矩形、菱形、正方形性质与判定期末真题汇编【八大题型+优选提升题】（解析版）

这是一份矩形、菱形、正方形性质与判定期末真题汇编【八大题型+优选提升题】（解析版），共89页。

利用矩形的性质求角度或线段长
例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，是矩形中边的中点，将沿折叠到在矩形内部，延长交于点，若，则 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为 ．
2．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，垂足为，若，则的长为 ．
3．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，四边形为长方形，是延长线上一点，是上一点，满足，则与的比值为 ．

矩形的性质与判定综合问题
例题：（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与、两点重合），，．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)连接，当线段最短时，，求此时的值．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·海南儋州·期末）如图，在平行四边形中，平分，平分，且，．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形；
(3)若，，求的长．
2．（22-23八年级下·青海西宁·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，于点F，过点O作交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，．求的长．
3．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒．

(1)_______，_______；（用含的代数式表示）
(2)若，分别是，的中点，
①当点，不重合时，求证：四边形是平行四边形；
②当为何值时，四边形为矩形?
利用菱形的性质求角度或线段长
例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．

【变式训练】
1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，若,，则的长为 .
2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ．
3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．

菱形的性质与判定综合问题
例题：（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，四条边的垂直平分线、、、交于M、N、P、Q四点．

(1)连接，求证：点M在的垂直平分线上；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线．
①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________；
②证明你的猜想；
（2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数．
2．（22-23八年级下·广西贵港·期末）【问题情境】在如下的三个图中，四边形都是平行四边形，的平分线与直线交于点E，与直线交于点F．
【思考发现】（1）在图1中，线段的数量关系是______；
【探究论证】（2）如图2，若，G是的中点，连接．求证：是等腰直角三角形；
【拓展应用】（3）如图3，若，交的延长线于点H，点K在上且，连接，求的度数．

利用正方形的性质求角度或线段长
例题：（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）在正方形的外侧以为边作等边，连接，则的度数是 ．

2．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为 ．
3．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，线段的长为12，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ．
正方形的性质与判定综合问题
例题：（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，以为边在三角形外部作正方形．
(1)如图1，在正方形内部作，若，，则正方形的面积为________；
(2)如图2，在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积；
①探究、、之间的数量关系，并证明你的结论；
②若，点恰好在线段上，求的值．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，点C为的中点，直接写出的长．
2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，边长为4的正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，直接写出的长．
3．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
(1)如图1，若，，则的度数为________；
(2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长；
(3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度．
添加一个条件使四边形是矩形、菱形、正方形
例题：（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）
【变式训练】
1．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是 ．（填写序号）
2．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号）
3．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形．
矩形、菱形、正方形中无刻度作图
例题：（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作中点G；
(2)在图2的边上找点，使得．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图．
(1)使（保留画图痕迹）；
(2)在上找到点G，使，作出等腰．
2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．

(1)在图1中求作边的中点；
(2)在图2中的边上求作点，使．
3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)在边上找点，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成）
(2)在边上找点，使得；（在图2中完成）
(3)连接，将绕点逆时针旋转，作出旋转后的三角形．（在图3中完成）
一、单选题
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，，则对角线的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，，下列说法错误的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．若，四边形是菱形
C．若，四边形是矩形
D．若，四边形是正方形
4．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（ ）
A．的周长B．的周长
C．的周长D．四边形APFH的周长
5．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（ ）
A．αB．C．D．
二、填空题
6．（22-23八年级上·广西钦州·期末）如图，在菱形中，，，E、F是，上两个动点，且，的最小值为 ．
7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，点E为上一点，，点F为长方形边上一动点，将沿直线EF翻折，当点A的对应点恰好落在边上时，折痕的长度为 ．
8．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，点为的中点，连接，则 ．
9．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为 ．
10．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图， 点，分别在正方形的边，上，，，， 点 是的中点， 过点的直线与正方形的一组对边交于点， （与点，不重合）， 点在或上．若， 则的长为 ．
三、解答题
11．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
12．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
(1)求证：四边形的为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
13．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在直角中，，B是边上一点，连接，O为的中点，过C作交延长线于D，且平分，连接．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接交于F，，求的度数．
14．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形 中，的平分线交于点 ，的平分线交 于点 ，点 、分别是 和 的中点，连接 ．
(1)求证：；
(2)连接 ，若 ，请判断四边形 的形状，并证明你的结论；
(3)当 ，且四边形 为菱形时，求 的值．
15．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，已知正方形的边长为1，点在延长线上，连接，，过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：．
(2)设，的面积为，求关于的函数表达式．
(3)当时，求的值．
16．（23-24八年级上·山东烟台·期末）【问题呈现】
四边形和都是正方形，直线，交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．
17．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．

(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
18．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）【母题再现】如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，求证：．
【知识探究】证明：如图，取的中点，连接．
四边形是正方形，
，．

．

结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：
(1)请补全知识探究的证明过程．
(2)连接，若正方形边长为，求的面积．
(3)连接，求的值．
矩形、菱形、正方形性质与判定期末真题汇编之八大题型
利用矩形的性质求角度或线段长
例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，是矩形中边的中点，将沿折叠到在矩形内部，延长交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的关键是利用折叠图形中的对应角相等进行求解．由沿折叠到，得出，由，求出，利用求解．
【详解】解：沿折叠到，
，
，，
，
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，易得是的中位线，进而得到，矩形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵在矩形中，O，E分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴；
故答案为：8．
2．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，垂足为，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质及题意可得，从而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质及垂直的定义可得，然后根据含度角的直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握矩形性质和等边三角形的性质是解题的关键．
3．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，四边形为长方形，是延长线上一点，是上一点，满足，则与的比值为 ．

【答案】3
【分析】由，得，由，得，则；由矩形的性质得，则，所以，则，所以与的比值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、矩形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键．
矩形的性质与判定综合问题
例题：（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与、两点重合），，．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)连接，当线段最短时，，求此时的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论；
（2）由矩形的性质可得，则当有最小值时，有最小值，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形
（2）解：如图，连接，

四边形是矩形，
，
当有最小值时，有最小值，
点在边上运动不与、两点重合，
当时，有最小值，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，证明四边形是矩形是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·海南儋州·期末）如图，在平行四边形中，平分，平分，且，．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由可得，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，又由平行四边形的性质可得，从而得到，从而证明四边形是矩形；
（3）先证明，从而得到，继而得到，再用容斥原理求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）∵四边形是矩形，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等角对等边等知识，掌握相关定理是解题的关键．
2．（22-23八年级下·青海西宁·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，于点F，过点O作交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质和勾股定理得出，然后理由直角三角形斜边上中线的性质以及矩形的性质进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵菱形的对角线，交于点O，
∴点O是的中点（菱形的两条对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角），
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半），
∵又，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵，
∴，
∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，（菱形的对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角），
∴，
在中 ，
∴（如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么），
∴，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵四边形是矩形，
∴（矩形的对边平行且相等）．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
3．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒．

(1)_______，_______；（用含的代数式表示）
(2)若，分别是，的中点，
①当点，不重合时，求证：四边形是平行四边形；
②当为何值时，四边形为矩形?
【答案】(1)，或；
(2)①见解析；②当或4.5时，四边形为矩形．
【分析】（1）根据题意即可求出答案；
（2）先根据矩形的性质证出，从而可以证明四边形是平行四边形，最后根据举行的判定即可求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由题意可知：，
当和运动如图时，

则有：，
当和运动如图时，

则有：，
故答案为： ，或，
（2）①证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，．
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
②解：如图所示，连接．
，
由（2）①可知四边形是平行四边形．
∵点，分别是矩形的边，的中点，
∴，
∴当时，四边形是矩形，分两种情况：
①，解得；
，
②，解得．
，
即当或时，四边形为矩形．
【点睛】此题考查了勾股定理、矩形和平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形和平行四边形的判定和性质、勾股定理及其运用是解题的关键．
利用菱形的性质求角度或线段长
例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．

【答案】/80度
【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，，可得，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，若,，则的长为 .
【答案】5
【分析】利用菱形的面积公式求出，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出的长即可．本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵,，
∴，
∵菱形的对角线，相交于点，
∴，
∴，
故答案为：5．
2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边中线性质．先根据菱形的性质得到，，进而求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据等边对等角求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．

【答案】或或
【分析】利用为等腰直角三角形得到，所以，当点在上，，当点在上，过点作于点，如图1，证明为等腰直角三角形，所以，，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到的长；当点在上，过点于点，连接，如图2，由于，，所以，然后利用勾股定理计算出的长．
【详解】解：在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
当点在上，，
当点在上，过点作于点，如图1，
四边形是菱形，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
在 中，，
，
解得，
．
当点在上，过点于点，连接，如图2，
，，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题看了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
菱形的性质与判定综合问题
例题：（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，四条边的垂直平分线、、、交于M、N、P、Q四点．

(1)连接，求证：点M在的垂直平分线上；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)菱形；理由见解析
【分析】（1）连接、、，由线段的垂直平分线的性质得，，则，所以点M在的垂直平分线上；
（2）设直线交于点L，连接，根据中垂线的定义可得，再根据，可得，随即可证明，同理，，即四边形是平行四边形，连接、、，根据垂直平分线的性质可证明点N在的垂直平分线上，同理，点Q在的垂直平分线上，即可得点N、点Q都在上，结合（1）证明点M、点P都在上，则有，即四边形是菱形．
【详解】（1）证明：连接、、，

∵点M在的垂直平分线上，
∴，
∵点M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴点M在的垂直平分线上．
（2）四边形是菱形，理由如下：
设直线交于点L，连接，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴四边形是平行四边形，
连接、、，
∵点N在的垂直平分线上，
∴，
∵点N在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴点N在的垂直平分线上，
同理，点Q在的垂直平分线上，
∵垂直平分，
∴点N、点Q都在上，
由（1）得，点M在的垂直平分线上，
同理，点P在的垂直平分线上，
∵垂直平分，
∴点M、点P都在上，
∴，
∴四边形是菱形．

【点睛】此题重点考查菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线．
①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________；
②证明你的猜想；
（2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数．
【答案】（1）①；②见解析；（2）的度数为或
【分析】（1）①根据题意测量的长，猜想；
②延长到点，使，连接，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得证；
（2）连接交于点，连结，可得四边形是菱形①当点在的同侧时，②当点在的异侧时，结合图形，即可求解．
【详解】解：（1）①测量后猜测，
故答案为：．
②证明：延长到点，使，连接
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
．
（2）证明：连接交于点，连结
四边形是矩形，
，
四边形是菱形
，即，
直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
①当点在的同侧时，
②当点在的异侧时，
综上所述，的度数为或
【点睛】本题考查了矩形的性质与潘多拉，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（22-23八年级下·广西贵港·期末）【问题情境】在如下的三个图中，四边形都是平行四边形，的平分线与直线交于点E，与直线交于点F．
【思考发现】（1）在图1中，线段的数量关系是______；
【探究论证】（2）如图2，若，G是的中点，连接．求证：是等腰直角三角形；
【拓展应用】（3）如图3，若，交的延长线于点H，点K在上且，连接，求的度数．

【答案】（1）相等；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据平行四边形对边平行和平行四边形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，即可得出；
（2）连接，同（1）可得，推出是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质可得，，再证，结合，
推出，根据证明，可得，，等量代换得出，即可证明是等腰直角三角形；
（3）连接，先根据已知条件证明四边形是菱形，进而可得和是全等的等边三角形，再通过证明，推出， 即可得出．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
故答案为：相等；
（2）证明：如图，连接，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
同（1）可得，
是等腰直角三角形，
，
，
又矩形中，
，
，
矩形中，
，
等腰直角中， G是的中点，
，，
，
，
又，
，
在和中，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
，
，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
，，
和是全等的等边三角形，
，，
，，
，
在和中，，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，难度较大，综合应用上述知识点，逐步推导论证是解题的关键．
利用正方形的性质求角度或线段长
例题：（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ．
【答案】/22.5度
【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）在正方形的外侧以为边作等边，连接，则的度数是 ．

【答案】/75度
【分析】由正方形和等边三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，即可得出的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，求出的度数是解题的关键．
2．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．先过作，，然后利用正方形的性质得出≌，从而得到四边形的面积与四边形的面积相等，等于正方形面积的，即可得到大正方形的面积，从而求出的长．
【详解】解：过作，，如图：
四边形是正方形，
平分，
，，
，
，
，
，
，
四边形的面积是，
正方形的面积为，
，
故答案为：．
3．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，线段的长为12，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可．
【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O一定在射线上，
∵垂线段最短，
∴点O在点M处时，线段取最小值，
∵，，
∴，
∴线段取最小值为6．
故答案为：6．
正方形的性质与判定综合问题
例题：（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，以为边在三角形外部作正方形．
(1)如图1，在正方形内部作，若，，则正方形的面积为________；
(2)如图2，在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积；
①探究、、之间的数量关系，并证明你的结论；
②若，点恰好在线段上，求的值．
【答案】(1)4
(2)①，证明见详解②
【分析】（1）结合全等三角形的性质解得，然后根据正方形面积公式求解即可；
（2）设，，，求得的值，再证明四边形为正方形，进而求得得值，在中，由勾股定理可得，即可证明结论；②连接，首先证明，设，进而表示出，的值，在中，由勾股定理可得，代入求值解得的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：4；
（2）①，证明如下：
设，，，
则，，，
∴，，，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴四边形的面积为，
在中，
∵，
∴，
∴；
②如下图，连接，
∵点恰好在线段上，为正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得（舍去），，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、整式混合运算等知识，难度较大，灵活运用勾股定理是解题关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，点C为的中点，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形；
（2）先证明，，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵
∴四边形是矩形
过点D作于点G

∵平分，
∴，
同理可得：，
∴四边形是正方形；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
∵点C为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键．
2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，边长为4的正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）先利用正方形的对称性可得到，然后在证明又，通过等量代换可得到；
（2）①当点在边上时，过点作，交于．依据等腰三角形的性质可得到，从而可得到的长，然后可得到的长，在中可求得的长；②点在延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明，然后再按照①中的思路进行证明即可．
【详解】（1）①证明：正方形关于对称，
，
．
又，
，
，
．
（2）①当点在边上时，过点作，垂足为，交于．
，
是的中点．
，边长为4
，．
又四边形是矩形，为等腰直角三角形，
，
．
②点在延长线上时，如图所示：过点作，垂足为，交于．
正方形关于对称，
，
．
又，
，
，
．
．
又，
，
，
，
，
综上所述：为或．
【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键．
3．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
(1)如图1，若，，则的度数为________；
(2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长；
(3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度．
【答案】(1)67.5°
(2)40
(3)
【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF= ×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
（2）延长BC到点K，使，连接DK，构造全等三角形，证明EF=AE+CF，即可求得△EBF的周长；
（3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
【详解】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=90-45°=45°，
∴∠CDF+∠CDF=45°，
∴∠CDF=22.5°，
∴∠DFC=90°-22.5°=67.5°．
（2）如图2，延长BC到点K，使，连接DK，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的周长为40；
（3）如图3，作，交AB于点L，交FG于点P，作，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵，，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴，，，
∴；
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形．
添加一个条件使四边形是矩形、菱形、正方形
例题：（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键．
【详解】解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
当或时，四边形是矩形，
故答案为：或（答案不唯一）．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是 ．（填写序号）
【答案】②
【分析】根据题意可证明，再由可得，再证明得，进而证明四边形是平行四边形，从而可得结论．
【详解】解：∵平分，
∴
若，则有：
∴
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
故答案为②．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，正确掌握菱形的判定定理是解答本题的关键．
2．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号）
【答案】②
【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；
由四边形是菱形加上条件可证得到，能证明四边形成为正方形；
由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．
3．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形．
【答案】 ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一）
【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形；
当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；
∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形．
,∠BAC＝90°，
故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．
矩形、菱形、正方形中无刻度作图
例题：（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作中点G；
(2)在图2的边上找点，使得．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，
（1）连接，再连接两个交点与交于点G，即可；
（2）连接交于点O，连接并延长交于点P，即可；
【详解】（1）
点G即为所求；
（2）
点P即为所求；
【变式训练】
1．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图．
(1)使（保留画图痕迹）；
(2)在上找到点G，使，作出等腰．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）如图1中，连接交交于点，连接，延长交于点，此时；
（2）连接交于点，与相交于点M，连接交于点G，连接交于点F，连接，此时，是等腰三角形．
【详解】（1）如图所示：

（2）如图所示：
2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．

(1)在图1中求作边的中点；
(2)在图2中的边上求作点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定：
（1）连接，过的交点与点E作直线，交于点F，即可；
（2）方法一：连接，并延长交于点P，连接交于点H，即可；方法二：连接，交于点Q，连接，并延长交于点H，即可；
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；

（2）解：如图，点H即为所求．

3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)在边上找点，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成）
(2)在边上找点，使得；（在图2中完成）
(3)连接，将绕点逆时针旋转，作出旋转后的三角形．（在图3中完成）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用经过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，与对角线的交点进行连线即可求解；
（2）利用正方形关于任意一条对角线对称即可作出所作图形；
（3）在第（2）问所作图的基础上构造，利用全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，得到，即可作出所作图形．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）旋转后的三角形为，如图所示：
【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称等知识．
一、单选题
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，，则对角线的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
首先证明出是等边三角形，然后得到，然后利用，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】∵四边形是矩形
∴，
∵
∴是等边三角形
∴
∴
∴．
故选：A．
2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线，掌握菱形对角线互相垂直是解题关键．由菱形的性质可知，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长．
【详解】解：四边形是菱形，且周长为72，
，，
E为的中点，
，
故选：C．
3．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，，下列说法错误的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．若，四边形是菱形
C．若，四边形是矩形
D．若，四边形是正方形
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、若，则平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、若，则平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、若，则平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项D符合题意．
故选：．
4．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（ ）
A．的周长B．的周长
C．的周长D．四边形APFH的周长
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
过点作于，连接，证出四边形为矩形，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，则可得出答案．
【详解】
解：过点作于，连接，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
与的周长和
知道与的周长和，一定能求出的周长．
故选：B．
5．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（ ）
A．αB．C．D．
【答案】B
【分析】先证明，则，，如图，连接，则，，，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形中，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
如图，连接，

∵点，分别是，的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（22-23八年级上·广西钦州·期末）如图，在菱形中，，，E、F是，上两个动点，且，的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，连接，过点D作于G，先证明是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，过点D作于G，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线证明是等边三角形是解题的关键．
7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，点E为上一点，，点F为长方形边上一动点，将沿直线EF翻折，当点A的对应点恰好落在边上时，折痕的长度为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知识，熟知相关定理，根据题意画出图形并添加合适辅助线是解题关键．作，垂足为G．先证明，得到，根据勾股定理求出，再证明四边形为矩形，得到，进而得到，得到为线段的垂直平分线，即可求出．
【详解】解：如图，作，垂足为G．
∵四边形为矩形，
∴，，
∵直线EF翻折得到，且点在边上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
故答案为：4
8．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，点为的中点，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线，由菱形的性质可得，，，由勾股定理计算出，由三角形中位线定理可得，，证明可得，再由，即可得到答案，熟练掌握相关知识并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，由勾股定理，得，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为 ．
【答案】/
【分析】由折叠可知，通过“”易证明，得到．于是．设，则，进而可得．在中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【详解】∵四边形为矩形，
∴．
由折叠可知：．
∴．
在和中，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则 ．
∴．
在中，，即
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等三角形的性质得出是解题关键．
10．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图， 点，分别在正方形的边，上，，，， 点 是的中点， 过点的直线与正方形的一组对边交于点， （与点，不重合）， 点在或上．若， 则的长为 ．
【答案】或或
【分析】分三种情况画图讨论：①当点在上时，②当点在上时，③过点作于点，点与点在上关于对称，利用正方形的性质求解即可．
【详解】①当点在上时，如图1，过点作于点，过点作于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
此时即为，点与点重合，
，
四边形是矩形，
，
；
②当点在上时，如图2，过点作于点，过点作于点，交于点，交于点，
得到矩形，矩形，矩形，
，，，，
，
，
是的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是的中点，
，
，分别是，的中点，
，
；
③如图3，过点作于点，点与点在上关于对称，
，
；
综上所述：的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题属于四边形综合题，涉及正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
三、解答题
11．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
12．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
(1)求证：四边形的为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见详解
(2)96
【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定，以及勾股定理解三角形．
（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的性质求面积即可．
【详解】（1）证明：，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点
，即．
四边形是矩形．
（2）菱形，
，
，
，
，
，
菱形的面积为：．
13．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在直角中，，B是边上一点，连接，O为的中点，过C作交延长线于D，且平分，连接．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接交于F，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，即可证明四边形是菱形．
（2）根据菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，三角形外角性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形外角性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的特征是解题的关键．
14．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形 中，的平分线交于点 ，的平分线交 于点 ，点 、分别是 和 的中点，连接 ．
(1)求证：；
(2)连接 ，若 ，请判断四边形 的形状，并证明你的结论；
(3)当 ，且四边形 为菱形时，求 的值．
【答案】(1)见解析；
(2)矩形，见解析；
(3)．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，由角平分线性质得到，即可证明；
（2）由全等三角形得到，，再结合平行四边形的性质得到，推出，利用线段中点的性质得到四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质，即可证明结论；
（3）由平行四边形的性质和角平分线性质得出为等边三角形，推出 利用线段中点的性质和菱形的性质得到为等边三角形，推出，利用全等三角形性质得到，最后根据进行等量代换，即可解题．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，
的平分线交于点，的平分线交于点，
，
；
（2）解：四边形 为矩形，理由如下：
连接，
由（1）知，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
点 、分别是和的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，
四边形 为矩形；
（3）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
平分，
，
为等边三角形，
，
点是的中点，
，
四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线性质、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质、菱形的性质、等边三角形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
15．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，已知正方形的边长为1，点在延长线上，连接，，过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：．
(2)设，的面积为，求关于的函数表达式．
(3)当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据正方形的性质得出，，再根据得出，进而得出，证明，即可得出结论；
（2）由（1）得，从而得出，再根据，计算即可得出答案；
（3）先证明得出，再根据得出，代入进行计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形为正方形，边长为，
，，，
，
由（1）得，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：当时，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，．
16．（23-24八年级上·山东烟台·期末）【问题呈现】
四边形和都是正方形，直线，交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．
【答案】（1），，证明见解析；（2）①成立，见解析；②
【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解；
（2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解；
②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：（1），证明如下：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
∵点G在边AB上，
∴点E，A，D三点在同一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
如图，设交于点I，则，

∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．

(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
【答案】(1)，
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明；
（2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明；
（3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论．
【详解】（1）如图1，连接，延长交于，
AI 四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
同理可证是等边三角形，
，
，即
又，
．
故答案为：，；
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图2，连接，
，为等边三角形，
在和中，，，
又，
，
，
，，
设与交于点，
同理可得，
，
又，
．
（3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，
AI 四边形是菱形，
，平分，
，，
，
，
，
，
由（2）知，
，，
，
由（2）知，
，
，
，
是等边三角形，，
，
；
如图4中，当点在的延长线上时，同法可得，
AI ；
综上所述，的面积为或．
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
18．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）【母题再现】如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，求证：．
【知识探究】证明：如图，取的中点，连接．
四边形是正方形，
，．

．

结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：
(1)请补全知识探究的证明过程．
(2)连接，若正方形边长为，求的面积．
(3)连接，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)10；
(3)．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明是解题的关键．
取的中点，连接利用证明，得；
在中，利用勾股定理求出的长，进而得出答案；
由可知，得再利用三角形中位线定理可得答案．
【详解】（1）证明：取的中点，连接．
，分别是，的中点，
，
，．
又为正方形的外角平分线．
，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
（2）解：连接，如图：

∵正方形边长为，
．
由可得，，
在中，，
∴．
（3）解：连接，如图：

由可知，
．
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
．