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高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系教案设计
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系教案设计，共13页。
一、匀变速直线运动的位移
1．利用v－t图像求位移
图1
v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，如图1所示，在图乙中，匀变速直线运动位移x＝eq \f(1,2)(v0＋v)t.
2．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当初速度为0时，x＝eq \f(1,2)at2.
二、速度与位移的关系
1．公式：v2－v02＝2ax.
2．推导：由速度时间关系式v＝v0＋at，位移时间关系式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，得v2－v02＝2ax.
1．判断下列说法的正误．
(1)在v－t图像中，图线与时间轴所包围的“面积”与物体的位移相等．( √ )
(2)位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2仅适用于匀加速直线运动，而v2－v02＝2ax适用于任意运动．( × )
(3)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．( × )
(4)因为v2－v02＝2ax，v2＝v02＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.( × )
2．汽车沿平直公路做匀加速运动，初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2,5 s末汽车的速度为________，5 s内汽车的位移为________，在汽车速度从10 m/s达到30 m/s的过程中，汽车的位移为________．
答案 20 m/s 75 m 200 m
一、匀变速直线运动的位移
导学探究 阅读教材43页“拓展学习”栏目，体会微元法的基本思想．
图2
如图2所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a，利用位移大小等于v－t图线下面梯形的面积推导匀变速直线运动的位移与时间关系．
答案 如题图所示，v－t图线下面梯形的面积x＝eq \f(1,2)(v0＋v)t①
又因为v＝v0＋at②
由①②式可得x＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
知识深化
1．在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负．
2．位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2只适用于匀变速直线运动．
3．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向．
4．当v0＝0时，x＝eq \f(1,2)at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小．
答案 (1)12.75 m (2)3.75 m
解析 (1)取初速度方向为正方向
v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
3 s内物体的位移x3＝v0t3＋eq \f(1,2)at32＝5×3 m＋eq \f(1,2)×(－0.5)×32 m＝12.75 m.
(2)同理2 s内物体的位移
x2＝v0t2＋eq \f(1,2)at22＝5×2 m－eq \f(1,2)×0.5×22 m＝9 m
因此第3 s内的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m.
位移—时间关系式的应用步骤：
1确定一个方向为正方向一般以初速度的方向为正方向.
2根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示.
3根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解.
4根据计算结果说明所求量的大小和方向.
针对训练1 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2 m，则下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为2 m/s2
B．物体第2秒内的位移为4 m
C．物体在第3秒内的平均速度为8 m/s
D．物体从静止开始通过32 m的位移需要4 s的时间
答案 D
解析 根据x1＝eq \f(1,2)at12得，物体运动的加速度a＝eq \f(2x1,t\\al( 2,1))＝4 m/s2，故A错误．物体在第2 s内的位移x2＝eq \f(1,2)at22－eq \f(1,2)at12＝6 m，故B错误．物体在第3 s内的位移x3＝eq \f(1,2)at32－eq \f(1,2)at22＝10 m，则第3 s内的平均速度为10 m/s，故C错误．物体从静止开始通过32 m需要时间t＝eq \r(\f(2x,a))＝4 s，故D正确．
二、匀变速直线运动速度与位移的关系
导学探究 如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？哪种方法较简单．
答案 方法一 由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间
t＝eq \f(v,a).
所以飞机起飞通过的位移为x＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(v2,2a).
方法二 由v2－v02＝2ax得x＝eq \f(v2,2a)
方法二较简单．
知识深化
对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意 应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度的大小；
(2)列车通过隧道所用的时间．
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s
解析 (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
v＝12 m/s，由v2－v02＝2ax得
加速度a＝eq \f(v2－v\\al( 2,0),2x)＝0.02 m/s2.
(2)由v＝v0＋at得
所用时间为t＝eq \f(v－v0,a)＝100 s.
针对训练2 (2019·临沂市高一期末)在交通事故分析中，刹车线的长度是事故责任认定的重要依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是10 m，假设汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2，则汽车开始刹车时的速度为( )
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
答案 B
解析 根据匀变速直线运动的速度位移公式得0－v02＝2ax，解得汽车开始刹车时的速度v0＝eq \r(－2ax)＝eq \r(－2×－5×10) m/s＝10 m/s，故B正确．
三、刹车问题分析
一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
答案 (1)30 m (2)40 m
解析 取初速度方向为正方向，汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，
末速度v＝0，
加速度a＝－5 m/s2；
汽车运动的总时间t＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(0－20,－5) s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋eq \f(1,2)at12＝[20×2＋eq \f(1,2)×(－5)×22] m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s末时早已停止运动
故x2＝v0t＋eq \f(1,2)at2＝[20×4＋eq \f(1,2)×(－5)×42] m＝40 m.
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝eq \f(v0,a)；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t四、逆向思维法
飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止．其着陆速度为60 m/s，求：
(1)飞机着陆过程中滑行的距离；
(2)在此过程中，飞机后4 s滑行的位移大小．
答案 (1)300 m (2)48 m
解析 (1)取初速度方向为正方向，v0＝60 m/s，a＝－6 m/s2，v＝0
由v2－v02＝2ax得
x＝eq \f(v2－v\\al( 2,0),2a)＝eq \f(0－602,－2×6) m＝300 m.
(2)匀减速直线运动速度减到零，其逆过程为初速度为零的匀加速直线运动，a′＝6 m/s2
后4 s的位移x2＝eq \f(1,2)a′t22＝eq \f(1,2)×6×42 m＝48 m.
逆向思维法求解运动问题
逆向思维法是把运动过程的“末态”作为“初态”来反向研究问题的方法．如物体做减速运动可看成反向加速运动来处理．末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能起到事半功倍的效果．
1．(位移公式的理解)(多选)(2019·抚州临川一中高一期末)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋2t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )
A．加速度为2 m/s2
B．前2 s内位移为18 m
C．第2 s内的位移是18 m
D．前2 s内的平均速度是9 m/s
答案 BD
解析 根据匀变速直线运动的位移时间关系公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得质点的初速度v0＝5 m/s，加速度为a＝4 m/s2，故A错误；由公式得前2 s内的位移x2＝5×2 m＋eq \f(1,2)×4×22 m＝18 m，B正确；第2 s内的位移Δx2＝x2－x1＝18 m－7 m＝11 m，故C错误；前2 s内的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(x2,t)＝9 m/s，故D正确．
2．(速度与位移关系的应用)如图3所示，一辆以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶了18 m时的速度为( )
图3
A．8 m/s B．12 m/s C．10 m/s D．14 m/s
答案 C
解析 由v2－v02＝2ax得v＝eq \r(v\\al( 2,0)＋2ax)＝10 m/s.
3．(位移公式的应用)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为( )
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2
C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
答案 B
解析 第2 s末的速度v＝v0＋at2，第2 s末的速度是第3 s的初速度，故第3 s内的位移x3＝(v0＋at2)t＋eq \f(1,2)at2，即4.5 m＝(2.0 m/s＋2 s·a)×1 s＋eq \f(1,2)a×(1 s)2，解得a＝1.0 m/s2，故B正确．
4．(速度与位移关系的应用)做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到3v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到5v时经过的位移是( )
A.eq \f(3,2)x B.eq \f(5,2)x C．x D．2x
答案 D
解析 根据速度—位移公式得(3v)2－v2＝2ax，(5v)2－(3v)2＝2ax′，联立两式解得x′＝2x.故选D.
5．(刹车问题)(2019·豫南九校高一上学期期末联考)汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求：
(1)汽车经3 s时速度的大小；
(2)汽车经6 s时速度的大小；
(3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离．
答案 见解析
解析 设汽车经时间t0速度减为0，有：
t0＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(0－10,－2) s＝5 s
(1)根据速度－时间公式有：v3＝v0＋at＝4 m/s
(2)经过6 s时速度为：v6＝0
(3)刹车8 s汽车的位移为：
x8＝x5＝v0t0＋eq \f(1,2)at02＝25 m.
考点一 位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．位移与时间的二次方成正比
B．位移总是随着时间的增大而增大
C．加速度、速度、位移三者方向一致
D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同
答案 D
解析 根据x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，位移与时间的二次方不是正比关系，选项A错误；位移可能随时间的增大而增大，也可能随时间的增大而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移先增大后减小，选项B错误；匀变速直线运动中，加速度、速度、位移的方向可能相同，也可能不同，选项C错误，D正确．
2．一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为( )
A．1.9 m/s2 B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2 D．3.0 m/s2
答案 B
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移－时间公式，有
前10 s的位移x1＝eq \f(1,2)at102，
前9 s的位移x2＝eq \f(1,2)at92，
故第10 s内的位移x＝x1－x2＝19 m，
代入数据解得a＝2.0 m/s2.
3．一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A．3节 B．6节 C．9节 D．12节
答案 C
解析 设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，
则L＝eq \f(1,2)at12，nL＝eq \f(1,2)at22.
将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确．
考点二 速度与位移关系v2－v02＝2ax
4.如图1所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使战机具有的初速度为( )
图1
A．10 m/s B．20 m/s C．30 m/s D．40 m/s
答案 D
解析 根据公式v2－v02＝2ax，解得v0＝eq \r(v2－2ax)＝eq \r(502－2×4.5×100) m/s＝40 m/s，D正确．
5．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．4∶1 D．2∶1
答案 B
解析 因两小车的末速度均为0，由v2－v02＝2ax得
eq \f(x1,x2)＝eq \f(v\\al( 2,01),v\\al( 2,02))＝eq \f(1,4)，选项B正确．
6．在全国铁路第六次大提速后，列车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速行驶，在列车头经过路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方900 m处出现特殊情况，为避免危险发生，列车至少应以多大加速度刹车？( )
A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.4 m/s2
答案 C
解析 列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x＝900 m，
则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0
取列车前进方向为正方向，
由关系式v2－v02＝2ax得：a＝－2 m/s2
即列车的加速度大小至少应为2 m/s2，故选项C正确．
7．(多选)(2019·黄冈市高一期末)某人骑自行车以5 m/s的初速度匀减速骑上一个长为30 m的斜坡，加速度大小是0.4 m/s2.则( )
A．他不能到达坡顶
B．他到达坡顶需用10 s时间
C．他到达坡顶需用15 s时间
D．他到达坡顶时的速度为1 m/s
答案 BD
解析 根据匀变速直线运动的位移时间公式得：x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得30＝5t－eq \f(1,2)×0.4t2，解得：t1＝10 s，t2＝15 s(舍去，因为若斜坡足够长，他经过t＝eq \f(v0,a)＝12.5 s，速度减为零)，故A、C错误，B正确；他到达坡顶的速度为v＝v0＋at＝5 m/s－0.4×10 m/s＝1 m/s，故D正确．
8.如图2所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为( )
图2
A.eq \f(2v1＋v2,3) B.eq \r(\f(2v\\al( 2,1)＋v\\al(2,2),3))
C.eq \r(\f(v\\al( 2,1)＋v\\al( 2,2),3)) D.eq \f(2,3)v1
答案 B
解析 设子弹在木块中运动时加速度的大小为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝－2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝－2a·2L，两式联立可得v＝eq \r(\f(2v\\al( 2,1)＋v\\al( 2,2),3))，故选B.
9.如图3所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
图3
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝eq \f(1,2)a2 D．a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2，
联立两式解得eq \f(a1,a2)＝eq \f(x2,x1)＝2，即a1＝2a2.
10．(多选)一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法正确的是( )
A．初速度v0的大小为2.5 m/s
B．加速度a的大小为1 m/s2
C．位移x3的大小为1.125 m
D．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s
答案 BCD
解析 由位移时间公式可知，
v0×1 s＋eq \f(1,2)a×(1 s)2＝3 m①
v0×2 s＋eq \f(1,2)a×(2 s)2－3 m＝2 m②
由①②联立得v0＝3.5 m/s，a＝－1 m/s2
故A错误，B正确；2 s末速度为v＝v0＋at2＝3.5 m/s－1 m/s2×2 s＝1.5 m/s，此后物体速度减为0所用时间为t＝eq \f(0－v,a)＝eq \f(－1.5 m/s,－1 m/s2)＝1.5 s，则x3＝vt＋eq \f(1,2)at2＝1.125 m，故C正确；位移x3内平均速度大小eq \x\t(v)＝eq \f(x3,t)＝0.75 m/s，故D正确．
11．汽车以v0＝10 m/s的速度在平直公路上匀速运动，刹车后经过2 s速度变为6 m/s，若将刹车过程视为匀减速直线运动，求：
(1)从开始刹车起，汽车在6 s内发生的位移大小；
(2)汽车静止前2 s内通过的位移大小．
答案 (1)25 m (2)4 m
解析 (1)汽车刹车时的加速度：
a＝eq \f(v－v0,t)＝eq \f(6－10,2) m/s2＝－2 m/s2，
则汽车速度减为零所需的时间：
t0＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(－10,－2) s＝5 s＜6 s.
则6 s内的位移等于5 s内的位移：
x＝v0t0＋eq \f(1,2)at02＝10×5 m＋eq \f(1,2)×(－2)×52 m＝25 m.
(2)将汽车的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则汽车在静止前2 s内的位移：
x′＝eq \f(1,2)a′t′2＝eq \f(1,2)×2×22 m＝4 m.
12．一列以60 m/s的速度匀速行驶的火车，由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线运动，从关闭发动机开始到速度减为20 m/s时共前进3 200 m．求：
(1)火车减速时加速度的大小；
(2)火车继续减速到停止还要走多远的距离？
答案 (1)0.5 m/s2 (2)400 m
解析 (1)设火车减速时的加速度为a，则对火车速度从60 m/s减为20 m/s的过程，有
a＝eq \f(v2－v\\al( 2,0),2x1)＝－0.5 m/s2
则火车减速时的加速度大小为0.5 m/s2.
(2)设火车继续减速x2的距离后停下
则0－v2＝2ax2，x2＝eq \f(0－v2,2a)＝400 m.
13．在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
答案 105 m
解析 汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，运动过程如图所示
在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，
滑行时间为t2＝eq \f(0－30,－5) s＝6 s
汽车刹车后滑行的位移为
x2＝v0t2＋eq \f(1,2)at22＝30×6 m＋eq \f(1,2)×(－5)×62 m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少应为
x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.
一、匀变速直线运动的位移
1．利用v－t图像求位移
图1
v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，如图1所示，在图乙中，匀变速直线运动位移x＝eq \f(1,2)(v0＋v)t.
2．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当初速度为0时，x＝eq \f(1,2)at2.
二、速度与位移的关系
1．公式：v2－v02＝2ax.
2．推导：由速度时间关系式v＝v0＋at，位移时间关系式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，得v2－v02＝2ax.
1．判断下列说法的正误．
(1)在v－t图像中，图线与时间轴所包围的“面积”与物体的位移相等．( √ )
(2)位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2仅适用于匀加速直线运动，而v2－v02＝2ax适用于任意运动．( × )
(3)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．( × )
(4)因为v2－v02＝2ax，v2＝v02＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.( × )
2．汽车沿平直公路做匀加速运动，初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2,5 s末汽车的速度为________，5 s内汽车的位移为________，在汽车速度从10 m/s达到30 m/s的过程中，汽车的位移为________．
答案 20 m/s 75 m 200 m
一、匀变速直线运动的位移
导学探究 阅读教材43页“拓展学习”栏目，体会微元法的基本思想．
图2
如图2所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a，利用位移大小等于v－t图线下面梯形的面积推导匀变速直线运动的位移与时间关系．
答案 如题图所示，v－t图线下面梯形的面积x＝eq \f(1,2)(v0＋v)t①
又因为v＝v0＋at②
由①②式可得x＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
知识深化
1．在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负．
2．位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2只适用于匀变速直线运动．
3．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向．
4．当v0＝0时，x＝eq \f(1,2)at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小．
答案 (1)12.75 m (2)3.75 m
解析 (1)取初速度方向为正方向
v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
3 s内物体的位移x3＝v0t3＋eq \f(1,2)at32＝5×3 m＋eq \f(1,2)×(－0.5)×32 m＝12.75 m.
(2)同理2 s内物体的位移
x2＝v0t2＋eq \f(1,2)at22＝5×2 m－eq \f(1,2)×0.5×22 m＝9 m
因此第3 s内的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m.
位移—时间关系式的应用步骤：
1确定一个方向为正方向一般以初速度的方向为正方向.
2根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示.
3根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解.
4根据计算结果说明所求量的大小和方向.
针对训练1 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2 m，则下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为2 m/s2
B．物体第2秒内的位移为4 m
C．物体在第3秒内的平均速度为8 m/s
D．物体从静止开始通过32 m的位移需要4 s的时间
答案 D
解析 根据x1＝eq \f(1,2)at12得，物体运动的加速度a＝eq \f(2x1,t\\al( 2,1))＝4 m/s2，故A错误．物体在第2 s内的位移x2＝eq \f(1,2)at22－eq \f(1,2)at12＝6 m，故B错误．物体在第3 s内的位移x3＝eq \f(1,2)at32－eq \f(1,2)at22＝10 m，则第3 s内的平均速度为10 m/s，故C错误．物体从静止开始通过32 m需要时间t＝eq \r(\f(2x,a))＝4 s，故D正确．
二、匀变速直线运动速度与位移的关系
导学探究 如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？哪种方法较简单．
答案 方法一 由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间
t＝eq \f(v,a).
所以飞机起飞通过的位移为x＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(v2,2a).
方法二 由v2－v02＝2ax得x＝eq \f(v2,2a)
方法二较简单．
知识深化
对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意 应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度的大小；
(2)列车通过隧道所用的时间．
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s
解析 (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
v＝12 m/s，由v2－v02＝2ax得
加速度a＝eq \f(v2－v\\al( 2,0),2x)＝0.02 m/s2.
(2)由v＝v0＋at得
所用时间为t＝eq \f(v－v0,a)＝100 s.
针对训练2 (2019·临沂市高一期末)在交通事故分析中，刹车线的长度是事故责任认定的重要依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是10 m，假设汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2，则汽车开始刹车时的速度为( )
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
答案 B
解析 根据匀变速直线运动的速度位移公式得0－v02＝2ax，解得汽车开始刹车时的速度v0＝eq \r(－2ax)＝eq \r(－2×－5×10) m/s＝10 m/s，故B正确．
三、刹车问题分析
一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
答案 (1)30 m (2)40 m
解析 取初速度方向为正方向，汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，
末速度v＝0，
加速度a＝－5 m/s2；
汽车运动的总时间t＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(0－20,－5) s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s末时早已停止运动
故x2＝v0t＋eq \f(1,2)at2＝[20×4＋eq \f(1,2)×(－5)×42] m＝40 m.
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝eq \f(v0,a)；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t
飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止．其着陆速度为60 m/s，求：
(1)飞机着陆过程中滑行的距离；
(2)在此过程中，飞机后4 s滑行的位移大小．
答案 (1)300 m (2)48 m
解析 (1)取初速度方向为正方向，v0＝60 m/s，a＝－6 m/s2，v＝0
由v2－v02＝2ax得
x＝eq \f(v2－v\\al( 2,0),2a)＝eq \f(0－602,－2×6) m＝300 m.
(2)匀减速直线运动速度减到零，其逆过程为初速度为零的匀加速直线运动，a′＝6 m/s2
后4 s的位移x2＝eq \f(1,2)a′t22＝eq \f(1,2)×6×42 m＝48 m.
逆向思维法求解运动问题
逆向思维法是把运动过程的“末态”作为“初态”来反向研究问题的方法．如物体做减速运动可看成反向加速运动来处理．末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能起到事半功倍的效果．
1．(位移公式的理解)(多选)(2019·抚州临川一中高一期末)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋2t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )
A．加速度为2 m/s2
B．前2 s内位移为18 m
C．第2 s内的位移是18 m
D．前2 s内的平均速度是9 m/s
答案 BD
解析 根据匀变速直线运动的位移时间关系公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得质点的初速度v0＝5 m/s，加速度为a＝4 m/s2，故A错误；由公式得前2 s内的位移x2＝5×2 m＋eq \f(1,2)×4×22 m＝18 m，B正确；第2 s内的位移Δx2＝x2－x1＝18 m－7 m＝11 m，故C错误；前2 s内的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(x2,t)＝9 m/s，故D正确．
2．(速度与位移关系的应用)如图3所示，一辆以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶了18 m时的速度为( )
图3
A．8 m/s B．12 m/s C．10 m/s D．14 m/s
答案 C
解析 由v2－v02＝2ax得v＝eq \r(v\\al( 2,0)＋2ax)＝10 m/s.
3．(位移公式的应用)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为( )
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2
C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
答案 B
解析 第2 s末的速度v＝v0＋at2，第2 s末的速度是第3 s的初速度，故第3 s内的位移x3＝(v0＋at2)t＋eq \f(1,2)at2，即4.5 m＝(2.0 m/s＋2 s·a)×1 s＋eq \f(1,2)a×(1 s)2，解得a＝1.0 m/s2，故B正确．
4．(速度与位移关系的应用)做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到3v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到5v时经过的位移是( )
A.eq \f(3,2)x B.eq \f(5,2)x C．x D．2x
答案 D
解析 根据速度—位移公式得(3v)2－v2＝2ax，(5v)2－(3v)2＝2ax′，联立两式解得x′＝2x.故选D.
5．(刹车问题)(2019·豫南九校高一上学期期末联考)汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求：
(1)汽车经3 s时速度的大小；
(2)汽车经6 s时速度的大小；
(3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离．
答案 见解析
解析 设汽车经时间t0速度减为0，有：
t0＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(0－10,－2) s＝5 s
(1)根据速度－时间公式有：v3＝v0＋at＝4 m/s
(2)经过6 s时速度为：v6＝0
(3)刹车8 s汽车的位移为：
x8＝x5＝v0t0＋eq \f(1,2)at02＝25 m.
考点一 位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．位移与时间的二次方成正比
B．位移总是随着时间的增大而增大
C．加速度、速度、位移三者方向一致
D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同
答案 D
解析 根据x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，位移与时间的二次方不是正比关系，选项A错误；位移可能随时间的增大而增大，也可能随时间的增大而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移先增大后减小，选项B错误；匀变速直线运动中，加速度、速度、位移的方向可能相同，也可能不同，选项C错误，D正确．
2．一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为( )
A．1.9 m/s2 B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2 D．3.0 m/s2
答案 B
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移－时间公式，有
前10 s的位移x1＝eq \f(1,2)at102，
前9 s的位移x2＝eq \f(1,2)at92，
故第10 s内的位移x＝x1－x2＝19 m，
代入数据解得a＝2.0 m/s2.
3．一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A．3节 B．6节 C．9节 D．12节
答案 C
解析 设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，
则L＝eq \f(1,2)at12，nL＝eq \f(1,2)at22.
将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确．
考点二 速度与位移关系v2－v02＝2ax
4.如图1所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使战机具有的初速度为( )
图1
A．10 m/s B．20 m/s C．30 m/s D．40 m/s
答案 D
解析 根据公式v2－v02＝2ax，解得v0＝eq \r(v2－2ax)＝eq \r(502－2×4.5×100) m/s＝40 m/s，D正确．
5．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．4∶1 D．2∶1
答案 B
解析 因两小车的末速度均为0，由v2－v02＝2ax得
eq \f(x1,x2)＝eq \f(v\\al( 2,01),v\\al( 2,02))＝eq \f(1,4)，选项B正确．
6．在全国铁路第六次大提速后，列车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速行驶，在列车头经过路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方900 m处出现特殊情况，为避免危险发生，列车至少应以多大加速度刹车？( )
A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.4 m/s2
答案 C
解析 列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x＝900 m，
则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0
取列车前进方向为正方向，
由关系式v2－v02＝2ax得：a＝－2 m/s2
即列车的加速度大小至少应为2 m/s2，故选项C正确．
7．(多选)(2019·黄冈市高一期末)某人骑自行车以5 m/s的初速度匀减速骑上一个长为30 m的斜坡，加速度大小是0.4 m/s2.则( )
A．他不能到达坡顶
B．他到达坡顶需用10 s时间
C．他到达坡顶需用15 s时间
D．他到达坡顶时的速度为1 m/s
答案 BD
解析 根据匀变速直线运动的位移时间公式得：x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得30＝5t－eq \f(1,2)×0.4t2，解得：t1＝10 s，t2＝15 s(舍去，因为若斜坡足够长，他经过t＝eq \f(v0,a)＝12.5 s，速度减为零)，故A、C错误，B正确；他到达坡顶的速度为v＝v0＋at＝5 m/s－0.4×10 m/s＝1 m/s，故D正确．
8.如图2所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为( )
图2
A.eq \f(2v1＋v2,3) B.eq \r(\f(2v\\al( 2,1)＋v\\al(2,2),3))
C.eq \r(\f(v\\al( 2,1)＋v\\al( 2,2),3)) D.eq \f(2,3)v1
答案 B
解析 设子弹在木块中运动时加速度的大小为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝－2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝－2a·2L，两式联立可得v＝eq \r(\f(2v\\al( 2,1)＋v\\al( 2,2),3))，故选B.
9.如图3所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
图3
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝eq \f(1,2)a2 D．a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2，
联立两式解得eq \f(a1,a2)＝eq \f(x2,x1)＝2，即a1＝2a2.
10．(多选)一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法正确的是( )
A．初速度v0的大小为2.5 m/s
B．加速度a的大小为1 m/s2
C．位移x3的大小为1.125 m
D．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s
答案 BCD
解析 由位移时间公式可知，
v0×1 s＋eq \f(1,2)a×(1 s)2＝3 m①
v0×2 s＋eq \f(1,2)a×(2 s)2－3 m＝2 m②
由①②联立得v0＝3.5 m/s，a＝－1 m/s2
故A错误，B正确；2 s末速度为v＝v0＋at2＝3.5 m/s－1 m/s2×2 s＝1.5 m/s，此后物体速度减为0所用时间为t＝eq \f(0－v,a)＝eq \f(－1.5 m/s,－1 m/s2)＝1.5 s，则x3＝vt＋eq \f(1,2)at2＝1.125 m，故C正确；位移x3内平均速度大小eq \x\t(v)＝eq \f(x3,t)＝0.75 m/s，故D正确．
11．汽车以v0＝10 m/s的速度在平直公路上匀速运动，刹车后经过2 s速度变为6 m/s，若将刹车过程视为匀减速直线运动，求：
(1)从开始刹车起，汽车在6 s内发生的位移大小；
(2)汽车静止前2 s内通过的位移大小．
答案 (1)25 m (2)4 m
解析 (1)汽车刹车时的加速度：
a＝eq \f(v－v0,t)＝eq \f(6－10,2) m/s2＝－2 m/s2，
则汽车速度减为零所需的时间：
t0＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(－10,－2) s＝5 s＜6 s.
则6 s内的位移等于5 s内的位移：
x＝v0t0＋eq \f(1,2)at02＝10×5 m＋eq \f(1,2)×(－2)×52 m＝25 m.
(2)将汽车的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则汽车在静止前2 s内的位移：
x′＝eq \f(1,2)a′t′2＝eq \f(1,2)×2×22 m＝4 m.
12．一列以60 m/s的速度匀速行驶的火车，由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线运动，从关闭发动机开始到速度减为20 m/s时共前进3 200 m．求：
(1)火车减速时加速度的大小；
(2)火车继续减速到停止还要走多远的距离？
答案 (1)0.5 m/s2 (2)400 m
解析 (1)设火车减速时的加速度为a，则对火车速度从60 m/s减为20 m/s的过程，有
a＝eq \f(v2－v\\al( 2,0),2x1)＝－0.5 m/s2
则火车减速时的加速度大小为0.5 m/s2.
(2)设火车继续减速x2的距离后停下
则0－v2＝2ax2，x2＝eq \f(0－v2,2a)＝400 m.
13．在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
答案 105 m
解析 汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，运动过程如图所示
在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，
滑行时间为t2＝eq \f(0－30,－5) s＝6 s
汽车刹车后滑行的位移为
x2＝v0t2＋eq \f(1,2)at22＝30×6 m＋eq \f(1,2)×(－5)×62 m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少应为
x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.
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