辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．从某班所有同学中随机抽取10人,获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,这组数据的众数是( )
A.9B.8C.7D.4
2．已知向量,满足,,则的值为( )
A.4B.3C.2D.0
3．已知,,,则( )
A.B.C.D.
4．已知椭圆,A,B为G的短轴端点,P为G上异于A,B的一点,则直线,的斜率之积为( )
A.B.C.D.
5．标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形,每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的,若视力4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为( )
A.B.C.D.
6．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,的面积为,则( )
A.B.4C.2D.
7．设,为复数,则下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则且
C.若,则
D.若,且,则z在复平面对应的点在一条直线上
8．已知Q为圆上动点,直线和直线(,)的交点为P,则的最大值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若展开式中常数项为28,则实数m的值可能为( )
A.B.1C.2D.3
10．已知在区间上单调递增,则的取值可能在( )
A.B.C.D.
11．已知定义域为R的函数,满足,且,,则( )
A.B.图像关于对称
C.D.
三、填空题
12．已知集合,.若,则实数m的取值集合为______.
13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除中,底面是正方形,平面,和均为等边三角形,且.则这个几何体的外接球的体积为______.
14．某机器有四种核心部件A,B,C,D,四个部件至少有三个正常工作时,机器才能正常运行,四个核心部件能够正常工作的概率满足为,,且各部件是否正常工作相互独立,已知,设X为在n次实验中成功运行的次数,若,则至少需要进行的试验次数为______.
四、解答题
15．2024年初,OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sra”,Sra模型可以生成最长60秒的高清视频.Sra一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮.为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Pythn编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试的顺序自选,若第一科考试不合格,则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试,无论第二科是否合格,考试都结束.“Pythn编程语言”考试合格得4分,否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分,否则得0分.
已知甲同学参加“Pythn编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.
(1)若甲同学先进行“Pythn编程语言”考试,记X为甲同学的累计得分,求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大,甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由.
16．如图,S为圆锥顶点,O是圆锥底面圆的圆心,,是长度为2的底面圆的两条直径,,且,P为母线上一点.
(1)求证：当P为中点时,平面；
(2)若,二面角的余弦值为,试确定P点的位置.
17．已知函数在处的切线与直线平行.
(1)求的单调区间；
(2)当时,恒有成立,求k的取值范围.
18．已知双曲线G的中心为坐标原点,离心率为,左、右顶点分别为,.
(1)求G的方程；
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点P.
(i)证明：点P在定直线上：
(ii)若直线与交于点Q,求证：.
19．大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂,要想分析出海量数据所蕴含的价值,数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位,合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件,其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列的通项公式,,通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到,设前n项和为.
(1)求；
(2)是否存在不同的实数,使得,,成等差数列？若存在,求出所有的；若不存在,说明理由；
(3)若,,对数列进行操作得到,将数列中下标除以4余数为0,1的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到,再将的每一项都加上自身项数,最终得到,证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.
参考答案
1．答案：D
解析：由数据可知,其中服务次数为4的个数最多,故众数为4.
故选：D.
2．答案：C
解析：由题意知,.
故选：C.
3．答案：B
解析：对A：由,故,即,故A错误；
对B：由,,则,且,
当且仅当时,等号成立,故,故B正确；
对C：由,故,即有,
又由B可得,即,故C错误；
对D：由,故,即,故D错误.
故选：B.
4．答案：C
解析：设,则有,即有,
由椭圆方程不妨设短轴端点A,B的坐标分别为、,
则.
故选：C.
5．答案：A
解析：由题意可得,视力4.9的视标边长约为：
cm.
故选：A.
6．答案：C
解析：,由,故,又,
故,,由余弦定理可得：
,
即.
故选：C.
7．答案：D
解析：设、,a、b、c、,
对A：若,则有,
即且,故A错误；
对B：取、,亦有,故B错误；
对C：取,,则有,,故C错误；
对D：设,x、,若,
则有,
即有,
整理得,
由,故与不能同时成立,
故z在复平面对应的点在直线上,
故D正确.
故选：D.
8．答案：A
解析：由、,
有,故,
对有,故过定点,
对有,故过定点,
则中点M为,即,
,则,
故点P在以为直径的圆上,该圆圆心为,半径为,
又Q在原,该圆圆心为,半径为1,
又,则.
故选：A.
9．答案：AB
解析：二项式展开式的通项公式,,,
由,解得,则,于是,解得,
所以实数m的值为或1.
故选：AB.
10．答案：AC
解析：,
当,由,则,
则有,,
解得,,
即,,
有,,即,即或,
当时,有,时,有,
故的取值可能在或.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对A：令,,则有,
即,故A正确；
对B：令,则有,
即有,故或,又,故,
令,则有,即,
故不可能关于对称,故B错误；
对C：令,则有,
即,故关于对称,
令,则有,
即,即,
即,由定义域为R,故为偶函数,
令,则有,
即,即,
又,,
故,即,故C正确；
对D：由,,
则有,即,
则,即,
即有,故周期为4,
由,,故,,
又,,故,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意,所以或,则或,
所以实数m的取值集合为.
故答案为：.
13．答案：
解析：连接,分别取、、中点G、H、I,连接、、,
由底面是正方形,平面,和均为等边三角形,
故,底面,又,故,
则,故,
由H为底面正方形中心,,故羡除外接球球心O在直线上,
连接、、,设半径为r,,则,
由底面,平面,故,
又,、平面,故平面,
又平面,故,故,
又,故有,即,
又,
故有,解得,
故,即,
则这个几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
14．答案：27
解析：设,则,
设一次实验中成功运行的概率为p,
则
,
令,,
则,
当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,
故,
故,
由X服从二项分布,故有,则.
故答案为：27.
15．答案：(1)分布列见详解
(2)先回答“Pythn编程语言”考试这类问题,理由见详解.
解析：(1)由题意X的所有可能取值为0,4,10,
所以,,
,
所以X的分布列为
(2)甲同学选择先回答“Pythn编程语言”考试这类问题,理由如下：
由(1)可知,
甲同学先进行“数据结构算法”考试,记Y为甲同学的累计得分,
则Y的所有可能取值为0,6,10,
,,
,
所以Y的分布列为
,
所以,
所以甲同学选择先回答“Pythn编程语言”考试这类问题.
16．答案：(1)证明见详解
(2)P是线段靠近点B的四等分点
解析：(1)连接,因为P,O分别为,的中点,
所以为的中位线,所以,
又平面,平面,所以平面；
(2)如图：过点O作交圆O与F,
以O为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,
设,,则,所以,
设平面的法向量为,
则,所以,令,则,,
即,
易知平面的一个法向量为,
则,
解得(负值舍去),所以P是线段靠近点B的四等分点.
17．答案：(1)单调递增区间为,单调递减区间为
(2)
解析：(1)由已知可得的定义域为,,
所以,即,
所以,,
令,得,令,得,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为；
(2)将不等式整理得：,可化为,
问题转化为在上,恒成立,
令,,
则,
令,
则,,
所以在上单调递减,
,即,
所以在上单调递减,
,所以,
所以k的取值范围是.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由点A,B的坐标可知,
离心率为,故,所以,
所以双曲线G方程为；
(2)(ⅰ)设直线l为：,联立双曲线G得,
消去x得：,
根据题意得：,
设,,则,,
,,故,
直线：,因为M在G上,所以,
直线：,直线：,
令,
可得
,
解得,故点P在直线上；
(ⅱ)由双曲线对称性可知,点Q也在直线上,
设,,点P在直线上,所以,
点Q在直线上,所以,
,所以.
19．答案：(1)
(2)不存在,理由见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由,知：当时,；
当时,故,,
则,；
(2)假设存在,由单调递增,不妨设,,p,q,,
化简得,因为,所以,
所以,所以,
与“,且q,”矛盾,故不存在；
(3)由题意,,则,,,
所以保留,,则,,,
又,,,,,
将,删去,得到,则,,
,,,
即：,,,
即：,,
记,下面证明：,
由,,,,
时,,,
；
时,,,
；
时,,,
；
时,,,
,
综上,对任意的,都有,原命题得证.
X
0
4
10
P
0.2
0.24
0.56
Y
0
6
10
P
0.3
0.14
0.56