2023-2024学年甘肃省武威九中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威九中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数y=(m+2)xm2−2+3x−4是二次函数，则m等于( )
A. ±2B. 2C. −2D. 6
3.把二次函数y=−x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是
( )
A. y=−(x−1)2+2B. y=−(x+1)2+2
C. y=−(x−1)2−2D. y=−(x+1)2−2
4.在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( )
A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−1
5.如果一元二次方程x2−2x−3=0的两根为x1、x2，则x12x2+x1x22的值等于
( )
A. −6B. 6C. −5D. 5
6.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )
A. B.
C. D.
7.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°.则∠BAA′的度数是( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
8.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD.下列结论中，不一定成立的是( )
A. AE=BE
B. AD=BD
C. OE=DE
D. ∠DBC=90°
9.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是( )
A. (32+x)(20+x)=540B. (32−x)(20−x)=540
C. (32+x)(20−x)=540D. (32−x)(20+x)=54
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc<0②b0④2a+b=0⑤a+bA. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在平面直角坐标系内，若点A(a,−3)与点B(2,b)关于原点对称，则a+b的值为______．
12.若关于x的一元二次方程(k−1)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
13.在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=______．
14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=66°，则∠OBC= ______ ．
15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的方程−x2+2x+m=0的解为______．
16.若A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=x2−2x−2上的三点.则y1，y2，y3的大小关系为______ ．
17.等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2−5x+6=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．
18.如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
用适当的方法解下列方程：
(1)x2−4x−5=0；
(2)2x2−5x−3=0；
(3)(x+4)2=2x+8．
20.(本小题5分)
如图，在边长为1的小正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，
(1)B点关于y轴的对称点坐标为______ ；
(2)将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(3)以原点O为对称中心，画出△ABC与关于原点对称的△A2B2C2．
21.(本小题6分)
已知：关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．
(1)求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
22.(本小题6分)
如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
23.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=x2+x−6与x轴的两个交点分别为点A、点B(点A在点B的左侧)．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)利用函数图象，直接写出当x取何值时，函数值y<0？
(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(4)当x取何值时，y随x的增大而减小？
24.(本小题6分)
某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程．已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．求这两年内平均每年投资增长的百分率．
25.(本小题8分)
如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
(1)求∠ODC的度数；
(2)若OB=2，OC=3，求AO的长．
26.(本小题8分)
【特例感知】
(1)如图①，AB是⊙O的直径，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接CD、BD.已知BD=3，∠BAD=30°，则∠B的度数为______ °，点D到直线AC的距离为______ ；
【类比迁移】
(2)如图②，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DM⊥AB，垂足为M，探索线段AB、AC、AM之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
(3)如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BAD=90°，AC平分∠BAD，AB=5，AD+AC=15，求线段AC的长．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+2x−3a经过A(1,0)、B(b,0)、C(0,c)三点．
(1)求b，c的值；
(2)在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称的定义得出结论即可．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵y=(m+2)xm2−2+3x−4是二次函数，
∴m2−2=2且m+2≠0，
∴m=2．
故选：B．
根据二次函数的定义，令m2−2=2且m+2≠0，即可求出m的取值范围．
本题考查了二次函数的定义，要注意二次项系数不能为0．
3.【答案】A
【解析】解：原抛物线的顶点为(0,0)，先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为(1,2)．
可设新抛物线的解析式为y=−(x−h)2+k代入2得：y=−(x−1)2+2．
故选：A．
解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
抛物线平移不改变a的值，利用平移规律解答．
4.【答案】A
【解析】解：∵a=−1<0，
∴二次函数图象开口向下，
∵对称轴是直线x=−b2a=−22·−1==1，
∴当x<1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大而增大．
故选：A．
抛物线y=−x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x<1时，y随x的增大而增大．
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x=−b2a，在对称轴左边，y随x的增大而增大．
5.【答案】A
【解析】解：∵一元二次方程x2−2x−3=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=−ba=−−21=2，x1x2=ca=−31=−3，
∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=−3×2=−6．
故选A．
先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值，再把它们的数值都代入所求代数式计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
6.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，
∴a<0，b<0，
∴二次函数y=ax2+bx的开口向下，对称轴在y轴左侧，
故选：C．
根据一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=∠A′AC=45°，
∴∠CA′B=∠BAC=∠CA′A−∠1，
=45°−25°
=20°，
∴∠BAA′=∠BAC+∠A′AC
=20°+45°
=65°，
故选：C．
根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的角的和差关系可得结果．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
∴AE=BE，AD=BD，故A、B正确；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，故D正确．
故选：C．
根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32−x)(20−x)平方米，进而可列出方程，求出答案．
【解答】解：小路宽为x米，利用平移，得：(32−x)(20−x)=540．
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：①abc<0，
∵由图象可知：图象开口向下，于y轴交于正半轴，对称轴为x=1，
∴a<0，c>0，−b2a=1．
∴b=−2a>0，
∴abc<0，此结论正确．
②b∵由图象可知：当x=−1时，y<0，
把x=−1代入解析式得：a−b+c<0，
∴b>a+c，此结论错误．
③4a+2b+c>0，
∵由图象可知：图象开口向下，于y轴交于正半轴，对称轴为x=1，
∴a<0，c>0，−b2a=1．
∴b=−2a，
∴4a+2b+c=4a−4a+c=c>0，此结论正确．
④2a+b=0，
∵由图象可知：图象开口向下，于y轴交于正半轴，对称轴为x=1，
∴−b2a=1．
∴b=−2a．
∴2a+b=2a−2a=0，此结论正确．
⑤a+b∵x=1时，y=a+b+c(最大值)x=m时，y=am2+bm+c，
∵m≠1，
∴a+b+c>am2+bm+c=m(am+b)+c，
∴a+b>m(am+b)，故此选项错误．
∴①③④正确．
故选：C．
根据抛物线的图象与二次函数系数之间的关系解答即可
本题主要考查了抛物线的图象与二次函数各项系数之间的关系，根据抛物线的图象与二次函数系数之间的关系解答即可．
11.【答案】1
【解析】解：∵点A(a,−3)与点B(2,b)关于原点对称，
∴a=−2，b=3，
∴a+b=1．
故答案为：1．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】k>−3且k≠1
【解析】解：由题意可知：Δ=(−4)2−4(k−1)×(−1)=4k+12>0，
∴k>−3，
∵k−1≠0，
∴k>−3且k≠1，
故答案为：k>−3且k≠1．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
13.【答案】70°
【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，
∴∠A1OA=100°，
∵∠AOB=30°，
∴∠A1OB=∠A1OA−∠AOB=70°．
故答案为：70°．
直接根据图形旋转的性质进行解答即可．
本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．
14.【答案】24°
【解析】解：∵∠A=66°，∠A是弧BC的圆周角，∠BOC是弧BC的圆心角．
∴∠BOC=2∠A=2×66°=132°．
∵OB=OC，
∠OBC=∠OCB=12(180°−∠BOC)=12(180°−132°)=24°．
故答案为：24°．
根据三角形内角和等于180°解题即可．
本题主要考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
15.【答案】x1=3，x2=−1
【解析】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线x=1，与x的轴的一个交点是(3,0)，则该函数与x轴的另一个交点是(−1,0)，
即当y=0时，0=−x2+2x+m，此时x1=3，x2=−1，
故关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为x1=3，x2=−1，
故答案是：x1=3，x2=−1．
根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
16.【答案】y2【解析】解：∵x=−b2a=−−22=1，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∵A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)，
∴到对称轴的距离从小到大为B，C，A，
∵抛物线开口向上，
∴到对称轴的距离越小，对应的y值越小，
∴y1、y2、y3的大小关系为y2故答案为：y2先求出抛物线的对称轴为直线x=1，再根据点到对称轴的距离从小到大为B，C，A，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到y1、y2、y3的大小关系．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
17.【答案】7或8
【解析】解：解方程x2−5x+6=0得x1=2，x2=3，
当2是腰时，2+2>3，可以构成三角形，周长为7；
当3是腰时，3+2>3，可以构成三角形，周长为8；
所以周长是7或8．
可先解出x的值，然后根据等腰三角形的性质可知三角形三边为2，2，3或3，3，2，然后看两组数是否符合三角形的性质，最后解出周长的值．
本题主要考查了一元二次方程的解法，三角形的三边关系，等腰三角形的性质．
18.【答案】(36,0)
【解析】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴图③、④的直角顶点坐标为(12,0)，
∵每旋转3次为一循环，
∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24,0)，
∴图⑨、⑩的直角顶点为(36,0)．
故答案为：(36,0)．
如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为(12,0)，图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24,0)，所以，图⑨、⑩10的直角顶点为(36,0)．
本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−4x−5=0
(x−5)(x+1)=0
x1=5，x2=−1．
(2)2x2−5x−3=0
(2x+1)(x−3)=0
x1=−12，x2=3．
(3)(x+4)2=2x+8
x2+8x+16=2x+8
x2+6x+8=0
(x+2)(x+4)=0
x1=−2，x2=−4．
【解析】(1)直接用因式分解法解方程即可．
(2)直接用因式分解法解方程即可．
(3)去括号整理，利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查利用因式分解法解方程，解题的关键是掌握因式分解的方法．
20.【答案】(2,−2)
【解析】解：(1)∵边长为1的小正方形格，点B在第三象限，
∴点B(−2,−2)；
则点B关于y轴的对称点坐标为(2,−2)，
(2)△A1B1C1见图1：
(3)△A2B2C2见图2：
．
(1)点关于y轴的对称点坐标，依据横坐标变为相反数，纵坐标不变即可求得答案；
(2)根据平移的性质，将三角形向右平移三个单位即可；
(3)根据关于原点对称，横坐标和纵坐标都变为相反数，找到对称点然后连线即可．
本题主要考查关于y轴对称、平移和关于原点对称图形，解题的关键要明确：关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变．
21.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(k+1)]2−4(2k−3)=k2−6k+13=(k−3)2+4，
而(k−3)2≥0，
∴Δ>0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
(2)解：∵方程的一个根是3，
∴32−3(k+1)+2k−3=0，
解得：k=3，
∴原方程为：x2−4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3．
即k的值为3，方程的另一个根是1．
【解析】(1)要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ>0即可．Δ=[−(k+1)]2−4(2k−3)=k2−6k+13=(k−3)2+4，因为(k−3)2≥0，可以得到Δ>0；
(2)将x=3代入方程x2−(k+1)x+2k−3=0，求出k的值，进而得出方程的解．
此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
22.【答案】证明：连接OC，
∵AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵∠DOC=∠EOC∠CDO=∠CEO=90°CO=CO，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
【解析】连接OC，先根据AC=CB得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+x−6与x轴的两个交点分别为点A、点B(点A在点B的左侧)．
∴x2+x−6=0，即(x+3)(x−2)=0，
∴x1=−3，x2=2，
∴A(−3,0)，B(2,0)．
(2)根据函数图象，结合(1)得到的点A，点B的坐标，
故当−3(3)由抛物线y=x2+x−6得出：a=1，b=1，c=−6，
∴−b2a=−12，4ac−b24a=−254，
∴抛物线的顶点为：(−12,−254)，对称轴为：x=−12．
(4)∵y=x2+x−6=(x+12)2−14−6=(x+12)2−254，
∴对称轴为：x=−12，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上．
∴当x≤−12，y随x的增大而减小．
【解析】(1)令y=0代入y=x2+x−6即可求出x的值，x的值分别是A、B两点的横坐标．
(2)根据图像可知：y<0是指x轴下方的图象，根据 A、B两点的坐标即可求出x的范围．
(3)根据顶点坐标公式求解即可．
(4)把抛物线y=x2+x−6化为顶点式就可以求解．
本题主要考查二次函数的图象和性质，根据其性质解题即可．
24.【答案】解：(1)设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得1000(1+x)2=1210，
解得x1=0.1，x2=−2.1(不合题意舍去)．
答：平均每年投资增长的百分率为10%．
【解析】设平均每年投资增长的百分率是x.根据2013年投资1000万元，得出2014年投资1000(1+x)万元，2015年投资1000(1+x)2万元，而2015年投资1210万元．据此列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．
25.【答案】解：(1)由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，
∵∠ACB=60°，
∴∠DCO=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°；
(2)由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
∵∠BOC=150°=∠ADC，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO= AD2+OD2= 13．
【解析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，正确求得AO的长是解题的关键．
(1)根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
(2)先证明出△AOD为直角三角形，在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
26.【答案】60 3 32
【解析】解：(1)如图①，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=30°，
∴∠B=60°；
作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，则DF=DE，
∵∠BAD=30°，BD=3，
∴AB=2BD=6，
∴AD= AB2−BD2= 62−32=3 3，
∴12×6DE=12×3×3 3=S△ABD，
∴DE=3 32，
∴DF=3 32，
∴点D到直线AC的距离为3 32，
故答案为：60，3 32；
(2)AB+AC=2AM，理由如下：
如图②，连接BD，CD，作DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，
∴DN=DM，
∵∠DCN+∠ACD=180°，∠B+∠ACD=180°，
∴∠DCN=∠B，
∵∠N=∠DMB=90°，
∴△DCN≌△DBM(AAS)，
∴CN=BM，
∵∠N=∠AMD=90°，AD=AD，DN=DM，
∴Rt△ADN≌Rt△ADM(HL)，
∴AN=AM，
∴AB+AC=AM+BM+AC=AM+CN+AC=AM+AN=2AM，
(3)如图③，作CG⊥AD于点G，CH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵AC平分∠BAD，
∴CG=CH，
∵∠D+∠ABC=180°，∠CBH+∠ABC=180°，
∴∠D=∠CBG，
∵∠CGD=∠H=90°，
∴△CGD≌△CHB(AAS)，
∴DG=BH，
设DG=BH=x，
∵∠BAD=∠AGC=∠AHC=90°，
∴四边形AGCH是矩形，
∵CG=CH，
∴四边形AGCH是正方形，
∴AG=AH=CG，
∵AB=5，AD+AC=15，
∴CG=AG=AH=5+x，AD=AG+x=AH+x=5+2x，
∴AC=15−AD=15−(5+2x)=10−2x，
∵AG2+CG2=AC2，
∴(5+x)2+(5+x)2=(10−2x)2，
解得x1=15−10 2，x2=15+10 2(不符合题意，舍去)，
∴AC=10−2×(15−10 2)=20 2−20，
∴线段AC的长为20 2−20．
(1)由∠ADB=90°，∠BAD=30°，推导出∠B=60°；作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，则DF=DE，由∠ADB=90°，∠BAD=30°，得AB=2BD=6，根据勾股定理求得AD=3 3，则12×6DE=12×3×3 3=S△ABD，所以DF=DE=3 32，即点D到直线AC的距离为3 32；
(2)连接BD，CD，作DN⊥AC交AC的延长线于点N，则DN=DM，再证明△DCN≌△DBM，得CN=BM，再证明Rt△ADN≌Rt△ADM，得AN=AM，即可证明AB+AC=2AM；
(3)作CG⊥AD于点G，CH⊥AB交AB的延长线于点H，先证明△CGD≌△CHB，得DG=BH，设DG=BH=x，可证明四边形AGCH是正方形，则AG=AH=CG，由AB=5，AD+AC=15，推导出CG=AG=AH=5+x，AD=5+2x，AC=10−2x，即可根据AG2+CG2=AC2，列方程(5+x)2+(5+x)2=(10−2x)2，解方程求出符合题意的x的值，再求出AC的长即可．
本题重点考查了圆内接四边形的对角互补、直角所对的圆周角等于90°、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
27.【答案】解：(1)把A(1,0)代入抛物线y=ax2+2x−3a，
可得：a+2−3a=0
解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x−3；
把B(b,0)，C(0,c)代入y=x2+2x−3，
可得：b=1或b=−3，c=−3，
∵A(1,0)，
∴b=−3；
(2)∵抛物线的解析式为：y=x2+2x−3，
∴其对称轴为直线x=−b2a=−1，
连接BC，如图1所示，
∵B(−3,0)，C(0,−3)，
∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴b=−3−3k+b=0，
解得k=−1b=−3，
∴直线BC的解析式为y=−x−3，
当x=−1时，y=1−3=−2，
∴P(−1,−2)；
(2)存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，C(0,−3)，
∴N1(−2,−3)；
②当点N在x轴上方时，
如图2，过点N′作N′D⊥x轴于点D，
在△AN′D与△M′CO中，∠N′DA=∠COM′∠CM′A=∠N′ADAN′=CM′
∴△AN′D≌△M′CO(AAS)，
∴N′D=OC=3，即N′点的纵坐标为3．
∴3=x2+2x−3，
解得x=−1+ 7或x=−1− 7，
∴N′(−1+ 7,3)，N“(−1− 7,3)．
综上所述，符合条件的点N的坐标为(−2,−3)，(−1+ 7,3)或(−1− 7,3)．
【解析】(1)把A(1,0)代入抛物线y=ax2+2x−3a，再把B(b,0)，C(0,c)三点代入求出a、b、c的值即可；
(2)因为点A关于对称轴对称的点B的坐标，连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
(3)分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答(3)时要注意进行分类讨论．