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1.1 实数 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件
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这是一份1.1 实数 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件，文件包含11实数知识讲解pptx、11实数习题精练pptx等2份课件配套教学资源，其中PPT共77页， 欢迎下载使用。
考点1 实数的有关概念
1.实数(1)定义① 整数 和② 分数 统称有理数;有理数和③ 无理数 统称实数.
(2)分类(i)按定义分类:
知识拓展 1.常用正负数表示两种具有相反意义的量,如“+5”表示向东5米,则“-5”表示向西5米.2.非负数包括正数和0.
2.相反数、倒数、绝对值 (1)实数a、b互为相反数,则a+b=⑤ 0 .(2)实数a、b(a、b≠0)互为倒数,则ab=⑥ 1 .(3)绝对值:|a|= 结论:实数a的绝对值为非负数,即|a|≥0.
3.平方根与立方根(1)如果一个数的⑦ 平方 等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.如果一个正数x的平方 等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为 .规定:0的算术平方根是0.(2)如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.正数只有一个正的立方根,负 数只有一个负的立方根.
4.无理数(1)定义:⑧ 无限不循环小数 是无理数.如π,0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), ,….(2)无理数的和、差、积、商不一定都是无理数.
1.负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中,下列各数是负数的是( A )A.-4.5 B.0 C.2% D.
2.中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家.若零上10 ℃记作+10 ℃,则零 下10 ℃可记作 ( C )A.10 ℃ B.0 ℃ C.-10 ℃ D.-20 ℃
3.把下列各数分别填在相应的横线上:- , ,- ,0,- , , ,0.23,3.14.(1)无理数: ,- , ;(2)有理数: - ,- ,0, ,0.23,3.14 ;(3)正数: , , ,0.23,3.14 ;
(4)负数: - ,- ,- ;(5)整数: - ,0, .
4.(1)6的相反数是 -6 ;(2)0的相反数是 0 ;(3)- 的相反数是 .
5.(1)8的倒数是 ;(2)- 的倒数是 -2 .
6.(1)3的绝对值是 3 ;(2)0的绝对值是 0 ;(3)- 的绝对值是 .
7.(1) = 7 ;(2) = ;(3) = 5 ;(4) = 0.3 .
8.下列实数:2 024,-6, ,0,π, ,3.14,-3.030 030 003…(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中,无理数有 4 个.
考点2 数轴及实数的大小比较
1.数轴的三要素为⑨ 原点 、正方向和单位长度.数轴上的点与实数一一对应.2.实数大小比较的常用方法
9.如图,将刻度尺放在数轴上,若4 cm和6 cm的刻度线分别与数轴上表示1和2的点对齐,则数轴上与 0刻度线对齐的点表示的数为 -1 .
10.比较下列各对数的大小:(1)0 > -5;(2)3 > -10;(3)-4.7 < -4;(4)6 < ;(5) > .
11.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,则a > -b.(填“>”“=”或“<”)
2.在实数范围内进行运算的顺序先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减.运算中有括号的,先算括号内的,同一级运算从左到右依次 进行.
易错警示 实数的运算遵循“先确定结果的符号,再进行绝对值的计算”的原则,避免在做题时出 现结果符号错误.
12.计算:(1)18+32÷(-2)3-(-4)2×5;(2)|-2|+(π+3)0+2cs30°- + .
考点4 科学记数法与近似数
2.近似数与准确数很接近的数称为近似数.(1)近似数末尾的“0”不能随便去掉.(2)一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
13.用科学记数法表示下列各数:(1)216 000= 2.16×105 ;(2)0.000 008 4= 8.4×10-6 ;(3)1 360亿= 1.36×1011 .
14.用四舍五入法取近似数:(1)3.496 2(精确到0.01)≈ 3.50 ;(2)304.35(精确到个位)≈ 304 ;(3)130 524(精确到千位)≈ 1.31×105 .
2.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.二次根式的性质( )2=a(a≥0). =|a|= = · (a≥0,b≥0). = (a≥0,b>0).
15.如果 是二次根式,那么x的取值范围是 x≥3 .
一、实数与数轴相结合的应用例1 (2023山东菏泽)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是 ( ) A.c(b-a)<0 B.b(c-a)<0C.a(b-c)>0 D.a(c+b)>0答案 C解析 由数轴可得a<00,c-a>0,b-c<0,c+b>0,所以c(b-a)>0,b(c-a)>0,a(b-c)>0,a(c+b)<0,
故A,B,D均不符合题意,C符合题意.故选C.
方法归纳 解决这类问题的步骤:1.根据数轴上实数对应的点的位置得出各数的符号,常用到的知 识有:(1)数轴上原点右边的点表示的数大于0,原点左边的点表示的数小于0;(2)距离原点越远的点 表示的数的绝对值越大.2.根据选项各自的特征进行推导,进而得出结果.
变式1 (2022江苏镇江)如图,数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧,点A、B对应的实数分别 是a、b,下列结论一定成立的是 ( D ) A.a+b<0 B.b-a<0C.2a>2b D.a+20,故A错误;b-a>0,故B错误;2a<2b,故C错误;a+2
方法归纳 常用实数运算:
变式2 (2022辽宁沈阳)计算: -3tan 30°+ +| -2|.
变式3 一题多解 (2022江苏泰州)计算: - × .
2.(2017河北,1,3分)下列运算结果为正数的是 ( A )A.(-3)2 B.-3÷2C.0×(-2 017) D.2-3
解析 依题意得a1=-4,a2=-2,a3=0,a4=2,a5=4,故选项A错误;|a1|=4,|a4|=2,故选项B错误;a1+a2+a3+a4+a5= -4-2+0+2+4=0,故选项C正确;a2+a5=-2+4=2>0,故选项D错误.故选C.
变式1-1 改变条件 (2022四川攀枝花)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确 的是 ( B ) A.b>-2 B.|b|>aC.a+b>0 D.a-b<0
解析 由题中数轴知,1a,故B正确,a+b<0,故C错误,a-b>0,故D错误.故选B.
变式1-2 改变条件 (2022陕西)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a < -b.(填“>” “=”或“<”)
解析 ∵b与-b互为相反数,∴b与-b在数轴上对应的点关于原点对称,即-b在数轴上对应的点位于3和4在数轴上对应的点之 间,∴a<-b.
2.(2017河北,20,8分)在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图所示.设点A, B,C所对应的数的和是p. (1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,则p又是多少?(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.
解析 (1)以B为原点,点A,C分别对应数-2,1, (2分)∴p=-2+0+1=-1. (4分)以C为原点, p=(-1-2)+(-1)+0=-4. (6分)(2)p=(-28-1-2)+(-28-1)+(-28)=-88.(8分)
3.(2021河北,9,3分)若 取1.442,计算 -3 -98 的结果是 ( B )A.-100 B.- D.-0.014 42
4.(2019河北,20,8分)有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入+,-,×,÷中的 某一个(可重复使用),然后计算结果.(1)计算:1+2-6-9;(2)若1÷2×6□9=-6,请推算□内的符号;(3)在“1□2□6-9”的□内填入符号后,使计算所得的数最小,直接写出这个最小数.
解析 (1)原式=-3-9=-12. (3分)(2)∵1÷2×6=3,∴3□9=-6, (4分)∴□内的符号是-. (6分)(3)-20. (8分)
变式4 改变条件(2022浙江杭州)计算:(-6)× -23.圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.(1)如果被污染的数字是 ,请计算(-6)× -23;(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.
1.(2023河北,10,2分)光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于 9.46×1012 km.下列正确的是 ( D )×1012-10=9.46××1012-0.46=9××1012是一个12位数×1012是一个13位数
解析 9.46×1012÷10=9.46×1011,选项A错误;9.46×1012-0.46×1012=9×1012,选项B错误;9.46×1012=9 460 000 000 000,是一个13位数,选项C错误,选项D正确.故选D.
2.(2022河北,6,3分)某正方形广场的边长为4×102 m,其面积用科学记数法表示为 ( C )A.4×104 m2 B.16×104 m2C.1.6×105 m2 D.1.6×104 m2
解析 正方形广场的边长为4×102 m,则其面积为(4×102)2=16×104=1.6×105(m2).故选C.
3.(2020河北,13,2分)已知光速为300 000千米/秒,光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表 示为a×10n千米,则n可能为 ( C )A.5 B.6C.5或6 D.5或6或7
解析 因为1≤t≤10,所以当t=1时,光传播的距离为1×300 000=300 000=3×105(千米),则n=5;当t=10 时,光传播的距离为10×300 000=3 000 000=3×106(千米),则n=6.所以n可能为5或6.故选C.
4.(2019河北,8,3分)一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ,把 用科学记数法表示为( D )A.5×10-4 B.5×10-5 C.2×10-4 D.2×10-5
5.(2021河北,20,8分)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进 m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元.(1)用含m,n的代数式表示Q;(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值.
解析 (1)Q=4m+10n. (3分)(2)由(1)知,当m=5×104,n=3×103时,Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. (8分)
1.(2022河北,4,3分)下列正确的是 ( B )A. =2+3 B. =2×3C. =32 D. =0.7
2.(2021河北,4,3分)与 结果相同的是 ( A )A.3-2+1 B.3+2-1C.3+2+1 D.3-2-1
3.(2023河北,7,2分)若a= ,b= ,则 =( A )A.2 B.4 C. D.
4.(2020河北,17,3分)已知: - =a - =b ,则ab= 6 .
考点1 实数的有关概念
1.实数(1)定义① 整数 和② 分数 统称有理数;有理数和③ 无理数 统称实数.
(2)分类(i)按定义分类:
知识拓展 1.常用正负数表示两种具有相反意义的量,如“+5”表示向东5米,则“-5”表示向西5米.2.非负数包括正数和0.
2.相反数、倒数、绝对值 (1)实数a、b互为相反数,则a+b=⑤ 0 .(2)实数a、b(a、b≠0)互为倒数,则ab=⑥ 1 .(3)绝对值:|a|= 结论:实数a的绝对值为非负数,即|a|≥0.
3.平方根与立方根(1)如果一个数的⑦ 平方 等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.如果一个正数x的平方 等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为 .规定:0的算术平方根是0.(2)如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.正数只有一个正的立方根,负 数只有一个负的立方根.
4.无理数(1)定义:⑧ 无限不循环小数 是无理数.如π,0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), ,….(2)无理数的和、差、积、商不一定都是无理数.
1.负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中,下列各数是负数的是( A )A.-4.5 B.0 C.2% D.
2.中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家.若零上10 ℃记作+10 ℃,则零 下10 ℃可记作 ( C )A.10 ℃ B.0 ℃ C.-10 ℃ D.-20 ℃
3.把下列各数分别填在相应的横线上:- , ,- ,0,- , , ,0.23,3.14.(1)无理数: ,- , ;(2)有理数: - ,- ,0, ,0.23,3.14 ;(3)正数: , , ,0.23,3.14 ;
(4)负数: - ,- ,- ;(5)整数: - ,0, .
4.(1)6的相反数是 -6 ;(2)0的相反数是 0 ;(3)- 的相反数是 .
5.(1)8的倒数是 ;(2)- 的倒数是 -2 .
6.(1)3的绝对值是 3 ;(2)0的绝对值是 0 ;(3)- 的绝对值是 .
7.(1) = 7 ;(2) = ;(3) = 5 ;(4) = 0.3 .
8.下列实数:2 024,-6, ,0,π, ,3.14,-3.030 030 003…(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中,无理数有 4 个.
考点2 数轴及实数的大小比较
1.数轴的三要素为⑨ 原点 、正方向和单位长度.数轴上的点与实数一一对应.2.实数大小比较的常用方法
9.如图,将刻度尺放在数轴上,若4 cm和6 cm的刻度线分别与数轴上表示1和2的点对齐,则数轴上与 0刻度线对齐的点表示的数为 -1 .
10.比较下列各对数的大小:(1)0 > -5;(2)3 > -10;(3)-4.7 < -4;(4)6 < ;(5) > .
11.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,则a > -b.(填“>”“=”或“<”)
2.在实数范围内进行运算的顺序先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减.运算中有括号的,先算括号内的,同一级运算从左到右依次 进行.
易错警示 实数的运算遵循“先确定结果的符号,再进行绝对值的计算”的原则,避免在做题时出 现结果符号错误.
12.计算:(1)18+32÷(-2)3-(-4)2×5;(2)|-2|+(π+3)0+2cs30°- + .
考点4 科学记数法与近似数
2.近似数与准确数很接近的数称为近似数.(1)近似数末尾的“0”不能随便去掉.(2)一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
13.用科学记数法表示下列各数:(1)216 000= 2.16×105 ;(2)0.000 008 4= 8.4×10-6 ;(3)1 360亿= 1.36×1011 .
14.用四舍五入法取近似数:(1)3.496 2(精确到0.01)≈ 3.50 ;(2)304.35(精确到个位)≈ 304 ;(3)130 524(精确到千位)≈ 1.31×105 .
2.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.二次根式的性质( )2=a(a≥0). =|a|= = · (a≥0,b≥0). = (a≥0,b>0).
15.如果 是二次根式,那么x的取值范围是 x≥3 .
一、实数与数轴相结合的应用例1 (2023山东菏泽)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是 ( ) A.c(b-a)<0 B.b(c-a)<0C.a(b-c)>0 D.a(c+b)>0答案 C解析 由数轴可得a<0
方法归纳 解决这类问题的步骤:1.根据数轴上实数对应的点的位置得出各数的符号,常用到的知 识有:(1)数轴上原点右边的点表示的数大于0,原点左边的点表示的数小于0;(2)距离原点越远的点 表示的数的绝对值越大.2.根据选项各自的特征进行推导,进而得出结果.
变式1 (2022江苏镇江)如图,数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧,点A、B对应的实数分别 是a、b,下列结论一定成立的是 ( D ) A.a+b<0 B.b-a<0C.2a>2b D.a+2
方法归纳 常用实数运算:
变式2 (2022辽宁沈阳)计算: -3tan 30°+ +| -2|.
变式3 一题多解 (2022江苏泰州)计算: - × .
2.(2017河北,1,3分)下列运算结果为正数的是 ( A )A.(-3)2 B.-3÷2C.0×(-2 017) D.2-3
解析 依题意得a1=-4,a2=-2,a3=0,a4=2,a5=4,故选项A错误;|a1|=4,|a4|=2,故选项B错误;a1+a2+a3+a4+a5= -4-2+0+2+4=0,故选项C正确;a2+a5=-2+4=2>0,故选项D错误.故选C.
变式1-1 改变条件 (2022四川攀枝花)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确 的是 ( B ) A.b>-2 B.|b|>aC.a+b>0 D.a-b<0
解析 由题中数轴知,1
变式1-2 改变条件 (2022陕西)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a < -b.(填“>” “=”或“<”)
解析 ∵b与-b互为相反数,∴b与-b在数轴上对应的点关于原点对称,即-b在数轴上对应的点位于3和4在数轴上对应的点之 间,∴a<-b.
2.(2017河北,20,8分)在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图所示.设点A, B,C所对应的数的和是p. (1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,则p又是多少?(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.
解析 (1)以B为原点,点A,C分别对应数-2,1, (2分)∴p=-2+0+1=-1. (4分)以C为原点, p=(-1-2)+(-1)+0=-4. (6分)(2)p=(-28-1-2)+(-28-1)+(-28)=-88.(8分)
3.(2021河北,9,3分)若 取1.442,计算 -3 -98 的结果是 ( B )A.-100 B.- D.-0.014 42
4.(2019河北,20,8分)有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入+,-,×,÷中的 某一个(可重复使用),然后计算结果.(1)计算:1+2-6-9;(2)若1÷2×6□9=-6,请推算□内的符号;(3)在“1□2□6-9”的□内填入符号后,使计算所得的数最小,直接写出这个最小数.
解析 (1)原式=-3-9=-12. (3分)(2)∵1÷2×6=3,∴3□9=-6, (4分)∴□内的符号是-. (6分)(3)-20. (8分)
变式4 改变条件(2022浙江杭州)计算:(-6)× -23.圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.(1)如果被污染的数字是 ,请计算(-6)× -23;(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.
1.(2023河北,10,2分)光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于 9.46×1012 km.下列正确的是 ( D )×1012-10=9.46××1012-0.46=9××1012是一个12位数×1012是一个13位数
解析 9.46×1012÷10=9.46×1011,选项A错误;9.46×1012-0.46×1012=9×1012,选项B错误;9.46×1012=9 460 000 000 000,是一个13位数,选项C错误,选项D正确.故选D.
2.(2022河北,6,3分)某正方形广场的边长为4×102 m,其面积用科学记数法表示为 ( C )A.4×104 m2 B.16×104 m2C.1.6×105 m2 D.1.6×104 m2
解析 正方形广场的边长为4×102 m,则其面积为(4×102)2=16×104=1.6×105(m2).故选C.
3.(2020河北,13,2分)已知光速为300 000千米/秒,光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表 示为a×10n千米,则n可能为 ( C )A.5 B.6C.5或6 D.5或6或7
解析 因为1≤t≤10,所以当t=1时,光传播的距离为1×300 000=300 000=3×105(千米),则n=5;当t=10 时,光传播的距离为10×300 000=3 000 000=3×106(千米),则n=6.所以n可能为5或6.故选C.
4.(2019河北,8,3分)一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ,把 用科学记数法表示为( D )A.5×10-4 B.5×10-5 C.2×10-4 D.2×10-5
5.(2021河北,20,8分)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进 m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元.(1)用含m,n的代数式表示Q;(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值.
解析 (1)Q=4m+10n. (3分)(2)由(1)知,当m=5×104,n=3×103时,Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. (8分)
1.(2022河北,4,3分)下列正确的是 ( B )A. =2+3 B. =2×3C. =32 D. =0.7
2.(2021河北,4,3分)与 结果相同的是 ( A )A.3-2+1 B.3+2-1C.3+2+1 D.3-2-1
3.(2023河北,7,2分)若a= ,b= ,则 =( A )A.2 B.4 C. D.
4.(2020河北,17,3分)已知: - =a - =b ,则ab= 6 .
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