新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题3 圆锥曲线中的长度问题（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题3 圆锥曲线中的长度问题（含解析），共27页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
专题3 圆锥曲线中的长度问题
一、考情分析
圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.
二、解题秘籍
(一) 利用两点间距离公式求线段长度
若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.
【例1】（2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考）在平面直角坐标系中,已知椭圆的右准线为（定义：椭圆C的右准线方程为,其中）.点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值.
【解析】（1）由题意可知,当P点坐标为时,,
不妨设点M在点N上方,则,
所以直线与椭圆C相切,将直线与椭圆方程联立,
消去y,整理得,
则,整理得,
又,解得或（舍去）,所以,
即椭圆C的方程为；
（2）设,切线方程为,
将切线方程与椭圆联立,
消去y,整理得,
则,
整理得,
设切线斜率为,直线斜率为,
则,,且,,
所以,
将,代入上式,整理得,
当时,上述等号成立,即的最小值为4.
(二) 利用求距离
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|x2－x1|.
其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝,
【例2】(2022届陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同,且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍,且经过点,与交于、两点,与交于、两点,求．
【解析】（1）由题意可得,则．
因为的渐近线方程为,即,
椭圆的右焦点为,由题意可得,,解得,
故椭圆的方程为,双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为,
所以,直线的斜率为,
所以直线的方程为,
联立得,则,
设、,则,,
所以,
联立可得,,
设点、,则,,
所以,,故．
(三) 利用求距离
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|y2－y1|.当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|＝.
【例3】（2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考）已知椭圆的离心率；上顶点为A,右顶点为,直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点,为弦的中点,为坐标原点.求的取值范围.
【解析】（1）由知,
原点到直线的距离为,故,
故椭圆的标准方程为.
（2）时：,或,故；
直线斜率不存在时,,或．故；
直线斜率存在且不为0时：设直线的方程为（）,
由直线与圆相切,所以,即,
联立得,
设,
由韦达定理：,,,
所以中点的坐标为,
故

,
故,
,当且仅当,时等号成立,

综上：的取值范围是.
(四) 利用点到直线距离公式求垂线段的长
1.若已知定点P,点Q在动直线上,求最小值,常利用点到直线距离公式；
2.若点P在定直线上,点Q为曲线上,求最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离.
【例4】（2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试）设有椭圆方程,直线,下端点为,左､右焦点分别为在上.
(1)若中点在轴上,求点的坐标；
(2)直线与轴交于,直线经过右焦点,且,求；
(3)在椭圆上存在一点到距离为,使,当变化时,求的最小值.
【解析】（1）因为左焦点,所以,由题知,所以,,
又因为中点在轴上,所以点的纵坐标为1,代入中的,
所以点坐标为.
（2）

如图,设直线与轴交点为,
因为直线为,所以直线的倾斜角为,
①,
由题意知,,,,所以在中,,,
所以,整理可得,解得或,
又因为,所以,舍去,.
（3）设直线平移后与椭圆相切的直线方程为,联立,
得,,所以,
因为椭圆上存在点到直线的距离为,,即
所以①,同时,
又因为,所以①式右侧肯定成立,左侧可以整理为,
解得,
因为,所以当取得最小值时,有最大值,最大值为.
(五) 利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.
【例5】已知椭圆的长轴长为,点在上.
（1）求的方程；
（2）设的上顶点为A,右顶点为B,直线与平行,且与交于,两点,,点为的右焦点,求的最小值.
【解析】（1）因为的长轴长为,所以,即.
又点在上,所以,代入,解得,
故的方程为.
（2）由（1）可知,A,B的坐标分别为,,
直线的方程为,
设,
联立得,
由,得,
设,,,因为,所以D为MN的中点,
则,
因为,所以,
又的坐标为,
所以
,
因为,所以当时,取得最小值,且最小值为.
(六) 利用圆锥曲线定义求长度
与圆锥曲线焦点弦或焦半径有关的长度计算可利用圆锥曲线定义求解.
【例6】（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,椭圆的长轴长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点,交抛物线于两点,请问是否存在实常数,使为定值？若存在,求出的值；若不存在,说明理由.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为,
所以,又,则,
故椭圆的方程为：；
（2）设､､､,
设直线的方程为,与椭圆的方程联立,
得,
∴,,
∴,
设直线的方程,与抛物线G的方程联立,
得,
∴,,
∴,
∴,
要使为常数,则,解得,
故存在,使得为定值．
【例7】（2023届江苏省南京市高三上学期测试）已知点B是圆C:上的任意一点,点F（,0）,线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点Р的轨迹E的方程;
(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1,A2,Q为直线x=4上的动点,且Q不在x轴上,QA1与E的另一个交点为M,QA2与E的另一个交点为N,证明: △FMN的周长为定值.
【解析】（1）因为点P在BF垂直平分线上,所以有,
所以：,即PF+PC为定值4,
所以轨迹E为椭圆,且,所以,
所以轨迹E的方程为：.
（2）由题知：,
设
则,,
所以QA1方程为：,QA2方程为：,
联立方程：,可以得出M：
同理可以计算出点N坐标：,
当存在,即,即时,
所以直线MN的方程为：
即：,所以直线过定点,
即过椭圆的右焦点,所以△FMN的周长为4a=8.
当不存在,即,即时,
可以计算出,周长也等于8.
所以△FMN的周长为定值8.
三、跟踪检测
1．（2023届北京市高三上学期入学定位考试）已知椭圆C：（其中）的离心率为,左右焦点分别为,.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点,过原点作AB的垂线,垂足为D.若点D恰好是与A的中点,求线段AB的长度.
【解析】（1）由题设,得.                                                
又,所以.                                      
所以 ,                                              
所以椭圆的方程为,
（2）设,.      
由题意可知直线有斜率且不为0,故设直线的方程为,                                     
所以直线的方程为 ,                                    
所以  得                                 
所以                                                  
因为点恰好是与的中点,
所以,                           
因为点在椭圆上,所以                     
解得,                                                    
当时,由,得                         
所以,所以               
同理时,
2．（2023届福建省部分名校高三上学期9月联考）已知两点,,动点在轴的投影为,且,记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点,试问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】（1）设,则,,,.
因为,所以,
故的方程为.
（2）由题可知直线的斜率一定存在,且不为0,
不妨设直线的方程为,,.
联立方程组,消去整理得,
则,整理得.
,,
则线段的垂直平分线的方程为,
令,得,则,
.



则.
故是定值,该定值为.
3．（2023届四川省巴中市高三上学期考试）已知椭圆：的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点,求的最大值及此时直线的斜率．
【解析】（1）由椭圆可得,所以,解得,
因为椭圆经过点,故得到,解得,
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时,的横坐标为1或-1,由于椭圆的对称性,不妨设的横坐标为1,
代入椭圆得解得,所以；
当切线不垂直轴时,设切线方程为即,
所以圆心到切线的距离,得,
把代入椭圆方程,整理得
设,则,


设,则,则
,
所以,
综上所述,,此时,因为,所以直线的斜率为
4．（2023届安徽省部分校高三上学期摸底考）已知为坐标原点,椭圆过点 ,记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ,求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形,求的取值范围．
【解析】（1）设,则,
两式相减可得,,而,
则有,又直线斜率,因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时,设直线,,
由消去y并整理得：,
,,,
因四边形为平行四边形,即,则点,
而,即,
又点P在椭圆上,则,化简得,满足,
于是得,,,
则
,
当直线垂直于x轴时,得点或,若点,点M,N必在直线上,
由得,则,若点,同理可得,
综上,的取值范围为．
5.（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线的离心率为,点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点,在双曲线上,直线,与轴分别相交于两点,点在直线上,若坐标原点为线段的中点,,证明：存在定点,使得为定值.
【解析】（1）由题意,双曲线的离心率为,且在双曲线上,
可得,解得,所以双曲线的方程为.
（2）由题意知,直线的的斜率存在,设直线的方程为,
联立方程组,整理得,
则且,
设,则,
直线的方程为,
令,可得,即,
同理可得,
因为为的中点,所以,
即,
可得,即,
所以或,
若,则直线方程为,即,
此时直线过点,不合题意；
若时,则直线方程为,恒过定点,
所以为定值,
又由为直角三角形,且为斜边,
所以当为的中点时,.
6.（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线交直线于点N,点O为坐标原点,过点O且与直线垂直的直线记为l,直线交y轴于点P,交直线l于点Q,求证：为定值．
【解析】（1）由已知,又,,所以,
椭圆标准方程为；
（2）设,,则,,
直线的方程为,令得,即,
,
,,直线的方程是,
直线的方程为,令得,即,
由,因为,故解得,即,
所以
7．（2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟）已知斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A､B两点,y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.
（1）若k>0,证明：点P在y轴正半轴上；
（2）当取到最大值时,求实数k的值.
【解析】（1）设,的中点为,,
因为,故直线的斜率存在,故,故,
故直线,故,
因为的中点为,故,故.
所以点P在y轴正半轴上.
（2）当与轴垂直时,；
当与轴不垂直时,因为△ABP是等边三角形,故与轴不垂直,故.
由（1）可得即,
故,所以,
又,
由可得,
所以即且,
因为△ABP是等边三角形,故,
故,整理得到,此时成立.
由可得.
因为,故,其中.
设,,
则,
当时,；时,；
所以在上为增函数,在上为减函数,
故当时,的最大值为,
此时,
此时直线的斜率即.
8．（2022届上海市建平中学高三上学期考试）设实数,椭圆D：的右焦点为F,过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N,点O是坐标原点,直线ON交直线于点M．

（1）若点P的横坐标为1,求点Q的横坐标；
（2）求证：；
（3）求的最大值．
【解析】（1）因为点P的横坐标为1,由,
得P的坐标为或．F的坐标为．
当P的坐标为时,直线PQ：,
即,
代入椭圆方程,,即,
得Q的横坐标为.
当P的坐标为时,同样得Q的横坐标为.
因此,点Q的横坐标为；
（2）联立方程组,其解为,．
消去y,得,即．
由,
所以N的横坐标为,
得N的纵坐标为,
得N的坐标为．
所以直线ON的斜率为,方程为,
与直线交于点．
故直线FM的斜率为,于是,因此；
（3）

．
令,由,得,


又,得．
即,所以的取值范围为,最大值为．
9．（2022届江苏省南京高三上学期12月联考）已知椭圆C：0)的离心率为,右顶点为A,过点B(a,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,其中点M在第一象限当点M,N关于原点对称时,点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点N作x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点,求直线AQ的斜率,并求线段AQ长度的最大值．
【解析】（1）因为,又,所以,所以椭圆．
当点、关于原点对称,此时直线过原点,直线的方程为,所以,
代入椭圆的方程得,即,所以或（舍去）
所以椭圆的方程为
（2）,由题意直线的斜率存在,设直线的方程为,,,
由,得,
可知,,且
直线的方程为,令,则点的纵坐标为,
所以点的纵坐标,
所以直线的斜率为
,
即直线的斜率为．设直线与轴的交点为,在中,,所以,,所以线段长度的最大值为．
10．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆经过点,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点,求的最大值.
【解析】（1）由已知得解得,
因此椭圆C的方程为；
（2）解：由整理得,
设,则,
因为
,
所以MA⊥MB,三角形MAB为直角三角形,
设d为点M到直线的距离,故,
又因为,

,
所以,
设,则,由于,
所以,当,即k=0时,等号成立.
因此,的最大值为32.
11．（2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系中,动点,满足,记点的轨迹为．
（1）请说明是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点,,线段的中点为,直线与交于两点,,请判断与的关系,并证明你的结论．
【解析】（1）设,,则因为,满足,即动点表示以点,为左、右焦点,长轴长为4,焦距为的椭圆,其轨迹的方程为；
（2）可以判断出,
下面进行证明：
设直线的方程为,,,
由方程组,得①,
方程①的判别式为,由,即,解得且．
由①得,,
所以点坐标为,直线方程为,
由方程组,得,,
所以．
又
．
所以.
12．（2022届河南省县级示范性高中高三上学期11月尖子生对抗赛）已知椭圆：（）与过原点的直线相交于,两点,上顶点满足（其中表示直线的概率）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若与直线平行且过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,两点,证明：为定值．
【解析】（1）根据题意,,设,则,
则,
,
所以,
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意知,,直线的斜率存在,且不为0,
设直线为,则直线为,
联立得．
设,,则,,
所以．
联立得,
故,
所以,为定值．
13．（2022届江苏省泰州市高三上学期12月阶段性测试）已知椭圆,短轴长为,离心率为.过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于､两点,的中垂线交轴于点,交直线于点.
（1）求的方程；
（2）求的大小；
（3）证明：､､､四点共圆.
【解析】（1）由已知得,解得,所以椭圆C的方程为：.
（2）由（1）得,所以设直线的方程为,与椭圆C方程联立,
消元得,设,所以 ,得的中点,
所以的中垂线的方程为：,
令,得,则,
所以,
又,
所以.
（3）令的中垂线的方程为：中的,得,
所以,又,
所以MN的中点,,
则点G到直线l的距离为 ,
所以 ,
所以,
故､､､四点共圆.

14．（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点．
（1）若点的坐标为,求的焦点坐标；
（2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值；
（3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值．
【解析】（1）∵椭圆：,点的坐标为,
∴,,
∴的焦点坐标为；
（2）设,又,
由题知,即,
∴,
又,
∴当时,取得最大值为25；当时,取得最小值为；
∴的最大值为5,最小值为.
（3）当时,椭圆：,
设,当直线PQ斜率存在时设其方程为,则
由,得,
∴,
由可知,即,
∴,即,
∴,可得,满足,
∴到直线PQ的距离为为定值；
当直线PQ斜率不存在时,,可得直线方程为,到直线PQ的距离为.
综上,到直线PQ的距离是定值．
15．（2022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考）已知圆：,,为圆上的动点,若线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知为上一点,过作斜率互为相反数且不为0的两条直线,分别交曲线于,,求的取值范围.
【解析】（1）由题知
故.
即
即在以为焦点且长轴为4的椭圆上
则动点的轨迹的方程为：；
（2）
故
即.
设：,
联立
（*）,,
∴ ,,
又
则：
即



若,则过,不符合题意
故,∴
,
故