2022-2023学年江苏省镇江中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省镇江中学高二下学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省镇江中学高二下学期期末数学试题 一、单选题1．计算的结果是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简，再利用复数的除法化简.【详解】因为，所以.故选：D.2．抛物线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线方程求出的值，从而可求出其焦点坐标.【详解】由于抛物线的方程为，所以，，则所以抛物线的焦点坐标是，故选：A.3．若直线与圆相切，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】由题意可圆心到直线的距离为，所以，故选：C4．已知向量，则平面的一个法向量（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据法向量的定义逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，则，可得，所以可以是平面的一个法向量，故A正确；对于选项B：若，则，可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故B错误；对于选项C：若，则，可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故C错误；对于选项D：若，则，可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故D错误；故选：A.5．设等差数列的前项和为，若，且，则（    ）A．1 B．2 C．2023 D．2024【答案】B【分析】由等差数列的性质求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B6．某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（    ）A．192种 B．120种 C．96种 D．24种【答案】C【分析】根据给定条件，利用排除法、组合应用问题列式计算作答.【详解】从10名同学中随机抽取3名同学有种方法，抽取的人全是男生的有种，全是女生的有种，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（种）.故选：C7．一个轴截面为边长为6的正三角形的圆锥，用一个平行于圆锥底面的平面来截该圆锥，截得一个小圆锥和一个圆台，若截得小圆锥的底面面积等于，则截得的圆台体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的结构特征，结合圆台的体积公式运算求解.【详解】如图，为圆锥的轴截面，为圆锥底面的圆心，则，设截面半径为，则，解得，可知截面直径，可得，所以圆台的高，所以圆台的体积.故选：A.8．若函数与函数有相等的极小值，则实数（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由对勾函数可知：的极小值，对求导，利用导数判断的单调性和极值，运算求解即可.【详解】由对勾函数可知：在时取到极小值，对于，则有：当时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意；当时，，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，解得.故选：B. 二、多选题9．某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据：第年1234567污染指数6.15.24.54.73.83.43.1根据成对数据进行相关分析，并计算得：，线性相关系数，线性回归方程，则下列说法正确的是（    ）A．两个变量正相关B．两个变量负相关C．D．由相关系数判断两个变量线性相关性较强【答案】BCD【分析】由判断AB；将代入判断C；由接近于1判断D.【详解】因为，所以两个变量负相关，故A错误，B正确；将代入中，则，故C正确；因为接近于1，所以由相关系数判断两个变量线性相关性较强，故D正确；故选：BCD10．若随机变量，记为恰好发生次的概率，下列说法正确的有（    ）A．B．C．D．当时，取得最大值【答案】ABD【分析】由结合二项分布判断A；由组合数的性质判断B；根据二项式系数的性质判断C；由二项式系数的性质判断D.【详解】对于A：，，故A正确；对于B：因为，所以，即，故B正确；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：由二项式系数的性质可得最大，即当时，取得最大值，故D正确；故选：ABD11．设是公比为的等比数列的前项和，且成等差数列，则下列说法正确的有（    ）A．B．成等差数列C．成等比数列D．成等差数列【答案】BD【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的定义，结合等比数列通项求出公比的关系，再逐项判断作答.【详解】依题意，，即有，有，而数列是公比为的等比数列，则，又，所以，A错误；由于，因此成等差数列，B正确；显然，由，得，由，得，因此，不成等比数列，C错误；由，得，因此，成等差数列，D正确.故选：BD12．已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（    ）A．B．平面C．平面截正方体的截面面积为D．到平面的距离为【答案】ACD【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，所以，故A正确，,由于，故与不垂直，故与平面不可能垂直，故B错误，分别取的中点，连接,则六边形即为平面截正方体的截面，由于六边形为边长为的正六边形，所以其面积为，故C正确，设平面的法向量为，则，取，则，所以，又所以点到平面的距离为，故D正确，故选：ACD   三、填空题13．某连续型随机变量，若，则          .【答案】2【分析】根据给定条件，利用正态曲线的对称性列式计算作答.【详解】某连续型随机变量，则对应正态曲线的对称轴为，因为，因此，解得，所以.故答案为：214．展开式中常数项为          .【答案】-160【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】由于的展开式中，通项公式为，令，求得，可得展开式的常数项为.故答案为：-160.15．已知双曲线的左､右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线的斜率为，则双曲线的离心率为          .【答案】【分析】由距离公式得出，，进而由等面积法得出，由，结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得，双曲线的一条渐近线方程为，则，记为坐标原点，则，所以，过点作轴的垂线，垂足为，因为因为直线的斜率为，所以则，即，，则整理得，则离心率为.  故答案为：16．《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖臑”.从正方体的8个顶点中选择4个顶点，可组成          个不同的“鳖臑”.【答案】24【分析】先分析顶点处“鳖臑”的个数，然后根据正方体的性质可求出所有“鳖臑”的个数.【详解】在正方体中，取三棱锥，，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以三棱锥的四个面都是直角三角形，所以三棱锥为“鳖臑”，同理可得三棱锥，，都为“鳖臑”，所以顶点处有12个“鳖臑”，所以8个顶点为个，但每个“鳖臑”都重复4次，所以“鳖臑”的个数为24个，故答案为：24 四、解答题17．已知等差数列满足：，正项等比数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前10项和.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由等差的定义结合通项公式的特点得出通项公式，由等比数列通项公式得出；（2）由公式法结合分组求和得出答案.【详解】（1）设的公差为，的公比为，因为，所以，即，因为为等差数列，所以，即.因为，所以，即，解得，或（舍），即.（2）设，则.18．体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，而且每位体检人患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液检查，有以下两种化验方案：方案甲：逐个检查每位体检人的血液；方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.(1)若选择方案甲，设5人中呈阳性患者人数记为，求的分布列及数学期望；(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.（参考数据：）【答案】(1)分布列见解析，期望为0.5(2)305元 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解分布列，由二项分布的期望公式即可求解期望，（2）由方案乙中，检查费用为元，则，因此，即可求得方案乙的平均化验费用．【详解】（1）方案甲中，呈阳性患者人数服从二项分布．所以的分布列如下：012345所以（2）方案乙中，若记化验次数为，则的可能取值为1，6．因为5人都不患病的概率为，所以，，从而，若记方案乙中，检查费用为元，则，从而可知，即方案乙的平均化验费用为305元．19．已知函数.(1)求函数的极值并画出函数的大致图像；(2)求证：.【答案】(1)极小值，无极大值，图象见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用函数求出单调区间，再求出极值，画出图象作答.（2）构造函数，求出函数的最小值即可推理作答.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极小值，无极大值，当时，恒成立，而，函数的大致图象如图：    （2）令函数，，求导得，令，，求导得，则函数在上单调递增，而，即当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，，所以恒成立.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.  (1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由正三角形的性质可得，再利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）在正方形中，，又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因为  是正三角形，是的中点，则，又，，平面，所以平面；（2）取中点为，中点为，连接,建立如图所示的空间直角坐标系，,所以,设平面的法向量为，则，取，则，由（1）知是平面的一条法向量，,设平面与平面所成二面角的平面角为，则    21．如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点.(1)求顶点A的轨迹方程；(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上.【答案】(1)(2)证明见详解 【分析】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的的值，可得答案；（2）根据联立直线与椭圆写出的韦达定理，表示出直线的直线方程，联立整理方程，可得答案.【详解】（1）由，则A的轨迹为以为焦点的椭圆，且，；由，则，，即，故A的轨迹方程为.（2）直线方程可设为，联立可得，消去可得：，显然成立，设，则，即，设，，联立上述两方程，消去可得，，，，，由，则，，解得；综上所述，动点的轨迹方程为直线.【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．22．已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若函数存在不同的极值点，且以为对角线的正方形的四顶点都在函数的图像上，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）把代入函数解析式，可求切点坐标，利用导数求切线斜率，可求函数在点处的切线方程；（2）利用导数求出极值点，得两点坐标，由的中点为原点，为正方形，可求点坐标，代入在函数中，可求出的值.【详解】（1）当时，，，故切点坐标为，，故切点处切线的斜率为，切线方程为，即.（2）函数，定义域为R，，存在不同的极值点，则有，，解得或；，解得，则在和上单调递增，在上单调递减，得是极大值点，是极小值点，则有，的中点为原点，  正方形，过作垂直于轴，过作垂直于轴，垂足分别为，则有，所以，点在函数的图像上，则有，即，化简得，解得.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．