初中数学5 相似三角形判定定理的证明优质教学设计

这是一份初中数学5 相似三角形判定定理的证明优质教学设计，共6页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。


教学目标
1.掌握相似三角形判定定理的证明.
2.会利用相似三角形的判定定理进行简单的计算和证明.
教学重难点
重点：相似三角形判定定理的证明.
难点：探究相似三角形判定定理的证明过程，并运用它们解决问题.
教学过程
导入新课
前面，我们已经学过三角形相似的哪些判定方法？但是这些方法，我们都是通过动手画图、测量、探索得出的，在理论上是不是一定正确还需要进行证明，这节课我们就来研究这个问题.
设计意图：让学生从回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣.
探究新知
一、预习新知
让学生自主预习课本99~101页.
命题1：两角分别相等的两个三角形相似.
如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.
设计意图：让学生从证明文字命题入手，引导学生先进行画图，然后写出已知、求证，最后写出证明过程.
第一步：引导学生根据文字命题画图.

第二步：根据图形和文字命题写出已知、求证.
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.
求证: △ABC∽△A′B′C′.
第三步：写出证明过程.
师：目前我们能说明两个三角形相似的方法有哪些？
生：只有相似三角形的定义.
师：我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理，可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等；下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可.根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A′B′C′全等的三角形，进而得到两个三角形相似.
然后教师以填空的形式进行引导.
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD＝A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则
__________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).
∴ ____________.
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴ 四边形DFCE是平行四边形.
∴ DE=CF.来源:ZXXK]
∴ ____________.
∴ ____________.
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,
∴ ____________.
∵ ∠A＝∠A′, ∠ADE=∠B′, AD=A′B′,
∴ △____≌ △____.
∴ △ABC∽△A′B′C′.
师：通过证明我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
二、合作探究
下面我们可以类比前面的证明方法，继续证明命题2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.小组内交流证明方法.
鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明，小组内交流证明方法，然后每组找学生代表在黑板上板书本小组的证明过程，最后对比各小组的证明过程，对于做的好的小组给予鼓励，对于出现问题的小组及时进行纠正.
通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明，从而得到相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
巩固练习
如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE与△ABC相似的是( )
A.∠ADE＝∠C B.∠AED＝∠B
C.＝ D.＝
答案：C
典型例题
【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.
【问题探索】题中已知角的大小，可以利用两角分别相等的两个三角形相似来判定.由线段垂直平分线的性质，得AD＝BD，则∠ABD＝∠BAC＝40°，从而求得∠CBD＝40°，即可证出△ABC∽△BDC.
【证明】∵ DE是AB的垂直平分线，∴ AD＝BD.
∵ ∠BAC＝40°，∴ ∠ABD＝∠BAC＝40°.
∵ ∠ABC＝80°，∴ ∠DBC＝40°，∴ ∠DBC＝∠BAC.
∵ ∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC.
【总结】本题是已知角的大小，而没有给出边的关系，可以利用两角分别相等的两个三角形相似来判定．
课堂练习
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E.若AD＝4，DB＝2，则DE∶BC的值为( )

A. B.
C. D.
2.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，连接BE，AC，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是( )
A.△ABE∽△DGE B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF D.△ACD∽△GCF
3.如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝_________时，△CEA与△EPB相似.
4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且AD＝AB，AE＝EC.求证：(1)△DEF∽△CBF；(2)DF·BF＝EF·CF.

参考答案
1.A
2.D
3.或6
4.证明：(1)∵ AE＝EC，∴ ＝.
∵ AD＝AB，∴ ＝.∴ ＝.
又∠A＝∠A，∴ △ADE∽△ABC.
∴ ∠ADE＝∠ABC，∴ DE∥BC，∴ △DEF∽△CBF.
(2)∵ △DEF∽△CBF，∴ ＝，
∴ DF·BF＝EF·CF.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.相似三角形的三个判定定理.
2.判定定理的运用.
布置作业
习题4.9第2题、第3题
板书设计
第四章 图形的相似
5 相似三角形判定定理的证明
相似三角形的三个判定定理：
定理1：两角分别相等的两个三角形相似；
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
定理3：三边成比例的两个三角形相似.