2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A−2,1,3，B1,−1,4，则AB=( )
A. 3,0,1B. −1,−2,1C. −1,0,7D. 3,−2,1
2.已知直线的倾斜角的范围是α∈[π4,3π4]，则此直线的斜率k的取值范围是( )
A. [−1,1]B. [−1,0)∪(0,1]
C. [−1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)
3.空间向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量为( )
A. (12,0,12)B. ( 22,0, 22)C. (0,12,12)D. (0, 22, 22)
4.若{a,b,c}是空间中的一组基底，则下列可与向量a+c,a−2c构成基底的向量是( )
A. aB. a+2bC. a+2cD. c
5.若向量a=(1,λ,2)，b=(2,−1,2)，且a与b的夹角的余弦值为89，则λ=( )
A. 2B. −2C. −2或255D. 2或−255
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，DM=λDA1(0<λ<1)，CN=μCD1(0<μ<1)，若MN//平面AA1C1C，则线段MN的长度的最小值为( )
A. 13
B. 12
C. 23
D. 33
7.平行六面体ABCD−A1B1C1D 1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1AB=π3，AA1=AB=1，E为C1D1的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A. 0B. 32C. 12D. 34
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D∩AD1=E，CD1∩C1D=F，则下列结论中正确的是( )
A. BB1//平面ACD1
B. 平面BDC1⊥平面ACD1
C. EF⊥平面BDD1B1
D. 平面ABB1A1内存在与EF平行的直线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线l的斜率k=−2，且过点(3,2)，则直线l经过点( )
A. (0,4)B. (4,0)C. (6,−4)D. (−2,1)
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使D1P //平面A1BC1
B. 三棱锥B1−C1D1P的体积为定值
C. 若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 2
D. 若点P是AD的中点，点Q是BB1的中点，过P，Q作平面α⊥平面ACC1A1，则平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积为3 32
11.已知单位向量i,j,k两两的夹角均为θ(0<θ<π，且θ≠π2)，若空间向量a满足a=xi+yj+zk(x,y,z∈R)，则有序实数组(x,y,z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a=(x,y,z)θ，则下列命题是真命题的有( )
A. 已知a=(1,3,−2)θ,b=(4,0,2)θ，则a⋅b=0
B. 已知a=(x,y,0)π3,b=(0,0,z)π3，其中x，y，z>0，则当且仅当x=y时，向量a,b的夹角取得最小值
C. 已知a=(x1,y1,z1)θ,b=(x2,y2,z2)θ，则a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)θ
D. 已知OA=(1,0,0)π3,OB=(0,1,0)π3,OC=(0,0,1)π3，则三棱锥O−ABC的表面积S= 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l的方向向量为m=(1,1,−1)，且l过点A(−1,1,1)，则点P(0,1,−1)到l的距离为______．
13.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=7，则CD的长为______．
14.已知三棱锥P−ABC的体积为6,M是空间中一点，PM=−115PA+215PB+415PC，则三棱锥A−MBC的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
16.(本小题12分)
已知坐标平面内三点A(−2,−4)，B(2,0)，C(−1,1).
(1)求直线AB的斜率和倾斜角;
(2)若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标;
(3)若E(m,n)是线段AC上一动点，求nm−2的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,AD=2BC=4，侧面PAD⊥平面ABCD,O,M分别为AD,PD的中点．

(1)证明：PB/​/平面OMC．
(2)若CD=2,PA=PD=4，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
如图所示，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
(1)证明：BC⊥平面PAB；
(2)若PA=AB=6，BC=3，在线段PC上(不含端点)，是否存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为 105，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
若Ωn={a|a=(a1,a2,…,ai,…,an)，ai∈R，i=1，2，…，n}，则称Ωn为n维空间向量集，0={0,0,…,0}为零向量.对于k∈R，任意a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)，定义：
①数乘运算：ka=(ka1,ka2,⋯,kan)；
②加法运算：a+b=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)；
③数量积运算：a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn；
④向量的模：|a|= a12+a22+…+an2．
对于Ωn中一组向量ai(i=1,2,⋯,m)，若存在一组不同时为零的实数ki(i=1,2,⋯,m)使得k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
(1)对于n=3，判断下列各组向量是否线性相关：
①a=(−1,1,1),b=(−2,2,2)；
②a=(−1,1,1),b=(−2,2,2),c=(3,1,−4)；
(2)已知α1,α2,α3,α4线性无关，试判断α1−α2,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于Ωn中的任意两个元素α,β，均有|α+β|2≥4α⋅β．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.C
6.D
7.A
8.C
9.BC
10.ABC
11.BC
12. 2
13. 59
14.4
15.(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1,12,0，F12,1,0．
PE=1,12,−1，PF=12,1,−1，DP=(0,0,1)．
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n·PE=0,n·PF=0,即x+12y−z=0,12x+y−z=0,
解得x=y，令x=y=2，得n=(2,2,3)，
因此，点D到平面PEF的距离为|DP·n||n|=3 17=317 17．
(2)由(1)知AP=(−1,0,1)，
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF/​/AC，
又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，
所以AC/​/平面PEF，
所以AC到平面PEF的距离为|AP·n||n|=1 17= 1717．
16.解：(1)直线AB的斜率为−4−2−2=1，
设倾斜角为α，则tanα=1，
∵0⩽α<π，
∴直线AB的倾斜角为π4．
(2)如图，
当点D在第一象限时，kAB=kCD，kAC=kBD．
设D(x,y)，则1=y−1x+1,1+4−1+2=yx−2,，
解得x=3，y=5，故点D的坐标为(3,5)．
(3)由题意得nm−2为直线BE的斜率．
当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，kBC=11−2=−13;
当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，kAB=1．
故直线BE的斜率的取值范围为[−13,1]，即nm−2的取值范围为[−13,1]．
17.解：(1)证明：连接BD,OB，设BD与OC相交于点E，因为AD/​/BC，
AD=2BC=2OD=4，所以OBCD为平行四边形，即E为BD的中点．
连接ME，因为M为PD的中点，所以PB//ME．
因为PB⊄平面OMC,ME⊂平面OMC，所以PB/​/平面OMC．
(2)因为PA=PD，所以PO⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD ，
取BC的中点H，连接OH ，而OD，OH⊂平面ABCD，
故PO⊥OD，PO⊥OH，
因为ABCD是等腰梯形，所以OH⊥AD．
以O为坐标原点，OH,OD,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,−2,0,B 3,−1,0,C 3,1,0,P0,0,2 3，
所以AB=( 3,1,0),AP=(0,2,2 3),PC=( 3,1,−2 3)．
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AB= 3x+y=0,m⋅AP=2y+2 3z=0．
令x=1，则y=− 3,z=1，可得m=(1,− 3,1)．
|cs< m,PC>|=|m⋅PC|m||PC||=|1× 3− 3×1−2 3×1 3+1+12× 1+3+1|= 1510，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 1510．

18.(1)证明：过点A作AE⊥PB于点E，
因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，
所以AE⊥BC，
又PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，
又因为AE∩PA=A，AE，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
(2)解：假设在线段PC上(不含端点)，存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为 105，
以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,6,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P(0,6,6)，
AC=(3,−6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,−6,−6)，BA=(0,6,0)，
设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z)，
m⋅AC=0,m⋅AP=0,即3x−6y=0,6z=0,
取x=2，y=1，z=0，则m=(2,1,0)，
因为D在线段PC上(不含端点)，
所以可设PD=λPC=(3λ,−6λ,−6λ)，0<λ<1，
所以AD=AP+PD=(3λ,−6λ,6−6λ)，
设平面ABD的一个法向量为n=(x1，y1，z1)，
n⋅BA=0,n⋅AD=0,即6y1=0,3λx1−6λy1+(6−6λ)z1=0,
取x1=2λ−2，y1=0，z1=λ，则n=(2λ−2,0,λ)，
|cs|=2×(2λ−2)+1×0+0×λ 5× (2λ−2)2+λ2= 105，
解得λ=23或λ=2，
又0<λ<1，所以λ=23，经验证满足题意，
所以，存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为 105，此时D是PC上靠近C的三等分点．
19.(1)解：对于①，假设a与b线性相关，
则存在不全为零的实数k1，k2使得k1a+k2b=0，
则−4b1−2k2=0,k1+2k3=0,即k1+2k2=0，
可取k1=2，k2=−1满足方程组，所以a,b线性相关；
对于②，假设a,b,c线性相关，则存在不全为零的实数k1，k2，k3，
使得k1a+k2b+k3c=0，则−k1−2k2+3k3=0,k1+2k2+k3=0,k1+2k2−4k3=0,
可取k1=2，k2=−1满足方程组，所以a,b,c线性相关；
(2)解：假设α1−α2,2α1−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性相关．
则存在不全为零的实数k1，k2，k3，k4，
使得k1(α1−α2)+k2(2α1−3α3)+k3(3α3−4α4)+k4(4α4−α1)=0，
即(k1−k4)α1+(2k2−k1)α2+(3k3−3k2)α3+(4k4−4k3)α4=0，
因为α1,α2,α3,α4线性无关，
所以k1−k4=0,2k2−k1=0,3k3−3k2=0,4k4−4k3=0,解得k1=k2=k3=k4=0，与线性相关定义相矛盾，
所以向量α1−α1,2α2−3α3,3α3−4α4,4α4−α1线性无关；
(3)证明：设α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn)，
则由题设定义，可得：
α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)，
α⋅β=a1b1+a2b2+⋯+anbn，
则|α+β|2=(a1+b1)2+(a2+b2)2+⋯+(an+bn)2，
所以|α+β|2−4α⋅β=(a1+b1)2+(a2+b2)2+⋯+(an+bn)2−4(a1b1+a2b2+⋯+anbn)
=(a12−2a1b1+b12)+(a22−2a2b2+b22)+…+(an2−2anbn+bn2)
=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(an−bn)2≥0，
当且仅当ai=bi，i=1，2，⋯n成立时，等号成立，
所以|α+β|2≥4α⋅β，故原式得证．