初中数学湘教版（2024）八年级上册2.4 线段的垂直平分线精品教案

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册2.4 线段的垂直平分线精品教案，共6页。

课题
2.4.1线段的垂直平分线
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.理解线段垂直平分线的性质及其推论；
2..能利用线段的垂直平分线的性质及推论进行简单的推理、判断、计算.
重点
线段垂直平分线的性质定理及判定定理.
难点
线段垂直平分线性质定理及推论的实际应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
前面，我们学习了轴对称的相关知识，请同学们回答：
问题1：什么是轴对称图形？
答案：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形.
问题2：什么是对称轴？
答案：折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴.
学生回答老师所提出的问题.
通过回答老师的问题，复习轴对称的知识，为垂直平分线的性质探究作好铺垫。
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？
答案：我发现
讲解：我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点A与点A′关于直线l 对称，如果沿直线l 折叠:
则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，
即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
归纳：我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
强调：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
探究：
（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的垂直平分线 MN；
（2）在线段AB的垂直平分线MN上任取一点P, 连接PA，PB，
答案：
（3）测量PA、PB的长度，你有什么发现？
答案：PA=PB
（4）你能证明这个发现吗？
证明：∵直线MN是线段AB 的垂直平分线，
∴点A与点B关于直线MN对称
∴沿直线MN折叠，点A与点B重合.
从而线段PA与线段PB重合
∴ PA= PB.
归纳：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
∵ AO =BO，MN⊥AB，
∴ PA =PB．
思考：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
探讨过程：
有两种情况：
（1）当点P在线段AB上时，
因为PA=PB，
所以点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
（2）当点P在线段AB外时，如图所示.
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
例：已知：如图，在△ABC中，AB,BC垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
同理 OB=OC
∴OA=OC
∴点O在AC的垂直平分线上
追问1：三角形三边的垂直平分线有什么特点呢？
答案：它们交于一点
追问2：这个点与三角形的三个顶点有什么关系呢？
答案：这个点到三角形三个顶点的距离相等.
归纳：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等.
练习： 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
解：∵ DE是AB的垂直平分线
∴ AE=BE
∴ ∠BAE＝∠B＝30°
又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC
∴ ∠CAE＝∠BAC-∠BAE
＝80°-30°
＝50°
对比：角的平分线与线段的垂直平分线
角的平分线
线段的垂直平分线
定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
在老师的问题要求下，自已利用轴对称的性质进行猜想，并仔细观察老师的演示，并用语言叙述线段的垂直平分线的概念.
按照老师的要求进行操作，猜想并验证结论，组内交流后与老师共同得出垂直平分线的性质定理及判定定理
认真审题并与同伴交流，完成例题与练习题，并细心听老师的讲评.
学生根据老师的提问回答问题.
认识线段的垂直平分线的概念..
探究线段垂直平分线的性质定理与判定定理
理解并掌握等腰三角形的判定定理.
提高学生应用线段垂直平分线的性质及推论解决实际问题的能力.
对角的平分线和线段的垂直平分线进行对比辨析.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )
A．11 B．10 C．9 D．8
答案：B
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
答案：A
3.如图，△ABC中，AB=9cm,AC＝15cm，BC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，求△ABD的周长.
解：∵ DE是BC的垂直平分线
∴ BD=DC
∴ △ABD的周长
=AB+BD+AD
=AB+DC+AD
=AB+AC
=9+15=24(cm)
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明：∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 AB与CD相交于点O
∴AO=BO.
在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
答案：线段垂直平分线的性质定理、判定定理及尺规作图的方法.
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
答案：性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第72页习题2.4A 组第2、3、4题
能力作业
教材第73页习题2.4B 组第6题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
课题：2.4.1线段的垂直平分线
教师板演区
学生展示区
1.线段的垂直平分线
2.线段垂直平分线的性质定理和逆定理
借助板书，让学生知道本节课的重点。