高二数学第三次月考（湘教版2019选择性必修第一册全部）2024-2025学年高中上学期第三次月考6.zip
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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：湘教版+前四章，数列20%+直线与圆25%+圆锥曲线30%+计数原理25%。
5．难度系数：0.71。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等差数列an的前6项和为60，且a1+a2+a3=15，则a5=（ ）
A．5B．10C．15D．20
2．若方程x2m−y2m−2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．0
A．5B．7C．10D．12
4．已知圆C：x−32+y−42=9，直线l：mx+y−2m−3=0．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．27B．10C．22D．6
5．设数列an的前n项和为Sn，若an+1=2Sn+1，且a1=1，则（ ）
A．S100<10000B．S100>1000C．a5<5D．a5>10
6．我校田径队有十名队员，分别记为A,B,C,D,E,F,G,H,J,K，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将A,B,C,D,E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法种数为（ ）
A．432B．864C．1728D．2592
7．点P是圆C:x−32+y−32=2上一动点，过点P向圆O:x2+y2=1作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则csα=（ ）
A．34B．229C．429D．78
8．设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若PF1⋅PF2=0，且3|PD||PE|=S△PF1F2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．233B．2C．3D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知等比数列an满足a1=−1,a4=64，则（ ）
A．公比q=−4B．a3+a5=240
C．an为等比数列D．数列anan+2的公比为16
10．已知直线l1：3x+ay+1=0，l2：a+2x+y+a=0，则（ ）
A．当a=3时，直线l1的倾斜角为60°B．当a=−32时，l1⊥l2
C．若l1∥l2，则a=−3D．直线l2始终过定点−1,2
11．已知曲线C:4xx=yy−4．点F1(0,5)，F2(0,−5)，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C存在点P，使得PF1−PF2=4
C．直线y=2x与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向y=±2x作垂线，垂足分别为A，B，则QA⋅QB=45
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．1−yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）．
13．已知点M0,2，直线x−ky−2=0被圆x−12+y2=8所截得弦的中点为N，则MN的取值范围是 .
14．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组x1,x2,x3,x4,x5,x6构成：①xi∈−1,0,1；②1≤x1+x2+x3+x4+x5+x6≤3；则集合A中的元素共有 个.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知an是各项均为正数的等比数列，a1=1，且a1，a2，−3a3成等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列an−n的前n项和Sn．
16．（15分）
已知圆C的方程为：x2+y2−2mx−4y+6m−9=0(m∈R).
(1)求m的值，使圆C的周长最小；
(2)过P(1,−2)作直线l，使l与满足（1）中条件的圆C相切，求l的方程，并求切线段的长.
17．（15分）
设A,B两点的坐标分别为−5,0，5,0．直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是−15．
(1)求点M的轨迹方程．
(2)若P0,1，在M的轨迹上任取一点Q（异于点P），求线段PQ长的最大值．
18．（17分）
平面直角坐标系xOy中，过点Tt,0的动直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点且OA⊥OB．
(1)求t的值；
(2)若点M在x轴上且MA=MB，在x轴上是否存在确定的点P，使得当动直线l不与x轴垂直时，恒有∠APT=∠BAM．若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
19．（17分）
组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列a0,a1,a2,⋯，定义G(x)=a0+a1x+a2x2+⋯为序列a0,a1,a2,⋯的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用x0即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，1+x代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式(1+x)(1+x)(1+x)表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为G(x)=1+3x+3x2+x3，例如其中3x2中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是1+3+3+1=8．
(1)假设有四个不同的小球，令an为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出a0,a1,a2,a3,a4的一个与问题对应的母函数G(x)；
(2)已知rCn+rr=(n+1)Cn+rn+1，其中1≤r≤n．现有一序列a0,a1,a2,⋯,a2n的母函数G(x)=i=1ni(1+x)n+i=a0+a1x+⋯+anxn+⋯+a2nx2n，其中n∈N∗，证明：an=(n+1)C2n+1n+2；
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令an为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令bn为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出a0,a1,a2,⋯,an和b0,b1,b2,⋯,bn的与问题对应的母函数A(x)和B(x)，并求总的组合个数．
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