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河南省开封市五县部分校2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题
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这是一份河南省开封市五县部分校2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了已知向量，若，则实数的值是，已知，则的大小关系是，若在三角形中，，则，下列命题，下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，若，则实数的值是（ ）
A. B.-4 C. D.4
2.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
3.若在三角形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
4.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取两点（三点共线），从两点分别测得树尖的仰角为，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
5.下列命题：①若向量均为单位向量，则；
②若向量满足，则；
③向量的充要条件是且；
④是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；
⑤若向量满足，则.
其中，真命题的个数是（ ）
A.2 B.3 C.0 D.1
6.在中，是三角形内一点，如果满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
7.若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师.在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里分别为的三个角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知中，，则该三角形内切圆半径（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（ ）
A.
B.在区间上单调递减
C.的图象关于直线对称
D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
10.下列说法中正确的有（ ）
A.在中，若，则为锐角
B.已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是
C.若非零向量满足，则与的夹角是
D.已知在上的投影向量为且，则
11.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A.若为锐角三角形，则
B.若，则为等腰三角形
C.若，则为直角三角形
D.若，则解的个数为0
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量是两个不共线的向量，与共线，则__________.
13.在中，已知的平分线，则的面积为__________.
14.已知为等腰直角三角形，，圆为的外接圆，，则__________；若为圆上的动点，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在平行四边形中，，令.
（1）用表示；
（2）若，且，求.
16.（15分）已知平面向量，函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在上的单调区间；
17.（15分）在中，分别为内角的对边，且.
（1）求；
（2）设点是边的中点，若，求的取值范围.
18.（17分）如图，在梯形中，，点是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直线分别交线段于两点，若三点在同一直线上，求的值.
19.（17分）某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟､，其中分别为边的中点.
（1）若，求的余弦值；
（2）若，求排水沟的长；
（3）若，试用表示4条人行道的总长度.
2023-2024学年五县联考高一年级
数学学科答案
一､选择题（单选题和多选题）
二､填空题
三､解答题
15.解（1）因为，且是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，
又，
所以，即，
又，即，
上面两式联立解得，
所以.
16.解（1）由题意，得
，
由，得，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知
令，
解得，
又，所以.
所以在上的单调递增区间为，
令
解得，
又，所以，
所以函数在上的单调递减区间为.
17.解（1）因为，
所以，
又因为，
所以上式可化为：
，即，
因为为的内角，所以，
所以即，
因为为的内角，所以.
（2）因为为边得中点，所以，
因为，
所以
即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即的取值范围是.
18.解（1）设，
，且
，即.
（2），
，
.
（3）由条件可设，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为三点共线，所以，
故，解得，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，即，
从而，所以.
注：用相似三角形解题的方法酌情给分（可调整前两问的分数占比）.
19.解（1）百米，百米，，
在直角三角形中，百米，
，
又百米，
在等腰直角三角形中，百米，，
.
的余弦值为.
（2）由第（1）问，当时，
在三角形中，
，
百米.
排水沟的长为百米.
（3）设，
分别为边的中点，
百米，，
百米，，
在三角形中，由余弦定理得，
由正弦定理，
得
连接为边的中点，
，
在三角形中，，
由余弦定理得
在三角形中，，
由余弦定理得
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
B
A
D
B
C
D
AC
CD
ACD
题号
12
13
14
答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，若，则实数的值是（ ）
A. B.-4 C. D.4
2.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
3.若在三角形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
4.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取两点（三点共线），从两点分别测得树尖的仰角为，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
5.下列命题：①若向量均为单位向量，则；
②若向量满足，则；
③向量的充要条件是且；
④是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；
⑤若向量满足，则.
其中，真命题的个数是（ ）
A.2 B.3 C.0 D.1
6.在中，是三角形内一点，如果满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
7.若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师.在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里分别为的三个角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知中，，则该三角形内切圆半径（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（ ）
A.
B.在区间上单调递减
C.的图象关于直线对称
D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
10.下列说法中正确的有（ ）
A.在中，若，则为锐角
B.已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是
C.若非零向量满足，则与的夹角是
D.已知在上的投影向量为且，则
11.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A.若为锐角三角形，则
B.若，则为等腰三角形
C.若，则为直角三角形
D.若，则解的个数为0
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量是两个不共线的向量，与共线，则__________.
13.在中，已知的平分线，则的面积为__________.
14.已知为等腰直角三角形，，圆为的外接圆，，则__________；若为圆上的动点，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在平行四边形中，，令.
（1）用表示；
（2）若，且，求.
16.（15分）已知平面向量，函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在上的单调区间；
17.（15分）在中，分别为内角的对边，且.
（1）求；
（2）设点是边的中点，若，求的取值范围.
18.（17分）如图，在梯形中，，点是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直线分别交线段于两点，若三点在同一直线上，求的值.
19.（17分）某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟､，其中分别为边的中点.
（1）若，求的余弦值；
（2）若，求排水沟的长；
（3）若，试用表示4条人行道的总长度.
2023-2024学年五县联考高一年级
数学学科答案
一､选择题（单选题和多选题）
二､填空题
三､解答题
15.解（1）因为，且是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，
又，
所以，即，
又，即，
上面两式联立解得，
所以.
16.解（1）由题意，得
，
由，得，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知
令，
解得，
又，所以.
所以在上的单调递增区间为，
令
解得，
又，所以，
所以函数在上的单调递减区间为.
17.解（1）因为，
所以，
又因为，
所以上式可化为：
，即，
因为为的内角，所以，
所以即，
因为为的内角，所以.
（2）因为为边得中点，所以，
因为，
所以
即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即的取值范围是.
18.解（1）设，
，且
，即.
（2），
，
.
（3）由条件可设，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为三点共线，所以，
故，解得，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，即，
从而，所以.
注：用相似三角形解题的方法酌情给分（可调整前两问的分数占比）.
19.解（1）百米，百米，，
在直角三角形中，百米，
，
又百米，
在等腰直角三角形中，百米，，
.
的余弦值为.
（2）由第（1）问，当时，
在三角形中，
，
百米.
排水沟的长为百米.
（3）设，
分别为边的中点，
百米，，
百米，，
在三角形中，由余弦定理得，
由正弦定理，
得
连接为边的中点，
，
在三角形中，，
由余弦定理得
在三角形中，，
由余弦定理得
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
B
A
D
B
C
D
AC
CD
ACD
题号
12
13
14
答案
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