数学拓展模块一 上册3.1 椭圆优秀同步训练题

专题06 椭圆

【题型1 椭圆的定义及辨析】

【题型2 利用椭圆定义求标准方程】

【题型3 椭圆上的点到焦点的距离】

【题型1 椭圆的定义及辨析】

这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.

说明：

若，的轨迹为线段；

若，的轨迹无图形

2、定义的集合语言表述

集合.

【典例1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

【答案】A

【详解】因为，，所以，

所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.

故选：A.

【题型2 利用椭圆定义求标准方程】

椭圆的标准方程

【典例2】（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，

即，

所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，

则，，

所以，，

故方程为.

【题型3 椭圆上的点到焦点的距离】

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设分别为椭圆的左、右焦点，到左准线的距离为，到右准线的距离为，

由圆锥曲线的统一定义知：，解得：，

又，解得：，到它的左焦点距离为．

故选：A.

【题型4 判断方程是否表示椭圆】

【典例4】（2023·高二课时练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；

而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.

所以是的必要不充分条件.

故选：B

【题型5 求标准方程】

【典例5】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知椭圆（）的一个焦点为，则（    ）

A． B．3 C．41 D．9

【答案】A

【详解】由题意可知：椭圆的焦点在y轴上，且，

则.

故选：A.

【题型6根据椭圆的标准方程研究其几何性质】

【典例6】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）椭圆与椭圆的（    ）

A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等

【答案】C

【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为；

椭圆即，因为，

则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为,

故两个椭圆的焦距相等．

故选：C．

【题型7根据椭圆的几何性质求其标准方程 】

【典例7】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由化简可得，

焦点为在轴上，

同时又过点，设，

有，解得，

故选：C

【题型8求椭圆的离心率的值】

离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）

当越接近1时，越接近，椭圆越扁；

当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；

当且仅当时，图形为圆，方程为

【典例8】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】在中，，

设，由题意知,，

由余弦定理得,，

由椭圆定义知，则离心率.

【典例9】（2023·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则，

将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得，

则，解得.

故选：C.

【题型10弦长】

弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：

         弦长

           弦长

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

；  

【典例10】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为         ．

【答案】

【详解】在椭圆中，，，则，故点，

设点、，由题意可知，直线的方程为，即，

联立可得，，

由韦达定理可得，，

所以，.

故答案为：.

练习

1.（2023·高二课时练习）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点，求此椭圆的标准方程．

【答案】或

【详解】当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为；

当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为；

综上，椭圆方程为或.

2.（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】D

【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得.

故选：D.

3.（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ）

A．12 B．24 C． D．

【答案】D

【详解】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，

又过的直线交椭圆于A、B两点，

故的周长

，

故选：D

4.（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为           ．

【答案】

【详解】由题知：，①

又椭圆经过点，

所以，②

又，③

联立解得：，

故椭圆的标准方程为：.

故答案为：.

5.（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于      .

【答案】14

【详解】设左、右焦点为, 设，

由题得

因为，所以.

所以点P与另一个焦点的距离等于14.

故答案为：14

故选：B.

6.（2023秋·高二单元测试）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）

A．6 B．12 C． D．

【答案】C

【详解】由椭圆，得，，.

设，，

∴，在中，由余弦定理可得：，

可得，得，

故.

7.（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则        ，的大小为        .

【答案】     2    

【详解】∵，，

∴，

∴，又，，

∴，由余弦定理，得，

∴.

故答案为：2，

8.（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为           .

【答案】或

【详解】因为椭圆的离心率为，易知，

当时，椭圆焦点在轴上，，，

所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.

当时，椭圆焦点在轴上，，，

所以，得，满足题意，

此时，所以椭圆的长轴长为.

故答案为：或.

9.（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（       ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【答案】C

【详解】联立，

则

所以方程有两个不相等的实数根，

所以直线与椭圆相交

故选：C.

10.（2023·全国·高三对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ）

A． B．3 C． D．6

【答案】B

【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，

代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.

故选：B

11.（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由已知，可得椭圆标准方程为，

则，，，

所以长轴长为、短轴长为、离心率为.

故选：D.

12.（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ）

A．6 B．或 C． D．或

【答案】D

【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；

当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．

故选：D．

13.（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m的值为          ．

【答案】10或2

【详解】椭圆的焦距为4，即

当时，；

当时，；

故m的值为10或2，

故答案为：10或2

14.（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【详解】由题意知，，，所以，，

∴，

又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.

∴椭圆方程：或

故选：C

15.（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为      .

【答案】

【详解】椭圆的离心率为，

设所求椭圆方程为，

则，从而，，

又，∴，

∴所求椭圆的标准方程为.

故答案为： .