初中数学人教版七年级上册1.2.1 有理数达标测试

2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第一章《有理数》

1.3-1.4 有理数的加减乘除

知识点1：倒数

【典例分析01】（2019秋•高新区校级期中）如果xy＝1，那么①；②；③x，y互为倒数；④x，y都不能为零．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：∵xy＝1，

∴x，y都不能为零，④是正确的；

在xy＝1的两边分别除以x、y得x＝，y＝，

∴①，②是正确的；

根据倒数的定义得③是正确的．

故选：D．

【变式训练1-1】（2017秋•启东市校级月考）有以下两个结论：

①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；

②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则（　　）

A．①，②都不对 B．①对，②不对 C．①，②都对 D．①不对，②对

解：①因0的相反数是0，0和0之间没有1个有理数，故错误；

②因1的倒数是1，1和1之间没有有理数，故错误；

故选：A．

【变式训练1-2】（2021秋•泾阳县期末）若两个数的积为﹣1，我们称它们互为负倒数，则0.125的负倒数是　﹣8　．

解：0.125的负倒数为：﹣1÷0.125＝﹣8．

故答案为﹣8．

【变式训练1-3】写出下列各数的倒数：3，﹣1，0.3，﹣，，﹣3．

解：3的倒数是，

﹣1的倒数是﹣1，

0.3＝，的倒数是，

﹣的倒数是﹣，

的倒数是4，

﹣3＝﹣，﹣的倒数是﹣．

知识点2：有理数的加法

【典例分析02】（2019秋•舒兰市期中）计算（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）．

解：（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）

＝（﹣3.14+2.14）+（4.96﹣7.96）

＝﹣1﹣3

＝﹣4．

【变式训练2-1】（2021秋•郏县期中）若|x|＝1，|y|＝3．且x，y异号，则x+y的值为（　　）

A．±2 B．2或﹣4 C．﹣2 D．4或2

解：∵|x|＝1，|y|＝3，

∴x＝±1，y＝±3，

又∵x，y异号，

∴当x＝1，y＝﹣3时，x+y＝﹣2，

当x＝﹣1，y＝3时，x+y＝2，

∴x+y＝±2

故选：A．

【变式训练2-2】（2019秋•通道县期中）已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是正数，则的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

解：∵a+b+c＝0，

∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，

∵a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是正数，

∴a，b，c中有两个负数，一个正数，

设a＜0，b＜0，c＞0，

∴原式＝

＝﹣（）

＝﹣（）

＝﹣（1﹣1﹣1）

＝1．

故选：B．

【变式训练2-3】（2021秋•东莞市校级期中）7箱橘子，标准质量为每箱15千克，每箱与标准质量差值如下（单位：千克，超过的用正数表示，不足的用负数表示）：0.3，﹣0.4，0.25，﹣0.2，﹣0.7，1.1，﹣1，称得总质量与总标准质量相比超过或不足多少千克？7箱橘子共有多少千克？

解：0.3+0.25+1.1﹣0.4﹣0.2﹣0.7﹣1＝﹣0.65（千克），

15×7﹣0.65＝104.35（千克），

答：不足0.65千克，共104.35千克．

【变式训练2-4】（2020秋•饶平县校级月考）综合图形计算：

．

解：．

＝1﹣

＝．

知识点3：有理数的减法

【典例分析03】（2020秋•谯城区校级月考）若|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，求：a﹣b的值．

解：∵|a|＝8，|b|＝5，

∴a＝±8．b＝±5．

又∵a+b＞0，

∴a＝8，b＝5或a＝8，b＝﹣5．

当a＝8，b＝5时，a﹣b＝8﹣5＝3；

当a＝8，b＝﹣5时，a﹣b＝8﹣（﹣5）＝8+5＝13．

∴a﹣b的值为3或13．

【变式训练3-1】．（2014秋•敦煌市校级期中）下列结论错误的是（　　）

A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 

B．a＜b，b＞0，则a﹣b＜0 

C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0 

D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0

解：A、若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0正确，故本选项错误；

B、若a＜b，b＞0，则a﹣b＜0正确，故本选项错误；

C、若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0正确，故本选项错误；

D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0错误，故本选项正确．

故选：D．

【变式训练3-2】（2021秋•集贤县期末）点A，B，C是数轴上的三个点，且BC＝2AB．已知点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，点C表示的数是　11或﹣5　．

解：∵点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，

∴AB＝|﹣1﹣3|＝4；

又∵BC＝2AB，

∴BC＝2×4＝8．

①若C在B的右边，其坐标应为3+8＝11；

②若C在B的左边，其坐标应为3﹣8＝﹣5；

故点C表示的数是11或﹣5．

【变式训练3-3】（2018秋•高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．

（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；

（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；

（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．

解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1

∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，

∴﹣2，﹣4，1的“分差”为

故答案为：

（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4

则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，

∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3

②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1

则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝

∴﹣4，﹣2，1的“分差”为

③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2

则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝

∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5

④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2

则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝

∴1，﹣4，﹣2的“分差”为

⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4

则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝

∴1，﹣2，﹣4的“分差”为

综上所述，这些不同“分差”中的最大值为

故答案为：

（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7

∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6

①a＝6，b＝x，c＝﹣1，

∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝

若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合

若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合

②a＝6，b＝﹣1，c＝x，

∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝

若，得x＝2，＜2，不符合

若，得x＝﹣7，＞2，符合

③a＝x，b＝6，c＝﹣1

∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝

若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合

若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合

综上所述，x的值为﹣7或8．

14．（2018秋•沙坪坝区校级月考）列式并计算：

（1）什么数与﹣的和等于﹣？

（2）﹣1减去﹣与的和，所得的差是多少？

解：（1）这个数＝﹣﹣（﹣）＝﹣+＝﹣；

（2）﹣1﹣（﹣+）＝﹣1+＝﹣．

知识点4：有理数的加减混合运算

【典例分析04】（2021秋•金沙县期末）设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b﹣c的值为（　　）

A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2

解：根据题意知a＝1，b＝﹣1，c＝0，

则a+b﹣c＝1﹣1+0＝0，

故选：A．

【变式训练4-1】（2019秋•通州区期末）下列运算正确的是（　　）

A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3 B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5 

C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11 D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10

解：A、﹣2+（﹣5）＝﹣（2+5）＝﹣7，故本选项不符合题意．

B、（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5，本选项符合题意．

C、（﹣9）﹣（﹣2）＝（﹣9）+2＝﹣（9﹣2）＝﹣7，本选项不符合题意．

D、（+6）+（﹣4）＝+（6﹣4）＝2，本选项不符合题意，

故选：B．

【变式训练4-2】（2021秋•南京期末）小明在计算1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+”），结果算成了﹣17，则原式从左往右数，第 　6　个运算符号写错了．

解：∵1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17＝9，

9＞﹣17，

∴小明不小心把“+”写成“﹣”，

∵9﹣（﹣17）＝26，26÷2＝13，

∴小明将+13写错为﹣13，

故答案为：6．

【变式训练4-3】（2021秋•凌海市期中）计算（﹣1）﹣（﹣9）+（﹣9）﹣（﹣6）的结果是　5　．

解：原式＝﹣1+9﹣9+6＝5，

故答案为：5

【变式训练4-4】（2021秋•盘龙区期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表．

（1）这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？

（2）大米单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花多少钱？

解：（1）﹣2×5﹣1×10+0×3+1×1+2×5+3×6＝9千克，

即这30袋大米共多出9千克；

（2）∵这30袋大米的总质量是：50×30+9＝1509千克，大米单价是每千克5.5元，

∴总费用＝1509×5.5＝8299.5元．

知识点5：有理数的乘法

【典例分析05】（2021秋•郧西县期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①a＜0＜b；②|a|＜|b|；③ab＞0；④b﹣a＞a+b；⑤|a﹣b|+a＝b．其中正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

解：由数轴可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|

①由a＜0＜b，正确；

②由|a|＞|b|可知|a|＜|b|不正确；

③由a，b异号，可知ab＜0，不正确；

④b﹣a＞0，b+a＜0，

∴b﹣a＞b+a，故④正确；

⑤|a﹣b|+a＝b﹣a+a＝b，故⑤正确；

综上，有②④⑤正确．

故选：B．

【变式训练5-1】（2021秋•启东市期末）计算：﹣99×18＝　﹣1799　．

解：原式＝（﹣100+）×18，

＝﹣100×18+×18，

＝﹣1800+1，

＝﹣1799．

故答案为：﹣1799．

【变式训练5-2】（2021秋•东城区期末）对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．

例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．

已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．

（1）点B是点A到点C的 　　倍分点，点C是点B到点A的 　　倍分点；

（2）点B到点C的3倍分点表示的数是 　1或4　；

（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．

解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，

∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．

∵，

∴点B是点A到点C的倍分点，

∵，

∴点C是点B到点A的倍分点．

故答案为：；；

（2）设这点为E，对应的数字为a，则＝3．

当点E在B，C之间时，

∵＝3，

∴，

解得：x＝1．

当点E在C点的右侧时，

∵＝3，

∴＝3，

解得：x＝4．

综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．

故答案为：1或4．

（3）①点D在点B的左侧，

∵＝2，

解得：x＝﹣3．

∴x的最小值为﹣3．

②点D在点C的右侧，

∵，

解得：x＝5，

∴x的最大值为5，

综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤5．

【变式训练5-3】（2021秋•东城区校级期中）（﹣+）×（﹣36）

解：（﹣+）×（﹣36），

＝﹣8+9﹣2，

＝﹣1．

知识点6：有理数的除法

【典例分析06】（2017秋•大兴区期末）计算：﹣×

解：原式＝﹣××＝﹣．

【变式训练6-1】（2021秋•盐湖区校级期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．a﹣b＜0 C． D．a+b＜0

解：由数轴知：a＜0＜b，|a|＜|b|，

所以选项A不正确；

因为a＜0，b＞0，|a|＜|b|，

所以a+b＞0，＜0，故选项C、D不正确；

由于小数减大数的差小于0，大数减小数的差大于0，

因为a＜b，所以a﹣b＜0．故选项B正确．

故选：B．

【变式训练6-2】（2019秋•卫辉市期末）若ab≠0，则的值不可能是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．﹣2

解：当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；

当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；

当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；

当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，

综上，原式的值不可能为1．

故选：B．

【变式训练6-3】（2020秋•金牛区期末）已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为　或　．

解：①当a＞b时，a﹣b＞0，

∴|a﹣b|＝a﹣b，

又∵|a﹣b|＝4a﹣3b，

∴a﹣b＝4a﹣3b，

∴3a＝2b，

∴的值为；

②当a＜b时，a﹣b＜0，

∴|a﹣b|＝﹣a+b，

又∵|a﹣b|＝4a﹣3b，

∴﹣a+b＝4a﹣3b，

∴5a＝4b，

∴的值为；

综上所述，的值为或，

故答案为：或．

【变式训练6-4】（2019秋•桂林期末）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　．

解：如图，利用倒推法可得：

由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，

由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，

由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8

由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，

由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，

由第1次计算后得5，可得原数为10，

由第1次计算后32，可得原数为64，

故答案为：10或64．