天津市新华中学2024届高三上学期第二次月考数学试题

这是一份天津市新华中学2024届高三上学期第二次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=0,1,2,3,4,5，集合A=x∈Nx<3，B=0,3,4,5，则∁UA∪B=( )
A. 4,5B. 0,4,5C. 3,4,5D. 0,3,4,5
2.“|x|≠|y|”是“x≠y”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=2x31-|x| B. f(x)=2xx2+1 C. f(x)=2x3x2-1 D. f(x)=2(x2+1)x2-1
4.设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面.给出下列四个命题：
①若m//α，n//β，α//β，则m//n； ②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m//α；
③若m⊥n，m⊥α，α//β，则n//β；④若α⊥β，α∩β=l，m//α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.设函数f(x)=lg2 |x|，若a=flg132，b=f(lg52)，c=f(e0.2)，则a，b，c的大小为( )
A. b6.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an+1，则a5=( )
A. -32B. -16C. 16D. 32
7.已知四棱锥P-ABCD的体积为83，侧棱PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A. 12πB. 8πC. 4πD. 2π
8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若CD= 2|AB|，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2的部分图像如图，将函数fx的图像所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得函数图像向左平移π6个单位长度，得到函数gx的图像，则下列关于函数gx的说法正确的个数为( )
①点π6,0是gx图像的一个对称中心；②x=π6是gx图像的一条对称轴；
③gx在区间-π6,π3上单调递增； ④若gx1-gx2=4，则x1-x2的最小值为π2；
A. 1B. 2C. 3D. 4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10.已知i是虚数单位，复数z满足z(1-i)=1- 3i，则|z|= ．
11.若斜率为 3的直线与y轴交于点A，与圆x2+(y-1)2=1相切于点B，则|AB|= ．
12.在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足PN=23PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 ．
13.若x>0,y>0，且lg23x+lg29y=lg481，则此时x+2y= ，2x+x+3y3y的最小值为 ．
14.在平面四边形ABCD中，AB=2 3，AD=6，向量AB在向量AD上的投影向量为12AD，则∠BAD= ；若BC=13AD，点E为线段BD上的动点，则CE⋅AE的最小值为 ．
15.设a∈R，函数fx=ax2+x2-ax-1恰有三个零点，则a的取值集合为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本小题14.0分)
已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acsC．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若csB= 33，求sin2B-A的值；
(Ⅲ)若∆ABC的面积为10 33，a=3，求∆ABC的周长．
17.(本小题15.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE=14BC．
(Ⅰ)求证：DE⊥平面PAC；
(Ⅱ)求点E到平面PCD的距离；
(Ⅲ)设Q为棱CP上的点(不与C，P重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为 55，求CQCP的值．
18.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点2,1，且离心率为 32
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过原点的直线l1与椭圆C交于P､Q两点，且在直线l2:x-y+2 6=0上存在点M，使得∆MPQ为等边三角形，求直线l1的方程．
19.(本小题15.0分)
等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3．
(Ⅰ)求数列an和bn的通项公式；
(Ⅱ)若数列cn满足c2n-1=an，c2n=(-1)nanbn，求数列cn的前2n项和T2n；
(Ⅲ)求i=2n+1(-1)i-14iai-1ai(n∈N*)的最大值和最小值．
20.(本小题16.0分)
已知函数fx=-12x2+ax-lnxa∈R．
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(Ⅱ)求fx的单调区间；
(Ⅲ)若函数fx有两个极值点x1,x2x1新华中学2024届高三年级第一学期第二次月考
数学学科答案
1.【答案】D
【解析】【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；
【详解】因为 A=x∈Nx<3=0,1,2 ，所以 ∁UA=3,4,5 ，
所以 ∁UA∪B=0,3,4,5 ．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：由“|x|≠|y|”，一定有x≠y，
由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”，例如x=1，y=-1．
因此“|x|≠|y|”是“x≠y”的的充分不必要条件．
故选：A．
由“|x|≠|y|”，一定有x≠y，由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”，例如x=1，y=-1，即可判断出结论．
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
判断f(x)的奇偶性和f(0)、f(x)(x>1)的符号，由排除法可得结论．
【解答】解：由已知图象可得f(x)为奇函数，且f(0)=0，故排除选项D；
又f(x)的图象以及函数的定义域，故排除选项B；
当x>1时，f(x)>0，故排除选项A．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：①若m//α，n//β，α//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故①错误；
②若α⊥β，m⊥β，则m⊂α或m//α，∵m⊄α，则m//α，故②正确；
③若m⊥α，α//β，则m⊥β，又m⊥n，则n⊂β或n//β，故③错误；
④若α⊥β，α∩β=l，m//α，m⊥l，由直线与平面垂直的性质可得m⊥β，故④正确．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个命题得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了比较大小，函数的奇偶性与单调性、对数函数的性质、对数运算等，涉及指数函数性质，属于基础题．
由题意知函数f(x)是定义域上的偶函数，结合lg132,lg52,e0.2的符号及大小，利用对数函数性质即可求得结果．
【解答】
解：显然f(x)=lg2 |x|是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
且当x>0时，f(x)=lg2x单调递增．
∵lg132=-lg32<0，∴flg132=flg32，
∵11lg23>1lg25>0,∴1>lg32>lg52>0，
∵e0.2>e0=1，∴flg52∴b故选A．
6.【答案】B
【解析】【分析】先利用和与项的关系，将和转化为项，判断出数列an为等比数列，即可求解．
【详解】∵Sn=2an+1①，
∴Sn+1=2an+1+1②，
②减去①得：an+1=2an+1-2an，即an+1=2an，
又∵S1=2a1+1，即a1=-1，
∴数列an是以-1为首项，公比为2的等比数列，
∴a5=-24=-16．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的外接球的表面积求法，是中档题．
由题意确定四棱锥的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求得外接球表面积．
【解答】
解：由题意四棱锥 P-ABCD 的体积为 83 ，侧棱 PA⊥ 底面 ABCD ，且四边形 ABCD 是边长为2的正方形，
得 VP-ABCD=13×2×2×PA=83,∴PA=2 ，
设O为PC的中点，E为 AC,BD 的交点，连接 OE,OA ，
则E为 AC 的中点，故 OE/​/PA ，且 OE=12PA=1
因为 PA⊥ 底面 ABCD ，故 OE⊥ 平面 ABCD ，
AC⊂ 平面 ABCD ，故 OE⊥AC ，
而四边形 ABCD 是边长为2的正方形，故 AC=2 2 ，
故 PC= PA2+AC2=2 3 ，则 OP=OC= 3 ，
又 AE=CE=AC2= 2 ，故 OA=OC= AE2+OE2= 3 ，
同理求得 OB=OD= 3 ，即 OA=OB=OC=OD=OP ，
故O为四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心，则半径为 3 ，
则该四棱锥的外接球的表面积为 4π×( 3)2=12π ，
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】设公共焦点为c,0，进而可得准线为x=-c，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a2=12c2，再由双曲线离心率公式即可得解．
解：设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为c,0，
则抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-c，
令x=-c，则c2a2-y2b2=1，解得y=±b2a，所以AB=2b2a，
又因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以CD=2bca，
所以2bca=2 2b2a，即c= 2b，所以a2=c2-b2=12c2，
所以双曲线的离心率e=ca= 2．
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：由图像可知函数f(x)的最大值为2，最小正周期满足T4=29π-118π，即T=23π，
所以A=2，ω=2πT=3，f(x)=2sin(3x+φ)，
又点(2π9,2)在函数f(x)的图像上，所以f(2π9)=2sin(2π3+φ)=2，
所以2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=-π6+2kπ,k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=-π6，f(x)=2sin(3x-π6)，
将函数f(x)的图像所有点的横坐标伸长到原来的32，可得y=2sin(2x-π6)的图像，
再将所得函数图像向左平移π6个单位长度，可得y=2sin(2x+π6)的图像，
所以g(x)=2sin(2x+π6)，
因为g(π6)=2sin(2×π6+π6)=2，
所以点(π6,0)不是g(x)图像的一个对称中心，x=π6是g(x)图像的一条对称轴，
故①错误，②正确；
当x∈[-π6,π3]时，2x+π6∈[-π6,5π6]，
所以g(x)在区间[-π6,π3]上不单调，故③错误；
若|g(x1)-g(x2)|=4，则g(x1)、g(x2)分别为函数g(x)的最大值、最小值；
由函数g(x)的最小正周期为π可得|x1-x2|的最小值为π2，故④正确．
故选：B．
由三角函数的图像与性质可得f(x)=2sin(3x-π6)，再由三角函数图象变换法则可得g(x)=2sin(2x+π6)，再结合三角函数的图像与性质逐项判断即可得解．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
10.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算及复数的模，属基础题.先化简复数z，再根据复数模的公式求解即可．
【解答】
解：|z|=|1- 3i1-i|=2 2= 2，故答案为 2．
11.【答案】 3
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆相切的性质以及直线斜率的应用，属于中档题．
由题意如图可得AB与半径BC的关系，再由切线的斜率，得到倾斜角，然后利用解三角的思想可得|AB|的值．
【解答】
解：
假设A在x轴的上方，斜率为 3的直线与x轴交于D，
则可得tan∠ADO= 3，所以ct∠BAC= 3，
如图所示，
由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|=1，
由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|=|BC|⋅ct∠BAC= 3，
故答案为： 3．
12.【答案】29
【解析】解：在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足PN=23PB，
所以S△PMA=13S△PAC，
设N到平面PAC的距离d1，B到平面PAC的距离d2，则d1=23d2，
则三棱锥P-AMN的体积为V三棱锥P-AMN=V三棱锥N-APM=13S△PAM⋅d1=13×13S△PAC×23d2=29V三棱锥B-PAC．
故三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为29．
设N到平面PAC的距离d1，B到平面PAC的距离d2，则d1=23d2，S△PMA=13S△PAC，然后结合三棱锥的体积公式即可求解．
本题主要考查了三棱锥体积的求解，换顶点的应用是求解问题的关键，属于中档题．
13.【答案】2 ；2+23 6
【解析】【分析】
本题考查对数的运算以及基本不等式求最值，属于中档题．
根据对数运算可得x+2y=2，则2x+x+3y3y=2x+23y+13=12(2x+23y)(x+2y)+13展开根据基本不等式即可求解．
【解答】
解：∵lg23x+lg29y=lg481，
∴lg2(3x⋅32y)=lg434，
即lg23x+2y=lg232，
∴x+2y=2，∴2x+x+3y3y=2x+23y+13
=12(2x+23y)(x+2y)+13=12(2+4yx+2x3y+43)+13
=2+12(4yx+2x3y)≥2+12×2 4yx⋅2x3y=2+23 6，
当且仅当x= 6y且x+2y=2，即x=6-2 6,y= 6-2时等号成立，
故2x+x+3y3y的最小值为2+23 6．故答案为：2；2+23 6．
14.【答案】π6；-6
【解析】【分析】作出向量 AB 在向量 AD 上的投影向量，在直角三角形中求出 ∠BAD ；以点 A 为坐标原点， AD 为 x 轴建立直角坐标系，利用坐标法求出 CE⋅AE 的最小值．
【详解】过点 B 作 BM 垂直 AD 于点 M ，则向量 AM 为向量 AB 在向量 AD 上的投影向量，
由题意知点 M 为线段 AD 的中点，所以 AM=12AD=6 ，
所以 cs∠BAD=AMAB=32 3= 32 ，又 ∠BAD 为锐角，故 ∠BAD=π6 ．
以点 A 为坐标原点， AD 为 x 轴建系如图，则 A(0,0) ， D(6,0) ， B(3, 3) ．
因为 BC=13AD ，所以 C(5, 3) ．
因为点 E 为线段 BD 上的动点，所以设 DE=λDB=λ(-3, 3) ， λ∈[0,1] 故点 E(6-3λ, 3λ) ．
CE⋅AE=(6-3λ, 3λ)⋅(1-3λ, 3λ- 3) =(6-3λ)(1-3λ)+ 3λ⋅( 3λ- 3)
=12λ2-24λ+6 ， λ∈[0,1] ．
当 λ=1 时， CE⋅AE 取到最小值 -6 ．
故答案为： π6 ； -6 ．

15.【答案】{-2,-1}
【解析】解：显然x=0不是函数f(x)的零点，
令f(x)=0，可得a+|1-ax-1x2|=a+|1x2+ax-1|=0，
令t=1x,(t≠0)，则a+|t2+at-1|=0，即|t2+at-1|=-a(*)，
要使(*)有三个根，则-a>0，解得a<0，
令y=t2+at-1，则Δ=a2+4>0，且对称轴t=-a2>0，
作出函数g(t)=|t2+at-1|(t≠0)的大致图象如下，
由图象可知，要使(*)有三个根，则-a=1或-a=g(-a2)=-(a24-a22-1)，
解得a=-1或a=-2．
故答案为：{-2,-1}．
易知x=0不是函数f(x)的零点，令t=1x,(t≠0)，问题可转化为|t2+at-1|=-a有3个根，作出函数g(t)=|t2+at-1|(t≠0)的图象，结合图象可得-a=1或-a=g(-a2)，进而得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想，数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ) ∵2b=c+2acsC ．
∴ 由正弦定理可得 2sinB=sinC+2sinAcsC ， - - - - - - - -1分
则 2sinB=2sinA+C=2sinAcsC+2csAsinC ，
所以 sinC+2sinAcsC=2sinAcsC+2csAsinC ，
所以 sinC=2csAsinC ， - - - - - - - -3分
∵C 为三角形内角， sinC≠0 ，解得 csA=12 ， A∈0,π ，∴A=π3 ． - - - - - - - -4分
(Ⅱ)由已知 csB= 33 ， B∈0,π ，所以 sinB= 1-cs2B= 63 ， - - - - - - - -5分
∴sin 2B=2sin Bcs B=2 23 ， cs2B=2cs2B-1=-13 ， - - - - - - - -7分
∴sin2B-A=sin2B-π3=sin2Bcsπ3-cs2Bsinπ3=2 2+ 36 ． - - - - - - - -9分
(Ⅲ) ∵S∆ABC=12bcsinA=12bc× 32=10 33 ，∴bc=403 ， - - - - - - - -11分
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccsA=(b+c)2-2bc-2bccsA ，
即 9=(b+c)2-3×403 ，解得 b+c=7 ， - - - - - - - -13分
∴▵ABC 的周长为 a+b+c=10 ． - - - - - - - -14分
【解析】本题主要考查正余弦定理，三角恒等变换和同角三角函数的基本关系及面积公式，属于中档题．
(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简可得 sinC=2csAsinC ，由 C 为三角形内角， sinC≠0 ，解得 csA=12 ，结合范围 A∈(0,π) ，即可求得 A 的值．
(2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解．
(3)由已知利用三角形的面积公式可求 bc 的值，进而根据余弦定理可求 b+c 的值，即可得解 ▵ABC 的周长．
17.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2；(Ⅲ) CQCP=23；
【解析】【分析】(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系.利用向量法可得 DE⊥AC ， DE⊥AP ，即可证明结论；
(Ⅱ)由(1)可得 EP=-2,-1,4 与平面PCD的法向量，即可得答案；
(Ⅲ)设 CQCP=λ0<λ<1 ，后由直线QE与平面PAC所成角的正弦值为 55 结合空间向量知识可得关于 λ 的方程，即可得答案．
【详解】(Ⅰ)因为 PA⊥ 平面 ABCD ， AB⊂ 平面 ABCD ， AD⊂ 平面 ABCD
所以 PA⊥AB ， PA⊥AD .因为 AB⊥AD 则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系．
由已知可得 A0,0,0 ， B2,0,0 ， C2,4,0 ， D0,2,0 ， P0,0,4 ， E2,1,0 ．
所以 DE=2,-1,0 ， AC=2,4,0 ， AP=0,0,4 ．
因为 DE⋅AC=2×2-1×4+0=0 ，所以 DE⊥AC . DE⋅AP=0 ，所以 DE⊥AP ．
又 AP∩AC=A ， AP⊂ 平面 PAC ， AC⊂ 平面 PAC .所以 DE⊥ 平面 PAC ；- - - - - - - -4分
(Ⅱ)由(1)可知， EP=-2,-1,4
设平面 PCD 的法向量 n=x,y,z 因为 PD=0,2,-4 ， PC=2,4,-4 ．
所以 n⋅PD=0n⋅PC=0 ，即 2y-4z=02x+4y-4z=0 不妨设 z=1 ，得 n=-2,2,1
点 E 到平面 PCD 的距离 d=|EP⋅n||n|=6 4+4+1=2 ．
所以点 E 到平面 PCD 的距离为 2 .． - - - - - - - -9分
(Ⅲ)设 CQCP=λ0<λ<1 ，即 CQ=λCP=-2λ,-4λ,4λ ．
则 AQ=AC+CQ=2-2λ,4-4λ,4λ ，即 Q2-2λ,4-4λ,4λ ．
则 QE=2λ,4λ-3,-4λ .由(1)可取 DE=2,-1,0 为平面PAC法向量．
因 QE 与平面 PAC 夹角 θ 正弦值为 55 ，
则 sinθ=csQE,DE=QE⋅DEQE⋅DE=2×2λ-4λ-3+0 22+-12× 2λ2+4λ-32+-4λ2= 55；即 36λ2-24λ+9=3
解得 λ=23 ，即 CQCP=23 ． - - - - - - - -15分
18.【答案】(1) x28+y22=1 ；(2)方程为y=0或 y=23x ．
【解析】【解析】(1)将点 2,1 代入椭圆方程，由 e=ca= 32 ，结合 a2=b2+c2 ，可得 a=2 2 ， c= 6 即可求解．
(2)讨论直线斜率 k=0 或斜率 k≠0 时，将直线与椭圆方程联立，求出交点，设 Px0,y0 ，可得 Q-x0,-y0 ，再将 PQ 的垂直平分线方程 y=-1kx 与椭圆联立，求出 M-2 6kk+1,2 6k+1 ，求出 MO ，根据 MO= 3PO 即可求解．
【详解】(1)由题 4a2+1b2=1e=ca= 32a2=b2+c2 ，解得 a=2 2 ， b= 2 ， c= 6 ，
∴椭圆 C 的方程为 x28+y22=1； - - - - - - - -4分
(2)由题，当 l1 的斜率 k=0 时，此时 PQ=4 2 ，
直线 l2:x-y+2 6=0 与 y 轴的交点 (0,2 6) 满足题意； - - - - - - - -6分
当 l1 的斜率 k≠0 时，设直线 l1:y=kx ，
与椭圆联立 y=kxx28+y22=1 得 1+4k2x2=8 ， x2=81+4k2 ， - - - - - - - -7分
设 Px0,y0 ，则 Q-x0,-y0 ， ∴x02=81+4k2,y02=8k21+4k2,
∴PO= x02+y02= 81+k21+4k2 ， - - - - - - - - 9分
又 PQ 的垂直平分线方程为 y=-1kx ，由 y=-1kxx-y+2 6=0 ，解得 x=-2 6kk+1y=2 6k+1 ，
∴M-2 6kk+1,2 6k+1 ， - - - - - - - - 10分
∴MO= 24k2+1k+12 ， - - - - - - - - 11分
∵ ▵MPQ 为等边三角形，
∴MO= 3PO ，即 24k2+1k+12= 3 81+k21+4k2 ， - - - - - - - - 13分
解得 k=0 (舍去)， k=23 ，∴直线 l1 的方程为 y=23x - - - - - - - - 14分
综上可知，直线 l1 的方程为y=0或 y=23x ． - - - - - - - - 15分
【点睛】关键点点睛：将直线方程联立，关键求出 M,P,Q ，由 ▵MPQ 的形状，列出等式 MO= 3PO ，此题要求有较高的计算求解能力，难度较大．
19.【答案】(Ⅰ) an=2n+1,bn=2n-1 ；(Ⅱ) T2n=n2+2n-59-6n+518×(-2)n+1 ；(Ⅲ) Wn 的最大值为 -421 ，最小值为 -815 ．
【解析】【分析】(Ⅰ)利用等差等比数列的通项公式用公差和公比表示已知条件，可求得公差和公比，进而得到通项公式；(Ⅱ)利用分组求和法，转化为 T2n =a1+a2+⋅⋅⋅+an+a1-b11+a2b2+⋅⋅⋅+(-1)nanbn ，第一部分利用等差数列求和公式求和，第二部分，利用错位相减求和法求得；(Ⅲ)可裂项，然后相加相消求和，讨论单调性求最大最小值。
【详解】(Ⅰ)设数列 an 的公差为d，数列 bn 的公比为q， a1=3,b1=1
及 b2+S2=10,a5-2b2=a3, 得 q+3+3+d=10,3+4d-2q=3+2d,
解得 d=2,q=2, 所以 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1 ． - - - - - - - -3分
(Ⅱ) T2n=c1+c3+⋯+c2n-1+c2+c4+⋯+c2n
=a1+a2+⋅⋅⋅+an+a1-b11+a2b2+⋅⋅⋅+(-1)nanbn - - - - - - - -4分
设 an 前项n和为A
A=(3+2n+1)n2=n2+2n - - - - - - - -5分
设 (-1)nanbn=12(2n+1)(-2)n 前项n和为B
B=12×3×(-2)1+12×5×(-2)2+……+12×(2n-1)×(-2)n-1+12×(2n+1)×(-2)n
-2B=12×3×(-2)2+12×5×(-2)3+……12×(2n-1)×(-2)n+12×(2n+1)×(-2)n+1
3B=-3+(-2)2+(-2)3……+(-2)n-12×(2n+1)×(-2)n+1 3B=-3+4-(-2)n+11+2-12×(2n+1)×(-2)n+1
B=-59-6n+518×(-2)n+1 - - - - - - - -8分
综上可知 T2n=A+B=n2+2n-59-6n+518×(-2)n+1 - - - - - - - -9分
(Ⅲ)由(-1)i-14iai-1ai=(-1)i-1(2i-1)+(2i+1)(2i-1)(2i+1)=(-1)i-1(12i-1+12i+1)- - - - - - - -10分
记 Wn=i=2n+1(-1)i-14iai-1ai ，
则 Wn = -(13+15)+(15+17)+...+(-1)n(12n+1+12n+3)
=-13+(-1)n12n+3 ，- - - - - - - -12分
当n为奇数时 Wn =-13-12n+3 随着n的增大而增大，可得 -815⩽Wn<-13 ，
当n为偶数时 Wn =-13+12n+3 随着n的增大而减少，可得 -13所以 Wn 的最大值为 -421 ，最小值为 -815 ．- - - - - - - -15分
【点睛】本题考查等差数列等比数列的通项和求和，分组求和方法，错位相减法求和和裂项相消求和法，关键是第二问中的分组求和和第三问中的裂项技巧．
20.【答案】(Ⅰ)当a=1时， fx=-12x2+x-lnxx>0 ，
所以 f1=-12+1=12 ，故切点坐标为 1,12 ，
又 f'x=-x+1-1x ，所以 f'1=-1 ，
故切线的斜率为 -1 ，由点斜式可得， y-12=-x-1 ，即 2x+2y-3=0 ，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 2x+2y-3=0 ； - - - - - - - -3分
(Ⅱ) fx 的定义域为 0,+∞ ，
又 f'x=-x+a-1x=-x2-ax+1x ， - - - - - - - -4分
①当 a2-4≤0 ，即 -2≤a≤2 时， f'x≤0 在 0,+∞ 上恒成立，
故 fx 在 0,+∞ 上单调递减； - - - - - - -6分
②当 a2-4>0 ，即 a>2 或 a<-2 ，
令 f'x=0 ，解得 x=a- a2-42,x=a+ a2-42 ，
若 a>2 时，则当 0a+ a2-42 时， f'x<0 ，
当 a- a2-420 ，
所以 fx 在 0,a- a2-42,a+ a2-42,+∞ 上单调递减，
在 a- a2-42,a+ a2-42 上单调递增； - - - - - - -8分
若 a<-2 时， f'x<0 在 0,+∞ 上恒成立，
故 fx 在 0,+∞ 上单调递减． - - - - - - -9分
综上所述，当 a≤2 时， fx 在 0,+∞ 上单调递减，
当 a>2 时， fx 在 0,a- a2-42,a+ a2-42,+∞ 上单调递减，在 a- a2-42,a+ a2-42 上单调递增．
(Ⅲ)由(2)可知，当 a>2 时，f(x)有两个极值点 x1,x2x1则 x1+x2=ax1x2=1 ， - - - - - - -10分
由题意可得， 0则 4fx1-2fx2=4-12x12+ax1-lnx1-2-12x22+ax2-lnx2
=-2x12+4ax1-4lnx1+x22-2ax2+2lnx2
=-2x12+4x1x1+x2-4lnx1+x22-2x2x1+x2+2lnx2
=2x22-x22+6lnx2+2 ， - - - - - --14分
令 gx=2x2-x2+6lnx+2x>1 ，
则 g'x=-4x3-2x+6x=-2x2-1x- 2x+ 2x3 ，
当 10 ，则 gx 单调递增，
当 x> 2 时， g'x<0 ，则 gx 单调递减，
故当 x= 2 时， gx 取得最大值 g 2=2 22- 22+6ln 2+2=1+3ln2 ，- - - - --16分
所以 4fx1-2fx2≤1+3ln2 ．
【解析】(1)求出切点坐标和切线斜率可得答案；
(2)分 -2≤a≤2 、 a>2 、 a<-2 三种情况讨论求解即可；
(3)首先可得 x1+x2=ax1x2=1 ，然后可得 4fx1-2fx2=2x22-x22+6lnx2+2 ，然后令 gx=2x2-x2+6lnx+2x>1 ，然后利用导数求出 gx 的极大值即可证明．
新华中学2024届高三年级第一学期第二次月考
数学学科
本试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟。
将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。