交流如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。（1）你认为线段CD和CD'之间有什么关系?说说你的理由。师生活动：学生通过测量可得CD=CD'。（2）特别地，当CD⊥OA时（如图），CD'与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD'之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到什么结论?师生活动：学生独立思考，然后小组讨论，得出结论：CD'⊥OB。教师总结：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。思考·交流如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？师生活动：让学生先思考，小组间交流作法。假设∠AOB的平分线已作出，请回答下列问题：（1）这条射线有什么特征?预设学生回答：这条射线上的点到角的两边的距离相等。（2）如何确定这条射线上除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢?师生活动：让学生先用三角尺、量角器、圆规等工具画一画，可让学生上台演示。然后让学生思考，如果只用尺规呢？相互交流。典例精析例 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。师生活动：学生思考，学生代表发言说明作图过程，教师通过PPT或者教具操作展示如下：作法：1.在OA和OB上分别截取OM，ON，使OD=OE。2.分别以点M，N为圆心，以大于 eq \f(1,2)MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C。3.作射线OC。射线OC就是∠AOB的平分线。思考·交流过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点?师生活动：学生先独立思考再交流，引导学生明确，这两种作法实质上是一致的。回顾·反思回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了那些方法，积累了哪些经验？师生活动：学生小组间积极交流，教师巡视，最后师生一起总结。想一想 如图所示，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E。 DE与DC相等吗？为什么？师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予评价并整理为板书：解：DE与DC相等。因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE，DC的长，所以 DE = DC。变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14。(1) 则点P到AB的距离为_____；(2) 求△APB的面积。师生活动：学生独立思考，教师温馨提示：存在一条垂线段——构造应用。预测学生能在教师提示下想到方法解：由角平分线的性质知PD = PC = 4，故  eq \f(1,2)AB·PD = 28。教师引导学生回忆上述问题的思路并总结。归纳总结针对训练1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = 。师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予适当的评价。2. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC = 8，BD = 5，则点D到AB的距离是 。师生活动：学生独立思考与画图，学生代表回答，教师引导学生代表叙述思路并给予适当评价。3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC的依据是（ ）A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等师生活动：学生独立思考，学生代表回答，教师引导学生代表叙述思路并给予适当评价。4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 (　　)A．6 B．5 C．4 D．3师生活动：学生独立思考，教师请学生代表回答，引导学生叙述思路并整理板书：解析：过点D作DF⊥AC于F，因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以DF＝DE＝2。S△ABC＝ eq \f(1,2)×4×2 +  eq \f(1,2)·AC×2＝7，解得AC＝3。教师引导学生方法总结方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法。当堂练习，巩固所学1. 如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F。试说明：CE＝CF。设计意图：用实际生活中的景物导入，吸引学生的注意力的同时，感悟数学知识在实际生活中的应用。设计意图：由于角的两边是射线，图形具有一定的抽象性，建议让学生充分讨论“角是否是轴对称图形”的问题，关注学生是否能将直观与想象相结合。学生在回答“角是轴对称图形”后，建议要求进一步说明角的对称轴的特点。设计意图：通过直接测量得到角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 教学中应让学生经历这一活动过程，并把活动和思考结合起来，以加深对角平分线性质的理解，同时积累数学活动经验。设计意图：验证结论，将学生的感性认知上升为理性认知，培养学生逻辑思考能力。设计意图：尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以操作和理解为主，提高学生作图能力以及语言表达能力。设计意图：强化学生对角平分线的性质的理解与应用。设计意图：变式加大难度，提升学生的解题技巧，让学生学会逆向思维，锻炼学生的思考能力。设计意图：通过归纳，帮学生理清思路，更好的把握不同题目中条件与思路的共性。设计意图：考查学生对角的平分线性质的掌握。设计意图：考查学生运用角的平分线的性质进行简单运算的能力。设计意图：将本节课知识与之前学过的全等的知识相结合，综合考察学生对知识点的掌握。设计意图：让学生进一步巩固角平分线的性质，通过说理分析提高学生的思维能力与语言表达能力。设计意图：考查学生对角平分线的性质的掌握与应用情况。板书设计角平分线的性质角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。常见辅助线：作垂线段课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理知识框架。教学反思本课时探索角的轴对称性。 本课教学设计较好地体现了“教为主导， 学为主体，探索为主线，思维为核心”的教学理念：学生通过自己动手动脑，得到不同的折叠、剪纸、验证的办法，拓展了探究思路，学生在验证自己结论的同时培养了反思、修正、归纳的能力；在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为八年级的推理和严格证明打下坚实基础。