2024-2025北师版七下数学-第五章-图形的轴对称5.2第二课时线段垂直平分线的性质【教案】

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2 简单的轴对称图形第2课时 线段垂直平分线的性质教学内容第2课时 线段垂直平分线的性质 课时1核心素养目标1.在经历探索线段的轴对称的性质的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念2.探索垂直平分线的基本性质，掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，进一步在实际应用中体会等腰三角形的有关性质。知识目标1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；2.理解线段垂直平分线的性质和。3.能运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。教学重点理解线段垂直平分线的性质。教学难点能运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、复习导入二、探究新知当堂练习，巩固所学温习旧知，导入新知什么样的图形叫作轴对称图形？师生活动：教师提问，学生积极回答：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。小组合作，探究概念和性质知识点一：线段垂直平分线的性质 提问：线段是轴对称图形吗？师生活动：让学生用自己的方法进行实际操作，然后相互交流自己的发现。教师课件出示线段AB，演示将线段折叠，交点为O，让学生观察。学生通过观察可得出AO = BO。学生积极讨论，教师引导学生总结。归纳总结线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 (简称中垂线)。尝试·思考 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。（1）你认为线段CD和CD'之间有什么关系？说说你的理由。师生活动：学生通过测量可得AC=BC。（2）特别地，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置？此时，线段CD和CD'之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到什么结论？教师追问：学生独立思考，请学生说明他的思考过程，教师引导学生总结：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。思考·交流如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题：（1）这条直线有什么特征?预设学生回答：这条直线经过线段的中点；这条直线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（2）如何确定这条直线上的两个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢？师生活动：让学生先用三角尺、量角器、圆规等工具画一画，可让学生上台演示。然后让学生思考，如果只用尺规呢？相互交流。典例精析例 如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。师生活动：学生思考，学生代表发言说明作图过程，教师通过PPT或者教具操作展示如下：作法：分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 eq \f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；2. 作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线。对于学生不同但合理的方法，教师都应予以肯定。思考·交流如图，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？能说明你的作法的道理吗?师生活动：学生先独立思考，然后小组间交流作法，教师根据学生的回答，通过PPT或者教具操作展示作法。作法：1.以点P为圆心，以任意长为半径画圆，与直线l相交于点A，B；2.分别以A，B为圆心，以任意长为半径画圆，两圆相交于点MN，连接MN即可得出直线l的垂线。典例精析例2 如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为 (　　)A．22 厘米 B．16 厘米C．26 厘米 D．25 厘米师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生阐述解题思路，如：解析：根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC ＝AB＋BC＝12＋10＝22 (厘米)。例3 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生简单说明画图过程与理由，并给予适当的评价与完善。解析：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交 AB于E。因为EO是线段AB的垂直平分线，所以点O到A，B的距离相等。所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长。针对训练1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA = 5，则线段PB的长为 ( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予适当的评价。2.如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么EA =_____cm，DA =_____cm。师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生简单说明解答过程，并给予适当的评价。3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，交 AB、BC于D、E，若AC = 4，BC = 5，求△AEC 的周长。师生活动：学生独立思考，学生代表板书，教师与其余同学给予适当的评价与完善板书。解：因为DE是△ABC边AB的垂直平分线，所以EB = EA。所以△AEC的周长为AC + CE + EA = AC + CE + EB = AC + BC = 4 + 5 = 9。当堂练习，巩固所学1. 如图，在△ABC中，BC = 8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长是 cm。2. 如图，AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？3.如图，A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，并说明理由。设计意图：回顾轴对称图形的知识，使这几节课内容更加具有连贯性，再讨论线段是否为轴对称图形，引出了本节课的研究内容，起到铺垫作用。设计意图：学生讨论线段的轴对称的特点应建立在学生充分实践及思考的基础之上。教学和评价时，教师可以让学生回顾这一操作过程， 并说明自己在操作过程中获得的结论以及所得结论的理由。事实上，线段还有另外一条对称轴，即线段所在的直线，但不要求学生掌握。设计意图：鼓励学生进行讨论与交流，也可以利用多媒体演示，以加强对线段的中垂线性质的理解。学生可以利用折叠重合或全等三角形加以说明。设计意图：锻炼学生作图能力，尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以操作和理解为主，提高学生语言表达能力。设计意图：通过练习加强学生对线段垂直平分线的性质的理解与应用。设计意图：让学生在问题的引导下，理解作图过程的合理性，提高作图能力。设计意图：考查学生对线段垂直平分线的性质的运用。设计意图：强化与线段垂直平分线的性质有关的证明和计算的技巧。设计意图：通过练习加强学生对线段垂直平分线的性质的理解与应用，强化说理、表达能力。设计意图：考查与线段垂直平分线的性质有关的证明和计算。设计意图：考查线段垂直平分线性质的实际运用，以及垂直平分线的作图能力。板书设计线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理知识框架。教学反思本课时探索线段的轴对称性。 教科书以操作性活动以及“你发现了什么”的问题引人线段的轴对称性，学生在回答“线段是轴对称图形”后，建议要求其说明线段的对称轴的特点，为下面给出垂直平分线的定义做铺垫。