冀教版（2024）九年级上册24.1 一元二次方程教案

这是一份冀教版（2024）九年级上册24.1 一元二次方程教案，共5页。

1.经历从实际问题中建立一元二次方程概念的过程.
2.了解一元二次方及其相关概念.
3.体会方程是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型.数学来源于生活,又回归生活.
学习重点
一元二次方程的概念及一般形式.
学习难点
1.由实际问题抽象出一元二次方程的转化过程.
2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.
课时活动设计
情境引入
如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.
分析下面小明和小亮列方程的做法,思考所列方程的特征.
小明的做法:
设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为90-x2 m.
根据题意,可得方程90-x2·x=700.
整理,得x2-90x+1 400=0.
小亮的做法:
设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x) m.
根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.
整理,得x2-45x+350=0.
设计意图:由实际问题导入,让学生对比观察引导学生思考分析,进而激发学生解决问题的强烈愿望,为一元二次方程概念的生成做好铺垫,同时增强学生分析问题的能力.
探索新知
探究1 一元二次方程的概念
如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少?
如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x m,请列出方程,并谈所列方程的特征.
分析:在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=AB2-AC2=6 m.所以A'C=7 m.设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x m.根据题意,可得方程 72+(6+x)2 = 102 .整理,得 x2+12x-15=0 .
所列方程 只含有一个 未知数,并且未知数的最高次数为 2 .
思考:观察x2-90x+1 400=0,x2-45x+350=0,x2+12x-15=0这三个方程,它们有什么共同特征?你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的概念吗?
共同特征:(1)方程各项都是整式;
(2)方程中只含有一个未知数;
(3)未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程.
探究2 一元二次方程的一般形式
类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).
其中,ax2是二次项,a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项.
注意事项:1.注意“项”与“项的系数”的区别;2.先化简成一般形式;3.书写系数时不要遗漏符号.
思考1:为什么要限制a ≠ 0,b,c可以为0吗?
当a=0时,ax2+bx+c=0bx+c=0(一元一次方程)
一元一次方程
结论:只要满足a≠0,a,b,c可以为任意实数.
思考2:一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系?
学生小组合作交流,教师归纳:
探究3 一元二次方程的根
回忆方程的解,思考什么是一元二次方程的解,如何判断是不是一元二次方程的解?
解:方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值,在涉及方程解的题目中,我们一般是把这个解代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
设计意图:教师引导学生,让学生独立思考,小组合作交流.根据已有的知识经验把实际问题模型化,进而建立一元二次方程的概念,体会用符号语言理解一元二次方程的一般形式.培养学生观察分析的能力、归纳总结的能力及合作交流的能力.
典例精讲
例1 将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项、一次项和常数项.
(1)4x2=3(x+4); (2)(2x-3)(3x-2)=10;
(3)x+22·2x-33=7; (4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2.
解:(1)整理,得4x2-3x-12=0.∴二次项是4x2,一次项是-3x,常数项是-12;
(2)整理,得6x2-13x-4=0.∴二次项是6x2,一次项是-13x,常数项是-4;
(3)整理,得2x2+x-48=0.∴二次项是2x2,一次项是x,常数项是-48;
(4)整理,得5x2+6x+2=0.∴二次项是5x2,一次项是6x,常数项是2.
例2 在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根?
(1)x2-3x-4=1(x=1,x=-1,x=4);
(2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4);
(3)2y2-y-1=0.(y=0,y=1,y=-12).
解:(1)x=-1,x=4;(2)x=-4,x=4;(3)y=1,y=-12.
设计意图:通过例题讲解,规范学生的解题步骤,加深学生对一元二次方程的认识和理解.
巩固练习
1.在下列方程中,哪些是一元二次方程?是一元二次方程的,指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-x;(2)2x=1-x;(3)3x2=12;(4)(x-1)2=2.
解:(1)(3)(4)是一元二次方程.
(1)二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是-1;
(3)二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是-12;
(4)二次项系数是1,一次项系数是-2,常数项是-1.
2.如图,大小两个四边形都是矩形,且阴影部分的面积为800.请列出关于x的方程.
解:由题意,得(40-4x)(60-2x)=800.
整理,得x2-40x+200=0.
设计意图:学生通过练习进一步巩固本节所学内容,加深对一元二次方程概念及模型的理解.
课堂8分钟.
1.教材第36页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思
一元一次方程
一元二次方程
一般式
ax+b=0 (a≠0)
ax2+bx+c=0 (a≠0)
相同点
整式方程,只含有一个未知数
不同点
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2