2024年陕西省西北大学附中中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别及求立方根、算术平方根，无限不循环小数叫无理数，化简立方根与算术平方根，再根据无理数的定义逐项分析即可．正确化简立方根及算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．
【详解】解：A．是无限循环小数，属于有理数，不符合题意，
B．，是整数，属于有理数，不符合题意，
C．是开方开不尽数，是无理数，符合题意，
D．，整数，属于有理数，不符合题意，
故选：C．
2. 甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：A，不是轴对称图形，不合题意；
B，是轴对称图形，符合题意；
C，不是轴对称图形，不合题意；
D，不是轴对称图形，不合题意；
故选B．
3. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，两条入射光线平行，
，
，
，
故选：C．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是分式的乘方运算．分别把分子、分母乘方是正确解答本题的关键．
详解】解：，
故选D．
5. 如图，在中，，，平分交于点D，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A. 0个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和、等腰三角形的知识；根据等腰三角形性质，得为等腰三角形，结合三角形内角和、角平分线的性质，得、为等腰三角形，从而完成求解．
【详解】∵，
∴为等腰三角形，
∵，，BD平分交AC于点D，
∴
∴，
∴，
∴、为等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数为3个
故选：B．
6. 若将一次函数的图象关于x轴对称，所得的图象经过点，则b的值为（ ）
A. B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的对称，先写出一次函数的图象关于x轴对称的函数解析式，然后再将点代入即可求得b的值．
【详解】解：∵函数解析式为一次函数的图象关于x轴对称
∴关于x轴对称的函数解析式即
∵所得的图象经过点
∴，解得．
故选A．
7. 如图，直角三角板的锐角顶点A落在上，其中，边、分别与交于D、E两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理得到的度数，然后利用计算是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∴，
故选A．
8. 抛物线（为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与一元二次方程的关系，可对进行判断；根据抛物线的对称轴可对C进行判断；根据当时，可对D进行判断；．
【详解】解：抛物线开口方向向上，对称轴为，
，，
，
故选项C符合题意；
抛物线轴的交点在轴负半轴，
，
，
故选项A符合题意；
抛物线与x轴有两个交点，
一元二次方程有两个根，
即，
故选项B符合题意；
当时，
，
故选项D不符合题意．
故选∶D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 实数，，的大小关系是__________．（用“<”号连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，正确估算的大小是解题的关键．先估算出的取值范围，再进行比较大小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：
10. 水利部相关负责人3月14日介绍，全国水利工程供水能力超9000亿立方米．南水北调东、中线建成以来，累计调水量超过69800000000立方米．其中，数据69800000000用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：数据69800000000用科学记数法表示为，
故答案为：．
11. 如图，是矩形的对角线，点在对角线上，连接并延长，交于点，若，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
利用勾股定理求出，根据矩形的性质得出，可证明，根据相似三角形的性质可求出的长，进而可得答案．
【详解】解：∵是矩形对角线，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知图形面积求值，相似三角形的判定和性质，延长交轴于点，证明，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，进而求出的面积，再根据值的几何意义，进行求解即可．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵的面积为4，
∴，，
∴，
∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 如图，在中，，，，点D在BC上，且，过点D作等腰，，当点M在AB上运动时，B、N两点间距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解决本题的关键
由题意可得，过D作，且，连接交于，交于点G，证明，再证，点N在过点P且与垂直的直线上，即为B、N两点间距离的最小值（当N与重合时，B、N两点间距离最小），过D作于H，然后解直角三角形得到，，由题意知是等腰直角三角形，则，即可求得的长．
【详解】解：过D作，且，连接交于，交于点G，过D作于H
∵等腰，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又∵，
∴，
∴ 点N在过点P且与垂直的直线上，
记与的交点为点，
∴，
当N与重合时，B、N两点间距离最小
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 求不等式的最大整数解．
【答案】最大整数解为1
【解析】
【分析】去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，然后确定最大的整数解．
【详解】解：，
，
，
．
则不等式的最大整数解为1．
【点睛】考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运用，涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，根据相关运算法则求解即可．
【详解】解：
．
16. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除以单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把，代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
17. 如图，在中，，请用直尺和圆规在边上确定点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查基本作图—垂直平分线，掌握以A，C为圆心，大于长为半径作弧，交于两点，过两个交点作直线交于点D，即可解题．
【详解】解：如图所示，点D为所作．
18. 如图，在中，，，，点D是边上一点，连接，且．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，熟知利用三角函数解直角三角形是解题的关键．根据的正弦值，求出的长，再利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：在中，
，
，即，
，
．
又，
．
19. 如图，在和中，，于点D，于点E，相交于点F，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，利用线段的和差关系即可得证．
【详解】证明：，，
∴，
在和中，
，
．
，
，
，
．
20. 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行．科学实验是实践的重要形式，是获取经验事实和检验科学假说，理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，该活动为学生准备了四项科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．筹备组将四项科学小实验依次制成如图所示的A，B，C，D四张不透明的卡片（卡片形状、大小、质地、背面完全相同），把四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．参与该活动的萌萌同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．
（1）萌萌从四张卡片中随机抽取一张，抽到“D．生气的瓶子”卡片的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图法求萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）运用直接列举法求概率即可解题；
（2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可．
【小问1详解】
从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“D．生气的瓶子”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图为：
由图可知，共有16种等可能的结果数，其中萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的结果数为9，
所以萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的概率为．
21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量学校旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如标杆，镜子，测角仪……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的其中两种测量方案：
任务解决：请选择其中一个方案及其数据计算学校旗杆的高度．
【答案】学校旗杆的高度是
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用和三角形相似，熟练掌握三角函数中各边的关系和相似三角形中对应边成比例是解题的关键，选择方案一：易证 是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用，解得的值即可得到答案；选择方案二：过D作于M交于N，易证 ，得到，即可得到，进而得到的值．
【详解】解：选择方案一解答如下，
由题意得：，，，
是等腰直角三角形，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
即学校旗杆的高度是．
选择方案二解答如下，
如图，过D作于M交于N，

则四边形，四边形都是矩形，
，，，
，，
，，
，
，即，
，
，
即学校旗杆的高度是．
22. “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表，发现水面高度与流水时间（t为正整数）之间满足一次函数关系．
（1）求水面高度h与流水时间t之间的函数关系式；
（2）按此速度，流水时间为1小时时，水面高度为多少厘米？
（3）按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？
【答案】（1）水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为
（2）流水时间为1小时时，水面高度为18厘米
（3）经过，甲容器内的水恰好流完
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用：
（1）结合题意，根据一次函数待定系数法建立二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据一次函数的性质计算，即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据一次函数的性质列一元一次方程并求解即可．
【小问1详解】
设水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为，
把，代入得：
解得，
∴水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为；
【小问2详解】
当分钟时，，
∴流水时间为1小时时，水面高度为18厘米；
【小问3详解】
当时，的，
∴，即经过，甲容器内的水恰好流完．
23. 2024年是我国人民代表大会成立70周年．自成立以来，人大制度为我国法治建设、经济发展和社会稳定提供了重要制度保障．某校组织全校学生开展了“学习两会精神，争做好少年”的主题阅读活动．为了解同学们的阅读篇数情况，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的阅读篇数（单位：篇）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的阅读篇数为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，
8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的阅读篇数条形统计图（不完整）如图：
七、八年级抽取的学生的阅读篇数的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，上表中 ， ；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生此次阅读情况较好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校八年级共有600名学生参加了此次阅读活动，估计该校八年级此次阅读活动阅读篇数达到8篇以上（含8篇）的学生人数是多少？
【答案】（1）补全图形见解析，7.5，7.5
（2）八年级学生此次阅读情况较好，理由见解析
（3）300
【解析】
【分析】（1）求出阅读9篇的人数，即可补全条形图．根据平均数和中位数的定义即可求出a，b的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的意义分析判断即可；
（3）用300乘以阅读篇数达到8篇以上（含8篇）的学生人数比例，即可解答．
【小问1详解】
八年级阅读9篇的学生有（人），
故补全条形图如图所示：
八年级学生阅读篇数的平均数为，
即；
由条形统计图可知，八年级学生阅读篇数处于第10位的是7篇，第11位的是8篇，故中位数为，
即；
故答案为：7.5，7.5
【小问2详解】
八年级学生此次阅读情况较好．
理由：由于七、八年级学生的阅读篇数的平均数相同，但八年级学生阅读篇数的众数、中位数均比七年级高，因此八年级学生此次阅读情况较好．
【小问3详解】
（人），
答：估计该校八年级此次阅读活动阅读篇数达到8篇以上（含8篇）的学生人数是300人．
【点睛】本题考查了条形统计图、统计表，中位数、众数、平均数的意义，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握中位数、平均数、众数、样本的百分比含量的计算方法是解题的关键．
24. 如图，内接于，为的直径，过点D作的切线，过点B作的垂线，交于点E，交的延长线于点C，延长，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理．
（1）连接OD，利用切线的性质结合题意证得，再利用等边对等角结合平行线的性质证明；
（2）过点O作于点H，证明四边形ODEH是矩形，利用垂径定理结合即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接OD，
是的切线，
，
，
∴，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点O作于点H，则，
，
四边形ODEH是矩形，
，，
，
，
．
25. 如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可；
（2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：，
，
当时，，
．
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形．
设，
①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形，
，
，
（舍去），，
此时．
②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F，
同理可得：，
，
，（舍去），
此时．
综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
26. 问题探究：
（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）
（2）如图2，，点A、D上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：；
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为
【解析】
【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；
（2）根据，，即可求解；
（3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解；
②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F，
∵，，
∵；
（2）设、之间的距离为h，∵，
，
，
．
（3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，
量出的中点Q，连接，的位置如图所示．
∵，
∴，
又∵，
∴，
，
∵平分梯形的面积，
∴平分五边形的面积，
②由题意得，，，，，，
．
设直线的解析式为，
将，，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为，
将代入，得，
∴直线的解析式为．
当时，，解得．
．
，
设直线的解析式为，
将，，代入得，
解得，
∴直线的解析式为．
方案一
方案二
测量工具
测量角度的仪器，皮尺
皮尺，标杆
测量方案示意图


说明
点C、D、A在同一条直线上，
A、E、C三点共线，D、F、B三点共线，、、均垂直于
测量数据
，，
标杆，小明的身高，，
参考数据
，，
流水时间
0
10
20
30
40
…

水面高度（观察值）
30
28
26
24
22
…
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
7
7
八年级
a
8
b