人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性精品课件ppt

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（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
问题1　阅读课本第104~107，回答下列问题：
问题2　试回答：在平面直角坐标系中，（－2，3）关于y轴的对称点为_______，关于原点的对称点为________；点（x，y）关于y轴的对称点为_________，关于原点的对称点为__________．
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征．
定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数．
问题2　如果y＝f（x）是偶函数，其图像具有什么特征呢？
从图像上可以看出关于y轴对称，那么一般的偶函数的图像是否都具有这一特点呢？
我们知道，点P（x，f（x））与Q（－x， f（－x））都是函数y＝f（x）图像上的 点，按照偶函数的定义，点Q又可以写 成Q（－x，f（x）），因此点P和点Q关于y轴对称．
结论：偶函数的图像关于y轴对称（即偶函数图像关于直线 x＝0对 称）；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数．
【尝试与发现】按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图像的特征．
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x），则称y＝f（x）为奇函数．奇函数的图像关于原点对称．
问题3　你能找出几个熟悉的函数是奇函数吗？
知识点1 函数的奇偶性
如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性．函数的奇偶性体现的是函数的整体性质．
例1　判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
f（－x）＝（－x）＋（－x）3＋（－x）5 　　　 ＝－（x＋x3＋x5）＝－f（x），
所以函数f（x）＝x＋x3＋x5是奇函数．
（1）f（x）＝x＋x3＋x5；
（3）f（x）＝x＋1；
（2）f（x）＝x2＋1；
（4）f（x）＝x2，x∈[－1，3]
（2）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x），
所以函数f（x）＝x2＋1是偶函数
（3）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R
又因为f（－1）＝0，f（1）＝2，所以
f（－1）≠－f（1）且f（－1）≠f（1），
因此函数f（x）＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成f（x）是非奇非偶函数）．
（4）因为函数的定义域为[－1，3]，
但－3∉[－1，3]，
所以函数f（x）＝x2，x∈[－1，3]是非奇非偶函数．
例（1）（4）说明，设函数f（x）的定义域为D，如果存在x0∈D，但－x0∉D，即函数f（x）的定义域不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
判断一个函数的奇偶性，第一步看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系：对定义域内任一x都有f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数；对定义域内任一x都有f（－x）＝－f（x），则f（x）是奇函数．若存在一个x0∈D，有 －x0∈D，但f（－x0）≠－f（x0）且f（－x0）≠f（x0），则f（x）是非奇非偶函数．
例2　判断下列函数的奇偶性：
（1）　　　　　　 （2）　　　　　　 （3）
（1）因为f（x）有意义，
所以f（x）为非奇非偶函数．
所以f（x）的定义域不关于原点对称，
所以f（x）是奇函数．
解得：－2≤x＜0，或0＜x≤2，
所以f（x）的定义域为[－2，0)∪(0，2]，
所以f（x）既是奇函数又是偶函数．
又f（－x）＝0＝f（x）且f（－x）＝0＝－f（x），
所以f（x）的定义域为{－1，1} ，
判断函数的奇偶性要注意两点：
1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．
2．判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（ f（－x）＋ f（x）＝0 （奇函数）或（ f（－x）－f（x）＝0偶函数））是否成立．
例3　已知奇函数f（x）的定义域为D，且0∈D，求证：f（0）＝0．
所以f（－0）＝－f（0），
即f（0）＝－f（0），
因为f（x）是奇函数，
奇函数在0处如果有定义，则0处的函数值为0．
例4　已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1，2a]的偶函数，试求a＋b的值．
又由f（x）＝f（－x）可得：b＝0，
由偶函数定义可知（a－1，2a）＝0，
问题4　回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么是偶函数？偶函数的图像有什么特征？
（2）什么是奇函数？奇函数的图像有什么特征？
（3）按照函数是否具有奇偶性，函数可分为哪几类？
作业：教科书P109~120练习B 1、2、3