辽宁省辽阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省辽阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若P为椭圆上一点，，为C的两个焦点，且，则( )
A.10B.12C.14D.16
2．复数的共轭复数为( )
A.B.C.D.
3．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上､下底面的边长分别为，，高为），则四羊方尊的容积约为( )
A.B.C.D.
4．将甲､乙､丙等7名志愿者分到A，B，C三个地区，每个地区至少分配2人，则甲､乙､丙分到同一个地区的概率为( )
A.B.C.D.
5．若，为锐角，则( )
A.B.C.D.
6．辽宁的盘锦大米以粒粒饱满､口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为( )
A.14.4B.9.6C.24D.48
7．已知动点P在直线上，过P总能作圆的两条切线，切点为A，B，且恒成立，则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知函数满足，，则( )
A.10000B.10082C.10100D.10302
二、多项选择题
9．已知集合，，则( )
A.
B.
C.
D.，
10．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的值可能是( )
A.B.C.D.
11．抛物线的焦点F到准线的距离为1，经过点的直线l与C交于A，B两点，则( )
A.当时，直线l斜率的取值范围是
B.当点P与点F重合时，
C.当时，与的夹角必为钝角
D.当时，为定值（O为坐标原点）
三、填空题
12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为__________.
13．如图，在矩形中，，，，F，G分别在线段，上，，将沿折起，使B到达M的位置，且平面平面.若直线与平面所成角的正切值为，则四面体的外接球的半径为__________.
四、双空题
14．若，则__________，__________.
五、解答题
15．已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
16．如图，在三棱锥中，平面平面，且，.
（1）证明：平面.
（2）若，点M满足，求二面角的大小.
17．根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了和，均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）.
（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；
（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；
（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲､乙2名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A，B影片的概率分别为，，乙观看A，B影片的概率分别为，，当天甲､乙观看哪部电影相互独立，记甲､乙这2名观影者中当天观看A影片的人数与观看B影片的人数之差为X，求X的分布列及期望.
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点.
（1）求M的离心率；
（2）若的重心为A，点，求的最小值；
（3）若的垂心为A，求动点T的轨迹方程.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且在R上单调递减，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意可得，则，，所以.
2．答案：A
解析：因为，所以.
3．答案：A
解析：四羊方尊的容积约为.
4．答案：D
解析：将7名志愿者分到A，B，C三个地区，每个地区至少分配2人，分配方法共有种，其中甲､乙､丙分到同一个地区的分配方法共有种，故所求概率为.
5．答案：B
解析：，解得，因为为锐角，所以.
6．答案：A
解析：因为M服从正态分布，且，所以，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数，所以.
7．答案：D
解析：依题意可得直线l与圆C相离，且，则，所以，所以，解得.
8．答案：C
解析：令，得.令，得，则，所以，即，所以.
9．答案：BCD
解析：因为，，所以，，A错误，B正确.因为，所以，C正确.若，则，所以当时，，D正确.
10．答案：AC
解析：由题意可得，则，即.因为在上单调，所以，所以，即，所以，即，解得.因为，所以或或.当时，，，则，此时在上单调递增，故符合题意；当时，，，则，此时在上不单调，故不符合题意；当时，，，则，此时在上单调递增，故符合题意.
11．答案：BCD
解析：依题意可得，当时，设直线l的方程为，代入，得，则，得，A错误.当点P与点F重合时，直线l的方程为，代入，得.设，，则，，则，B正确.当时，直线l的方程为，代入，得，则，，易知，异号，所以，则，则，，D正确.当时，F在内，则，又A，F，B三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，C正确.
12．答案：
解析：因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
13．答案：
解析：如图，取的中点O，连接，.依题意可得为等腰直角三角形，则.设，则，.
因为平面平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，所以，则，解得（负根已舍去），所以.因为，所以，所以的外心为的中点N.设四面体的外接球的球心为Q，则底面.易证，则，，，由，得，解得，则，所以四面体的外接球的半径为.
14．答案：；2
解析：因为，所以.因为，所以.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时，.
当时，由，
得，
则，则.
因为也符合上式，所以.
（2）证明：由（1）可得，
则
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，取O为的中点，连接.
因为，所以.
因为平面平面，且两平面相交于，所以平面.
因为平面，所以.
又，且，所以平面.
（2）过点A作的平行线，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，，.
设平面的法向量为，
则即令，得.
易知平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
17．答案：（1）70
（2）63.3
（3）0.8
解析：（1）由图可知，满意度评分不低于60分的频率为，
所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.
（2）因为，
所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，且这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为.
（3）由图可知，，.
X的可能取值为-2，0，2，
，
，
，
则X的分布列为
故.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为双曲线经过点，所以，解得，
所以M的离心率.
（2）易知.设，.
因为的重心为A，所以，
解得，
因为，所以，即.
因为点C异于A，B两点，所以，，所以T的轨迹不含，两点.
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为.
（3）因为A为的垂心，所以，，设，.
当直线或的斜率为0时，点C的坐标为或，点T与点C重合.
当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，则，，
由（2）知，则，
则.
因为，所以，
，，则，得，
则.
因为，，，都在曲线上，所以动点T的轨迹方程为（挖去，，这三点）.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，，
则，，
故所求切线方程为，
即.
（2）若在R上单调递减，则对恒成立.
设，则，
的导数，.
由，得或.
当时，必存在，使得当时，，
则在上单调递增，所以当时，，
则在上单调递增，
同理得，当时，，则在R上单调递增，
这与在R上单调递减矛盾，所以不合题意.
当时，，，所以不合题意.
当时，恒有.
①当时，，则在上单调递减；
②当时，，得在上单调递增.
所以，所以对恒成立.
综上，a的取值范围是.
X
-2
0
2
P
0.08
0.44
0.48