高中第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值授课课件ppt

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知识点　函数最值的定义1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)(如图所示).
由上图可以看出,最大值或者在极大值点(也是导数的零点)取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求
出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点和最小值也是用类似的方法定义.2.函数的最大值和最小值统称为　　　　. 
名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)内的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数 在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值.
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个定义的区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(　　)(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(　　)(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.(　　)
2.你能类比最大值点和最大值的定义方法,给出最小值点和最小值的定义吗?
提示 函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都大于或等于f(x0),函数的最小值可以在区间的内部取得,也可以在区间的端点处取得,要想求函数的最小值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最小的值即为函数的最小值.
探究点一　求函数的最值
角度1.求函数在闭区间上的最值【例1】 求下列函数在相应区间上的最值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];(2)f(x)=2sin x-x,x∈
解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法　求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法
变式训练1[2023四川绵阳江油中学校考阶段练习]函数f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最大值为(　　)
角度2.求函数在开区间或无穷区间内的最值【例2】 求下列函数的最值:(1)f(x)= ;(2)f(x)=(x2-3)ex.
解 (1) ,令f'(x)=0,得x=-1或3,容易验证函数在x=-1处取得极小值,在x=3处取
得极大值,又因为当x=1时y=0,当x0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex =ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x0,解得x>1,令f'(x)e,令f'(x)