江苏省苏州市苏州中学校2023-2024学年九年级上学期数学国庆假期收心卷

九上国庆假期收心卷

一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题目后的括号内．

1．将一元二次方程化成一般形式后，若它的二次项系数是5，则一次项系数是（    ）

A． B．4 C． D．1

2．一元二次方程有一根是，则另一根是（    ）

A． B． C． D．

3．将进行配方变形，下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根  D．没有实数根

5．将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（    ）

A．  B．

C．  D．

6．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（    ）

第6题图

A．1米 B．3米 C．4米 D．米

7．若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）请把答案直接写在题中的横线上．

9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意列出关x的方程为______．

10．二次函数的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______．

11．如图所示是一座抛物线拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，则当水面上升3m时，水面的宽度是______米．

第11题图

12．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角最小可以为______度．

第12题图

13．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，则抛物线与x轴的交点坐标为______．

14．如图，将绕点A逆时针旋转100°，得到，若点在线段BC的延长线上，则的度数为______．

第14题图

15．如图一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O和；将绕旋转180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到，交x轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第11段抛物线上，则m的值为______．

第15题图

16．如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间．①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是______（填序号）

第16题图

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题6分）解下列方程：

（1）   （2）

18．（本题8分）已知二次函数图象的顶点为D，与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C．

（1）请先画出抛物线的大致图象，并直接写出A、B、C三点的坐标

（2）当时，y的取值范围是______（直接写出结果）

19．（本题8分）已知关于x的方程．

（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）若方程有两实数根分别为和，且，求k的值．

20．（本题9分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C的坐标分别为、．

（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标

（2）将绕着原点O顺时针旋转90°得，画出

（3）在x轴上是否存在点P，使的值最小，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．

21．（本题9分）如图，要利用一面墙（墙长为50米）建羊圈，用总长100米的围栏围成三个大小相同的矩形羊圈，

（1）若总面积为400平方米，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

（2）当羊圈的边长AB，BC各为多少米时，总面积S有最大值？最大值是多少？

22．（本题10分）因为疫情的影响，市民出行需要配戴口罩．商场根据市民需要，代理销售一种口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，每周少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．

（1）试确定周销售量y（包）与销售单价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围：

（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式；

（3）当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

23．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ．

（1）点B的坐标为______：

（2）①如图1，当点P在x轴负半轴运动时，求证：；

②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全备用图，并作出判断（不需要说明理由）；

（3）在点P运动的过程中，若是直角三角形，直接写出点P的坐标．

24．（本题12分）已知二次函数．

（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值：

（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．

九上国庆假期收心卷参考答案与试题解析

一．选择题

1．A   2．B   3．C   4．B   5．B   6．C   7．B   8．A

8．解：∵抛物线，

∴该抛物线的对称轴为直线，

∵当且时，都有，

∴当时，，解得：

当时，，此时m无解；

由上可得，m的取值范围为，故选：A．

二．填空题

9．    10．向上，，   11．6   12．60（答案不唯一）

13．或    14．80°    15．2

11．【解答】解：如下图所示，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为：，

∵函数图象过点，∴，得，

∴抛物线的解析式为：，

当，，解得，，

∴水面的宽度是：米，故答案为：6

14．【解答】解：由旋转的性质可知：，，．

∵，，∴．∴．

∴．

故答案为：80．

15．【解答】解：令，则，解得，，∴，

由图可知，抛物线在x轴上方，

相当于抛物线向右平移个单位

∴抛物线的解析式为，

∵在第11段抛物线上，∴．

当时，．

故答案为：2．

16．①④　解：由图知，当时，；故①正确；

由，，得，

当时，，∴，∴，∴，，故②错误；

∵，∴，故④正确；

∵，∴，

又，∴，故③错误．

三．解答题

17．略

18．（1）          （2）

19．【解答】（1）证明：①当时，

∵，

∴方程总有实数根；

②当时，原方程化为，方程的解为．

∴无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）依题意有，，

∵，∴，解得，经检验，符合题意．

故k的值是10

20．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为；

（2）如图所示，即为所求；

（3）如图所示，点P的坐标为．

21．【解答】解：（1）设，则，

∵，∴，

由题意知，，即，解得：，（舍），

∴，，

答：羊圈的边长AB长为20m，BC的长为20m；

（2）设羊圈的面积为，

则，

当时，y有最大值为625．

22．【解答】解：（1）由题意可得，

即周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：；

（2）由题意可得，，

即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：

；

（3）∵的二次项系数，顶点的横坐标为：，

∴当时，w随x的增大而增大，

∵，∴时，w取得最大值，，

即当售价x（元/包）定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3000元．

23．【解答】解：（1）如图1，过点B作轴于点C，

∵为等边三角形，且，∴，，

∴，而，∴，，

∴点B的坐标为；

（2）①∵、均为等边三角形，

∴，，，∴，

在与中，，

∴，∴；

② ①中的结论是否仍然成立

（3）当点P在x轴正半轴上时，

∵，∴将AP绕点A逆时针旋转60°时，点Q在点B上方，∴OQ和AB必相交，

当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

∵，，．

在中，，，∴，

由（2）可知，，∴，

∴此时P的坐标为．

24．【解答】解：（1）把点代入得：，解得：，

∴二次函数的表达式为：．

（2）如图1，对函数，

当时，，当时，，，

∴，，，∴，，，

过点Q作于点N，∴，

设运动时间为t，则：，，

∴，，∴，

∴，

∴当时，面积的最大值为．

（3）①∵二次函数的图象开口向上，

∴当二次函数的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，总有成立（如图2）；

此时，即，解得；

②当二次函数的图象与x轴有2个交点时，

，可得或，

设此时两交点为，，则，，

要使的任意实数x，都有，需，，即，（如图3），

∴且，

∴且，解得，∴此时，

总上所述，对满足的任意实数x，都使得成立，则．