数学冀教版（2024）24.4 一元二次方程的应用教学设计

这是一份数学冀教版（2024）24.4 一元二次方程的应用教学设计，共12页。

课时目标
1.经历用一元二次方程解决几何问题的过程,进一步认识方程模型的重要性.
2.能根据几何问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
3.在实际应用过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步增强数学的抽象能力和应用意识.
学习重点
列一元二次方程解决与几何图形面积有关的应用题.
学习难点
在几何问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果的合理性.
课时活动设计
复习导入
1.三角形,正方形,长方形,平行四边形的面积公式是什么呢?
答:S三角形=12×底×高,S正方形=边长×边长,S长方形=长×宽,S平行四边形=底×高.
2.解一元二次方程的方法有哪些?
答:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
3.列方程解应用题的一般步骤是什么?
答:审、设、列、解、验、答.
4.列方程解应用题的关键是什么?
解:读懂题意,找到题目中的等量关系.
设计意图:通过复习有关面积的公式及列方程解应用题的步骤,为本节课的探究活动作铺垫.
情境导入
你能求解本章第1节“做一做”的问题吗?
一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1 m吗?设梯子的底端B在地面滑动的距离为x m,已得到方程x2+12x-15=0.请解这个方程,并给出问题的答案.
设计意图:创设实际问题的导入,回顾本章起始内容,让学生感受建模思想在与几何有关的实际问题中的应用,培养学生的运算能力和应用意识.
探究新知
例1 如图,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.
学生独立思考,师生共同解答.
1.本题中有哪些数量关系?
2.如何理解“存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来”?
3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?
4.解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点?
解法一:设长方形的长为x m,则宽为(90-2x)m,
得方程x(90-2x)=700.
整理,得2x2-90x+700=0.
解得x1=35,x2=10.
当x=35时,90-2x =20 ;当x=10时,90-2x =70 .
由于墙长22 m,所以长方形宽70 m不合题意,即x=10不合题意,舍去.
答:这个长方形存车处的长和宽分别是35 m和20 m.
解法二:设长方形靠墙的一边的长为x m,
得方程x ·90-x2=700,
整理,得x2-90x+1 400=0.
解得x1=70,x2=20.
由于墙长22 m,∴x1=70不符合题意,应舍去.
当x=20时,90-x2=90-202=35.
答:这个长方形存车处的长和宽分别是35 m和20 m.
比较上述两种解法可知,解法二较简便,正确找出等量关系,设出未知数是求解实际问题的关键.
例2 已知一本数学书的长为26 cm,宽为18.5 cm,厚为1 cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1 260 cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.
教师引导学生分析,学生思考,并回答下列问题:
分析:题中的等量关系是 包书纸的长×宽=1 260 cm2 ,设正方形的边长为x cm,则包书纸的长为 (18.5×2+1+2x) cm,包书纸的宽为 (26+2x) cm,则可列方程为 (18.5×2+1+2x)(26+2x)=1 260 .
解:设正方形的边长为x cm,根据题意,得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1 260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得x1=2,x2=-34(不符合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
方法点拨:用一元二次方程解决几何问题,主要集中在几何图形的面积问题.这类问题的面积公式是等量关系.如果是规则图形,那么直接运用面积公式列方程即可;如果图形不规则,应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的等量关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.
设计意图:从实际问题引入,根据学生已有知识经验,自主探究、小组交流,在教师的引导下,找出问题的等量关系列方程解决问题,充分体现建模思想在解决实际问题的重要性,提升学生分析问题、解决问题的能力.
巩固练习
1.已知一个直角三角形两直角边的和是12,斜边长是10,求这个直角三角形两直角边的长.
解:设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为12-x,
根据题意,得x2+(12-x)2=102.
整理,得x2-12x+22=0.
解这个方程,得x1=6+,x2=6-.
当x=6+时,另一条直角边的长为6-,
当x=6-时,另一条直角边的长为6+,且都符合题意.
答:两条直角边的长分别是6+,6-.
2.如图,有一块长80 cm,宽60 cm的长方形硬纸片,在四角各剪去一个同样的小正方形,用剩余部分做成一个底面积为1 500 cm2的无盖长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.
解:设剪去的小正方形的边长为x cm,则无盖长方体盒子的长为(80-2x)cm,宽为(60-2x)cm.
根据题意,得(80-2x)(60-2x)=1 500,
整理,得x2-70x+825=0.
解得x1=15,x2=55(不合题意,舍去).
答:剪去的小正方形的边长为15 cm.
设计意图:通过练习,让学生进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂8分钟.
1.教材第48页练习第1题,习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思

第2课时 变化率问题
课时目标
1.会根据具体问题,找到变化率问题中的等量关系.
2.能根据变化率问题中的数量关系列出一元二次方程并求解,并能根据问题的实际意义检验结果的合理性.
3.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步增强应用数学的意识.
学习重点
列一元二次方程解决变化率问题.
学习难点
在实际问题中找等量关系列方程.
课时活动设计
探究新知
探究1 用一元二次方程解决增长率问题
随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010年底,该市汽车保有量为15万辆,截至2012年底,汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,求这个增长率.
教师引导学生分析,设年增长率为x,回答以下问题:
(1)2011年底比2010年底增加了 15x 万辆汽车,达到了 15(1+x) 万辆.
(2)2012年底比2011年底增加了 15x(1+x) 万辆汽车,达到了 15(1+x)2 万辆.
(3)根据题意,列出的方程是 15(1+x)2=21.6 .
(4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程.
学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.
解:设年增长率为x,根据题意,得15(1+x)2=21.6.
解方程,得x1=0.2,x2=-2.2(不符合题意,舍去).
答:这个增长率为20%.
拓展问题:如果增长率不变,2013年底,该市汽车保有量达到多少万辆?
学生独立思考并解答,教师补充.
解:如果增长率不变,到2013年底该市汽车保有量为21.6×(1+20%)=25.92(万辆).
探究2 用一元二次方程解降低率问题
某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少?
分析:1.题目中的已知量和未知量分别是什么?(已知量:工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;未知量:每年废气减少的百分率)
2.未知量之间的数量关系是什么?(第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍)
3.如何设未知数?(设第一年废气减少的百分率为x,则第二年废气减少的百分率为2x)
4.题目中的等量关系是什么?(工业废气年排放量300万立方米减少两次之后=144万立方米)
5.如何根据等量关系列出方程?(300(1-x)(1-2x)=144)
6.你能求解方程,写出正确答案吗?
学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.
解:设第一年减少的百分率是x,则第二年减少的百分率是2x.
由题意,得300(1-x)(1-2x)=144
整理化简,得50x2-75x+13=0.
解得x1=0.2,x2=1.3(不符合题意,舍去).
故x=0.2.
答:第一年减少的百分率是20%,第二年减少的百分率是40%.
归纳总结:如果增长(或降低)率中的基数为a,平均增长(或降低)率为x,则
第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x),
第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2,
……
第n次增长(或降低)后的数量为a(1±x)n.其中增长取“+”,降低取“-”.
设计意图:将分析问题的过程分解成小问题的形式,采用层层递进的方式分析,通过学生自主探究、小组合作交流,建立一元二次方程模型解决增长(或降低)率的问题,降低了学习难度,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为x(公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用)
教师引导学生分析:题中的等量关系是 建设费用+内部设备费用=总费用 ,建设费用与x+2成正比例,比例系数为0.6,则建设费用可表示成 0.6(x+2) ,内部设备费用与x2成正比例,比例系数为2,则内部设备费用可表示为 2x2 .根据题意,列方程为 0.6(x+2)+2x2=4.8 .
解:依题意,得0.6(x+2)+2x2=4.8.
整理,得10x+3x-18=0.
解方程,得x1=1.2,x2=-1.5(不符合题意,舍去).
答:该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷.
设计意图:引导学生分析题意,用代数式正确表示两种费用的等量关系,进一步培养学生分析问题、解决问题的能力,体会建立方程模型的过程,提高学生的应用意识.
课堂8分钟.
1.教材第50页习题A组第2题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思

第3课时 销售和其他问题
课时目标
1.会用一元二次方程解决商品销售的有关问题和其他问题.
2.能根据实际问题,检验所得结果的合理性.
3.进一步培养将实际问题化为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力.
学习重点
会根据实际问题(销售问题、握手问题等)中的数量关系列一元二次方程.
学习难点
分析实际问题(销售问题、握手问题等)中的数量关系.
课时活动设计
探究新知
探究1 用一元二次方程解单循环问题
某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢?
设邀请x支球队参加比赛,教师引导学生思考并解答下列问题:
(1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛 x-1 场.
(2)用含x的代数式表示比赛的总场次为 12x(x-1) .于是可得方程 12x(x-1)=28 .
(3)解这个方程并检验结果.
学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.
解:根据题意,可得x(x-1)2=28.
化简,得x2-x=56.
解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去).
经检验x=8是原方程的解,且符合题意.
答:应邀请8支球队参加比赛.
同类型归纳:单循环比赛问题,握手问题,火车票价问题等.
拓展提升 如果赛制为双循环比赛,应该怎样列方程?
解:(x-1)x=28.
同类型归纳:双循环比赛问题,互送礼物问题,火车车票问题等.
探究2 用一元二次方程解销售问题
某商场经销的太阳能路灯,标价为4 000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3 200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516 000元,则该顾客实际购买了多少个路灯?
教师引导学生分析:
(1)若顾客实际购买的路灯是80个,则所需费用为 4 000×80=320 000 元.
(2)若顾客一次性购买路灯用去516 000元,则所买路灯的数量 > (填“>”“=”或“<”)80个.
(3)设该顾客购买这种路灯x个,路灯超出80个的数量是 (x-80) 个,每个路灯可降价 8(x-80) 元,则每个路灯的售价为 4 000-8(x-80) 元.
(4)题目中的等量关系是 购买路灯数量×售价=总价 .
(5)根据等量关系,可列方程为 x[4 000-8(x-80)]=516 000 .
(6)解方程,并检验根是否都符合题意.
学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.
解:因为4 000×80=320 000<516 000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.
设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4 000-8(x-80)]元/个.
根据题意,得x[4 000-8(x-80)]=516 000.
整理,得x2-580x+64 500=0.
解这个方程,得x1=150,x2=430.
当x=430时,4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200(元),低于3 200元.不符合题意,应舍去.
答:该顾客实际购买了150个路灯.
归纳总结 销售问题常见关系式:
1.总价=销量×售价;
2.利润=售价-进价;
3.利润率=利润进价×100%;
4.总利润=单个利润×销量.
设计意图:引导学生正确理解题意,将分析问题的过程分解成小问题的形式,采用层层递进的方式分析,通过学生自主探究、小组合作交流,建立一元二次方程模型解决实际问题,降低了学习难度,通过拓展提升,提升学生的辨别分析能力,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
巩固练习
经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋.如果售价为a元/双,那么可以卖出这种运动鞋(350-10a)双.物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%.如果该商店卖完这批鞋赚得400元,那么该商店每双鞋的售价是多少元?这批鞋有多少双?
解:根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400.
化简,可得a2-56a+775=0.
解得a1=25,a2=31.
因为售价不得超过进价的120%,即21×120%=25.2(元).
所以a=25.
共卖出350-10×25=100(双).
答:该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双.
设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂8分钟.
1.教材第52页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思