2024-2025学年福建省福州八中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州八中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为73 76 81 83 85 88 91 93 95，则几人考试成绩的中位数是( )
A. 76B. 81C. 85D. 91
2.已知sin(α−π6)+csα=35，则cs(2α+π3)=( )
A. 1825B. 725C. −725D. −1825
3.已知一直角梯形纸片上、下底边边长分别为2、4，高为3，该纸片绕着下底边所在直线旋转120°，则该纸片扫过的区域形成的几何体的体积为( )
A. 6πB. 8πC. 16πD. 24π
4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，过对角线AC1的一个平面交BB1于E，交DD1于F得四边形AEC1F，则下列结论正确的是( )
A. 四边形AEC1F一定为菱形
B. 四边形AEC1F在底面ABCD内的投影不一定是正方形
C. 四边形AEC1F所在平面不可能垂直于平面ACC1A1
D. 四边形AEC1F不可能为梯形
5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x).当x∈[0,1]时，f(x)=x3+3x，则f(2023)=( )
A. −4B. 4C. 14D. 0
6.在△ABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM=λAB，AN=μAC(λ>0,μ>0)，则λ+μ的最小值为( )
A. 22+1B. 32+1C. 32D. 52
7.关于x的方程(x2−1)2−|x2−1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中假命题个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
8.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在三棱锥A−BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，S4，设面积为S2的三角形所在的平面为α，则面积为S4的三角形在平面α上的射影的面积是( )
A. 2 34B. 252
C. 10D. 30
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(1+i)a+bi=4i，a，b∈R，则( )
A. a=1B. b=4C. a−b=−4D. ab=0
10.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下记d为负数)，若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则( )
A. 当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m
B. 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒
D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面
11.在三棱锥A−BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M为BC的中点，N为BD上一点，球O为三棱锥A−BCD的外接球，则下列说法正确的是( )
A. 球O的表面积为11π
B. 点A到平面BCD的距离为 14
C. 若MN⊥AB，则DN=6NB
D. 过点M作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为______．
13.航天(Spacefligℎt)又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空(即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间)以及地球以外天体各种活动的总称.航天活动包括航天技术(又称空间技术)，空间应用和空间科学三大部分.为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛.小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题.已知小张同学答对的概率是13，小张、小胡两位同学都答错的概率是13，小胡、小郭两位同学都答对的概率是16.若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为______．
14.若a>0，b>0，且12a+b+1b+1=1，则a+2b的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(x)=a⋅b−1，其中向量a=(sin2x,2csx),b=( 3,csx)，(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A4)= 3，a=2 13，b=8，求边长c的值．
16.(本小题14分)
在四核锥A−BCDE中，侧棱AP⊥底面BCDE，底面BCDE是直角梯形，DE//BC，BC⊥CD，BC=2AD=2DC=2DE=4，ED∩EC=O，H是棱AD上的一点(不与A、D点重合)
(1)若OH//平面ABE，求AHHD的值；
(2)求二面角A−BE−C的余弦值
17.(本小题15分)
如图所示，A，B，C，D四点共面，其中∠BAD=∠ADC=90°，AB=12AD，点P，Q在平面ABCD的同侧，且PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD．
(1)若直线l⊂平面PAB，求证：l//平面CDQ；
(2)若PQ//AC，∠ABP=∠DAC=45°，平面BPQ∩平面CDQ=m，求锐二面角B−m−C的余弦值．
18.(本小题16分)
已知f(x)=x|x−a|+b，x∈R．
(Ⅰ)当a=1，b=0时，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(Ⅱ)当a=1，b=1时，若f(2x)=54，求x的值；
(Ⅲ)若b<−1，且对任何x∈[0,1]不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题19分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB= 3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFFC=12．
(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)在棱BP上是否存在点G，使得点G到平面AEF的距离为 39，若存在求出点G的位置，不存在请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.A
6.B
7.A
8.A
9.BCD
10.ABC
11.BCD
12.c>b>a
13.13
14.2 3+12
15.解：∵(1)f(x)=a⋅b−1=(sin2x,2csx)⋅( 3,csx)−1
= 3sin2x+2cs2x−1= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)
∴f(x)的最小正周期为π，最小值为−2
(2)f(A4)=2sin(A2+π6)= 3
∴sin(A2+π6)= 32
∴A2+π6=π3∴A=π3或A=π(舍去)
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA
52=64+c2−8c即c2−8c+12=0
从而c=2或c=6
16.证明：(1)∵OH//平面ABE，OH⊂平面ABD，平面ABD∩平面ABE=AB，
∴OH/​/AB，∴OD：OB=DH：HA，
∵DE/​/BC，BC=2DE，∴OD：OB=DE：BC=1：2，
∴HDAH=12，∴AHHD=2．
解：(2)以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则点A(0,0,2)，E(2,0,0)，B(4,2,0)，
则AE=(2,0,−2)，AB=(4,2,−2)，
设平面ABE的一个法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AE=2x−2z=0n⋅AB=4x+2y−2z=0，取z=1，得n=(1,−1,1)，
平面BCDE的一个法向量m=(0,0,1)，
设二面角A−BE−C的大小为θ，则csθ=m⋅n|m|⋅|n|=11× 3= 33，
∴二面角A−BE−C的余弦值为 33．
17.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，
所以PA//CQ，
因为PA⊂平面PAB，CQ⊄平面PAB，
所以CQ/​/平面PAB，
因为∠BAD=∠ADC=90°，所以AB/​/CD，
因为CD/​/平面PAB，
因为CQ∩CD=C，CD⊂平面CDQ，CQ⊂平面CDQ，
所以平面CDQ//平面PAB，
直线l⊂平面PAB，所以l/​/平面CDQ；
(2)解：因为AP⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以AP⊥AB，AP⊥AD，又因为AB⊥AD，
以A为坐标原点，AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由(1)可得PA//CQ，又因为PQ//AC，所以四边形APQC为平行四边形，

不妨取AB=1，由题意可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，Q(2,2,1)，D(0,2,0)，
所以BP=(−1,0,1)，BQ=(1,2,1)，
设平面BPQ的一个法向量为n=(x,y,z)，
则BP⋅n=−x+z=0BQ⋅n=x+2y+z=0，令x=1，则y=−1，z=1，则n=(1,−1,1)，
易知AD⊥平面CDQ，
则平面CDQ的一个法向量为AD=(0,2,0)，
所以cs=AD⋅n|AD|⋅|n|=−22× 3=− 33．
锐二面角B−m−C的余弦值为 33．
18.解：(Ⅰ)a=1，b=0时，f(x)=x|x−1|既不是奇函数也不是偶函数，
∵f(−1)=−2，f(1)=0，
∴f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；
(Ⅱ)当a=1，b=1时，f(x)=x|x−1|+1，
由f(2x)=54，得2x|2x−1|+1=54，
即2x≥1(2x)2−2x−14=0①
或2x<1(2x)2−2x+14=0②
解①得，2x=1+ 22或2x=1− 22(舍)，
解②得，2x=12．
∴x=lg21+ 22=lg2(1+ 2)−1或x=−1；
(Ⅲ)当x=0时，a取任意实数，不等式f(x)<0恒成立，
故只需考虑x∈(0,1]，此时原不等式变为|x−a|<−bx，
即x+bx故(x+bx)max又函数g(x)=x+bx在(0,1]上单调递增，
∴(x+bx)max=g(1)=1+b，
对于函数ℎ(x)=x−bx,x∈(0,1]．
b<−1时，在(0,1]上ℎ(x)单调递减，(x−bx)min=ℎ(1)=1−b，
又1−b>1+b，
∴此时a的取值范围是(1+b,1−b)．
19.解：(Ⅰ)证明：在直角梯形中，AD⊥CD，AD//BC，AD=CD=1，BC=2，
可得AB= 2，
又PA=1，PB= 3，即有PA2+AB2=PB2，
可得PA⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
可得PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，则P(1,0,1)，D(0,0,0)，E为PD的中点，可得E(12,0,12)，
由C(0,1,0)，P(1,0,1)，点F在PC上，且PFFC=12，可得F(23,13,23)，
又A(1,0,0)，则AE=(−12,0,12)，AF=(−13,13,23)，
设平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z1)，由n⋅AE=0n⋅AF=0可得−12x1+12z1=0−13x1+13y1+23z1=0，
令x1=1，则z1=1，y1=−1，即n=(1,−1,1)．
在棱BP上假设存在点G，使得点G到平面AEF的距离为 39，
设PGGB=λ(0<λ<1)，由B(2,1,0)，可得G(1+2λ1+λ,λ1+λ,11+λ)，
AG=(λ1+λ,λ1+λ,11+λ)，
则G到平面AEF的距离为|AG⋅n||n|=11+λ 3= 39，
解得λ=2，即有G为靠近B的三等分点．