新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题2 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题2 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析），共28页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

专题2 直线与圆锥曲线的位置关系
一、考情分析
直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题.
二、解题秘籍
(一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质
1.把直线l：与椭圆C：联立,当时直线l与椭圆C有2个交点；
2. 直线l：与双曲线C：联立得,当时直线l与双曲线C有2个交点；当时直线l与双曲线C的左右支各有一个交点；当时直线l与双曲线C的右支有2个交点；
3.直线l：与抛物线C：联立,得,当时直线l与抛物线C有2个交点.
【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.
【解析】（1）由题意知,离心率,所以,
设,两式相减得,所以；
所以直线为,即,所以,椭圆方程为；
（2）设直线为,由得,
则,,,
所以,解得,,
因为l不过D点,则,即
则,化简得,
解得,,
所以或.
【例2】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为,
不妨设,
因为三角形的面积为,所以,
所以,又,所以.
（2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为,
若直线与轴交于点,故可设直线的方程为,
设,,则,
联立,得,
且,
化简得且,
所以,,
因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在,
因为,,三点共线,所以,
即,即,
所以,
因为,所以,
所以,
所以,
化简得,所以经过轴上的定点.
【例3】（2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知抛物线：,直线过点.
(1)若与有且只有一个公共点,求直线的方程；
(2)若与交于,两点,点在线段上,且,求点的轨迹方程.
【解析】（1）当直线斜率不存在时,其方程为,符合题意；
当直线斜率存在时,设直线的方程为,
由,得.
当时,直线符合题意；
当时,令,解得,
∴直线的方程为,即.
综上,直线的方程为,或,或.
（2）设,,,不妨令,
∵直线与抛物线有两个交点,∴,
∴,且,,.
由,得,∴,
∴,∴.
∵,且,∴,且,
∴点的轨迹方程为（,且）.
(二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质
1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次方程,由求解；
2. 直线l：与双曲线C：联立得,当或时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点；
3.当直线l：与抛物线C：联立,得,当或 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点.
【例4】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆：,,是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,点在椭圆外,且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若,点为椭圆上横坐标大于1的一点,过点的直线与椭圆有且仅有一个交点,并与直线,交于M,N两点,为坐标原点,记,的面积分别为,,求的最小值．
【解析】（1）因为点在椭圆上,所以,①
因为点在椭圆外,且,所以,即,②
由①②解得,,
故椭圆的方程为．
（2）设点,,设直线：,
由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知,,
将直线代入方程并化简可得,,
即,
因为直线与椭圆有且仅有一个交点,
所以,即．
直线的方程为：；直线的方程为：,
联立方程得,同理得,
所以,
所以,,
所以
,
令,则,
当且仅当,即时,不等式取等号,
故当时,取得最小值．
【例5】已知双曲线C：的焦距为4,且过点.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点,求实数的值.
【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为和,
根据定义有．
,又,所以,,．
所求双曲线的方程为．
（2）因为双曲线的方程为,所以渐近线方程为；
由,消去整理得．
①当即时,此时直线与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意；
②当即时,由,解得,
此时直线双曲线相切于一个公共点,符合题意．
综上所述：符合题意的的所有取值为,．
【例6】已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程；
(3)过点作直线交抛物线于A、B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程．
【解析】（1）因为顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点,
所以抛物线的焦点在y轴正半轴,设其方程为,
将点代入可得,所以,
所以抛物线的标准方程为,
（2）当直线斜率不存在时,过点的直线与抛物线有一个交点；
当直线斜率存在时,设直线斜率为,直线方程为
由得,
直线与抛物线只有一个交点,所以,
解得,所以直线方程为
综上,过点与抛物线有且只有一个交点的直线方程为和；
（3）设点,直线斜率为
点在抛物线上,所以
所以,即,
所以直线方程为
经检验,直线符合题意.
(三)判断直线与圆锥曲线公共点个数
判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线C：F(x,y) ＝0公共点个数时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y) ＝0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C有2个公共点；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C有1个公共点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C没有公共点.
(2)当a＝0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴重合或平行．
【例7】（2022届浙江省温州市乐清市高三下学期5月仿真）已知分别是椭圆的左、右焦点,点在直线的同侧,且点到直线l的距离分别为．
(1)若椭圆C的方程为,直线l的方程为,求的值,并判断直线与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求所需要满足的条件；
【解析】（1）椭圆C的方程为,则.
又直线,所以,
所以.
联立,消去y可得：.
因为,所以直线与椭圆C有1个公共点.
（2）联立,消去y可得：.
因为直线l与椭圆C有两个公共点,所以,整理化简得：.
又,其中,所以,,
所以.
所以直线l与椭圆C有两个公共点,则.
【例8】如图,F是抛物线的焦点,Q是准线与x轴的交点,斜率为k的直线l经过点Q．

(1)当k取不同数值时,求直线l与抛物线公共点的个数；
(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点,求证：是定值．
(3)在x轴上是否存在这样的定点M,对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点,均能使得为定值,若有,找出满足条件的点M;若没有,请说明理由．
【解析】（1）抛物线的焦点为,,
设,代入并化简得①．
当,直线的方程为,与的交点为原点,直线l与抛物线有个公共点；
当,,
若,即,直线l与抛物线有个公共点；
若,即时,直线l与抛物线有个公共点；
若,即或,直线l与抛物线没有公共点．
（2）由于直线与抛物线有两个交点,由（1）得.
设交点、,
由①得,
,
所以为定值0．
（3）若存在满足条件的点,使得为定值．
则


仅当,即时,为定值．
三、跟踪检测
1．已知,分别是椭圆的左、右焦点,点,在直线的同侧,且点,到直线l的距离分别为,.
(1)若椭圆C的方程为,直线l的方程为,求的值,并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求所需要满足的条件；
(3)结合（1）和（2）,试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件（不需要证明）.
【解析】（1）由题意知：,直线l的方程为,则,；
联立直线与椭圆方程得,,故直线l与椭圆C有1个公共点；
（2）由题意知：,直线l的方程为,点,在直线的同侧,则,
；联立直线与椭圆方程得,
由直线l与椭圆C有两个公共点,可得,即,即,
故,故；
（3）直线l与椭圆C有公共点的充要条件是,证明如下：
由（2）知；
联立直线与椭圆方程得,直线l与椭圆C有公共点,
等价于,即,
即,故,故.
2．已知抛物线的方程为,直线l绕点旋转,讨论直线l与抛物线的公共点个数,并回答下列问题：
（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
【解析】(1)直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种,如图：其中相交时有相交于两个公共点和相交只有一个公共点(图中直线l0),

观察图形知,直线l与抛物线只有一个公共点时,直线l与抛物线相切(图中直线l1,l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行)；
(2)直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,方程为,即,
由消去x得：,
k=0时,y=1,,方程组只有一个解,由图知直线l与抛物线相交,只有一个公共点,直线l的斜率为0；
时,,
或时,方程组有两个相同的实数解,由图知直线l与抛物线相切,只有一个公共点,直线l的斜率分别为；
时,方程组有两个不同的实数解,由图知直线l与抛物线交于两点,直线l的斜率；
时,方程组没有实数解,由图知直线l与抛物线相离,没有公共点,直线l的斜率；
直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-2,显然方程组没有实数解,由图知直线l与抛物线相离,没有公共点,直线l的斜率不存在,
所以抛物线与直线l的方程组成的方程组解的个数与抛物线与直线l公共点的个数相等.
3．（2023届四川、云南部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆的离心率为,其左右焦点分别为,点是椭圆上任意一点,且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点作椭圆的两条切线,满足,求动点的轨迹方程.
【解析】（1）由题知,解得
所以椭圆的方程为
（2）设,设过且斜率存在的直线方程为
联立,得

由,得
设的斜率分别为,则,又,所以
所以,即
当的斜率不存在时,,满足
所以动点的轨迹方程为
4．（2023届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点,的最大面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点,为上两点,且,求四边形面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为.因为,所以,
当为上顶点或下顶点时,的面积最大,
因为的最大面积为,所以,即,
所以,所以,
所以椭圆的方程为.
（2）设,联立消去得,
解得,
所以,所以两点的坐标分别为,
所以.
因为,设四边形的面积为,
所以.
设直线的方程为.
联立消去得,
所以,
即,
,
所以
,
所以当时,,
此时.
所以四边形面积的最大值为.
5．设为双曲线的左､右顶点,直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点,当直线垂直于轴时,为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知,若直线分别交直线于两点,当直线的倾斜角变化时,以为直径的圆是否过定点,若过定点求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由.
【解析】（1）由已知得：,
将代入中,,
当直线垂直于轴时,为等腰直角三角形,
此时,
即,整理得：,
因为,所以,
方程两边同除以得：,解得：或（舍去）,
所以双曲线的离心率为2
（2）因为,所以,解得：,
故,,所以双曲线方程为,
当直线的斜率存在时,
设直线的方程为：,
与双曲线联立得：,
设,
则,,
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点,
所以,解得：,
直线,则,
同理可求得：,
则
,


其中,
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为,半径为,
所以以为直径的圆的方程为：,
整理得：,所以以为直径的圆过定点,,
当直线的斜率不存在时,此时不妨设,
此时直线,点P坐标为,同理可得：,
.以为直径的圆的方程为,点,在此圆上,
综上：以为直径的圆过定点,.
6．（2023届安徽省部分校高三上学期开学摸底）已知为坐标原点,椭圆过点 ,记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ,求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形,求的取值范围．
【解析】（1）设,则,
两式相减可得,,而,
则有,又直线斜率,因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时,设直线,,
由消去y并整理得：,
,,,
因四边形为平行四边形,即,则点,
而,即,
又点P在椭圆上,则,化简得,满足,
于是得,,,
则
,
当直线垂直于x轴时,得点或,若点,点M,N必在直线上,
由得,则,若点,同理可得,
综上,的取值范围为．
7．（2023届浙江省A9协作体高三上学期联考）已知直线与双曲线交于、两个不同的点.
(1)求的取值范围；
(2)若为双曲线的左顶点,点在双曲线的左支上,点在双曲线的右支上,且直线、分别与轴交于、两点,当时,求的值.
【解析】（1）联立方程组消整理得,
依题意可得,解得且.
（2）设、坐标分别为,,,由（1）知,
直线的方程为,
令可得点坐标为,
同理点坐标为,
由,所以,所以,
所以,
整理得,即,
解得（舍去）或,.
8．（2023届河南省驻马店市上蔡县高三上学期月考）已知椭圆C：（）的焦距为,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线交椭圆C于A、B两点,求（O为原点）面积的最大值.
【解析】（1）由①
由椭圆C经过点,得②,
联立①②,解得,,
∴椭圆C的方程是.
（2）由题意可知直线一定存在斜率,
设其方程为,
联立,消去y,得,
则,得,
设,,则,,
∴,
∵,
设（）,则
,
当且仅当,即时等号成立,
此时,符合题意,
此时面积取得最大值.
9．给定椭圆C：,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点F的距离为．
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的相异两点,且轴,求的取值范围；
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点,过点P作两条直线,,使得,与椭圆C都只有一个公共点,且,分别与椭圆的“准圆”交于M,N两点．证明：直线MN过原点O．
【解析】（1）由题意知,,解得,
∴椭圆C的方程为,其“准圆”为；
（2）由题意,设,,,则有,
又A点坐标为,故,,
∴,
又,∴,
∴的取值范围是；
（3）设,则,
当时,,则,其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,∴；
当时,设过且与有一个公共点的直线l的斜率为k,
则l的方程为：,代入椭圆C的方程,
得：,即 ,
由 ,
得： ,将代入上式得
,其中 ,
设,的斜率分别为,,则,分别是上述方程的两个根,∴,
∴．
综上所述,,∴MN是准圆的直径,∴直线MN过原点O；
综上,椭圆方程为,“准圆”为,的取值范围是.
10．设双曲线C：（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别是F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过F2作渐近线的垂线,垂足为P,且△OPF1的面积为．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点（A,B分别在第一、四象限）,且△OAB的面积恒为8,是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C,若存在,求出双曲线C的方程；若不存在,说明理由．
【解析】（1）,双曲线的渐近线方程为,
由双曲线的对称性不妨取渐近线,则点到其的距离为
,
则,
得,
解得,
所以双曲线C的离心率．
（2）由 （1）得渐近线l1：y＝2x,l2：y＝−2x,设双曲线得方程为,
依题意得直线l的斜率不为零,
因此设直线l的方程为,
设直线l交x轴于点C（t,0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
联立 得,同理得．
由△OAB的面积,
得,
即t2＝4|1−4m2|＝4（1−4m2）＞0,
联立
得（4m2−1）y2+8mty+4（t2−a2）＝0,,
因为,所以,直线l与双曲线只有一个公共点当且仅当Δ＝0,
即,
化简得,
将（1）式代入可得,

解得,
因此双曲线的方程为,
因此,存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线,双曲线C的方程为．
11．如图,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．

(1)求的方程；
(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且？证明你的结论．
【解析】（1）设的焦距为,因为的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．所以,从而,
因为点在双曲线上,所以,
所以的方程为：.
因为点在上,所以,
因为,所以,解得,所以,
所以的方程为.
（2）不存在符合题设条件的直线,证明如下：
当直线垂直于轴时,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或,
当时,易知所以,
此时,
当时,同理可得.
当直线不垂直于轴时,设的方程为,
由 可得,当与相交于两点时,
,,即,
设,则,
于是
,
由可得,
因为直线与只有一个公共点,所以,
化简可得,
因此,
于是,
即,所以,
综上所述：,
所以不存在符合题目条件的直线．
12．已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线C过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C只有一个公共点,求实数k的值.
【解析】（1）由题意得,解得
所以双曲线方程为.
（2）由,得,
由题意得,解得.
当,即时,直线l与双曲线C的渐近线平行,直线l与双曲线C只有一个公共点,
所以或.
13．（2022届上海市上海师范大学附属中学高三下学期3月月考）已知为坐标原点,双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形．
(1)求,的方程；
(2)是否存在直线,使得与交于,两点,与只有一个公共点,且？证明你的结论；
(3)椭圆的右顶点为,过椭圆右焦点的直线与交于、两点,关于轴的对称点为,直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．
【解析】（1）根据题意：,,
以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形,边长为
故,,故,代入计算得到,,,
故,.
（2）假设存在直线方程满足条件,
当直线斜率不存在时,或,代入计算得到,验证不成立；
当直线斜率存在时,设直线方程为,则,
即,,
化简得到.
设,,,故,
故,,故,
即,即,
即,化简得到,
方程组无解,假设不成立.
故不存在直线满足条件.
（3）焦点坐标为,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为,
,,则,
,化简得到,,
直线方程为：,
取得到
,
,故是定值为.
14．曲线的右焦点分别为,短袖长为,点在曲线上,直线上,且.

（1）求曲线的标准方程；
（2）试通过计算判断直线与曲线公共点的个数.
（3）若点在都在以线段为直径的圆上,且,试求的取值范围.
【解析】（1）由曲线的右焦点分别为,短袖长为,所以,解得,所以曲线的标准方程为：
（2）由在,
可得,解得,所以,
设,则
又由,则,
即,解得,所以,
所以
若,则,
由,解得,
知道直线与曲线相切,只有一个公共点；
若,同理可知直线与曲线相切,只有一个公共点；
（3）因为,
即,所以
所以,
又,所以．
15．已知直线,,与轴交于点,与轴交于点,与交于点,圆是的外接圆．
（1）判断的形状并求圆面积的最小值；
（2）若,是抛物线与圆的公共点,问：在抛物线上是否存在点是使得是等腰三角形？若存在,求点的个数；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）因为,,所以,所以,所以是直角三角形,对于,令得,即
,对于,令得,即,由,解得,所以,
则外接圆的直径是,所以,
要使外接圆面积最小,则,当且仅当时成立,
所以外接圆面积的最小值为．
（2）由点在抛物线上,所以,解得,所以,
圆过原点,则抛物线与圆的公共点是,,
假设存在点满足条件,则,
①当是底时,中点,中垂线方程：,代入抛物线
得：,,所以存在两个满足条件的点．
②当是底时,中点,则,
即,
设,,当或时,当时,所以在,上单调递增,在单调递减,
因为,,,
所以在有唯一零点,存在一个满足条件的点．
③当是底时,中点,
则,,,,
即,
所以,则或,只有1解．
综上所述：以上零点不重复,共有4个满足条件的点．