2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期中校际联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期中校际联考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期中校际联考数学试题一、单选题1．已知点则与同方向的单位向量为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.【解析】向量运算及相关概念. 2．已知，则的值为 （    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角差的正弦公式可求得结果.【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，所以，解得，故选：D3．在中，分别是内角所对的边，若，则边（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先根据正弦定理算出，从而得到，继续用正弦定理求.【详解】依题意，由正弦定理：得,解得，故或，经检验均符合题意.当时，则，由正弦定理，得，解得；当时，则，此时为等腰三角形满足.综上，或.故选：D4．已知，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得，分子分母同时除以，代入即可得出答案.【详解】故选：C.5．已知，则与的夹角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由可得，则，即得，故，则，故，由于，故，故选：C.6．在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（    ）A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形C．等边三角形 D．以上结论均不正确【答案】C【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案.【详解】由于，所以为锐角，由余弦定理得，则为锐角.由以及余弦定理得，，由于，所以，即，所以，所以三角形是等边三角形.故选：C7．函数的最大值与最小值的和为（    ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】化简，得，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解.【详解】因为，所以，所以，即，所以当，即时，，当，即时，，所以.故选：B8．如图，梯形顶点在以为直径的半圆上，米，若电热丝由三条线段这三部分组成，在上每米可辐射单位热量，在上每米可辐射2单位热量，当电热丝辐射的总热量最大时，的长度为 （    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆的对称性和余弦定理以及倍角公式化简即可求解.【详解】取中点，连接，连接，根据圆的对称性知，设，，则有，，由余弦定理得同理所以同理电热丝辐射的总热量为，令，所以，即，令，则是关于的二次函数，当电热丝辐射的总热量最大时，，即，此时.故选：B. 二、多选题9．下列等式成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于A，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B，利用辅助角公式即可判断；对于C，利用辅助角公式即可判断；对于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判断.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）A．若，则点是边的中点B．若，则点是边的三等分C．若，则点是边的重心D．若，且，则的面积是面积的【答案】AC【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.【详解】对于A，由，得，即，因此点M是边BC的中点，故A正确；对于B，，，则点在边的延长线上，所以B不正确；对于C，设中点，则,，由重心性质可知C正确；对于D，且’设，所以，可知三点共线，所以的面积是面积的，故D不正确.故选：AC.11．下列说法正确的有（    ）A．，，使 B．，，有C．，，使 D．，，有【答案】ABC【分析】根据取特值法，易知A， C正确，D错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知B正确．【详解】取，易知A正确D错误；取，，C正确；因为，故B正确，故选：ABC．【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题．12．在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（    ）A．若是高，则 B．若是中线，则C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点【答案】BC【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长.【详解】由题，，所以，若CD是高，，得，故A错误；若CD是中线，，所以，所以，故B正确；若CD是角平分线，则，即，得，故C正确；若D为线段AB的三等分点，或，，或，所以或，故D错误.故选：BC.【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路. 三、填空题13．已知，，则_________.【答案】【分析】利用平面向量的坐标运算法则计算即可.【详解】解：已知，，则，，所以，故答案为：.14．设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B．则a的值为_______【答案】2【详解】在中， 可得 整理得，∴由余弦定理可得 ，故答案为2.15．已知，在直角三角形中，，，则实数的值是________.【答案】或【分析】先求出.然后分为为直角，为直角，为直角，三种情况，分别根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出的值，舍去不满足的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，.若为直角，则有，解得，舍去；若为直角，则有，解得；若为直角，则有，解得（舍去负值），所以.综上所述，或.故答案为：或. 四、双空题16．已知，且是方程的两根，则的值是___________；的值是________.【答案】     /     /【分析】根据韦达定理，两角和的正切公式、两角差的余弦公式化简求解即可.【详解】由题意，，，又，故，故，.由，，两式联立可得，，，所以.故答案为：； 五、解答题17．已知都是锐角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．【详解】（1）解：因为与都是锐角，所以，，又，所以，，所以，，所以；（2）因为，，，所以，解得：(负值舍去).18．从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且.(1)求角的大小；(2)若，且 ，求的值及的面积.【答案】(1)(2) 【分析】(1) 由已知条件结合正弦定理可得, 再利用余弦定理可求出角 ；(2) 若选①, 则可求出角, 再利用正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先根据正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）因为 ,由正弦定理得 , 即 ,得 ,又 ,所以 .（2）选择①时: , 故, 根据正弦定理 , 故 , 故 .若选②:由 及正弦定理 ,得 , 解得 ,所以 .根据正弦定理 , 得 ,故 .19．如图，在矩形中，点在边上，，且.M是线段上一动点.  (1)M是线段的中点，求的值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)30(2) 【分析】（1）根据向量的线性运算结合数量积的运算律，即可求得答案.（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，，利用，求得m的值，即可求得的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】（1）因为，故，所以,又在矩形中，,故.（2）如图，以A为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，    则，设,则，故由得，，即，由于M点在上，设，则，则，即，故，所以，，所以，当且仅当时，取得最小值.20．已知向量，，.(1)求的值；(2)若，，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出，求出，结合已知即可得出答案；（2）先求出，然后根据正余弦关系求得，，进而根据两角的正余弦公式，求得以及的值.最后根据两角差的正弦公式，展开代入计算，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，所以.（2）因为，，所以.因为，，所以，，所以，，所以.21．在中，分别是内角所对的边，若.(1)求；(2)若，且的面积，求的值；(3)若，且，求的周长.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由面积公式及余弦定理化简，解得，由数量积公式计算即可得解；（3）根据三角恒等变换求出，再由两角差的余弦公式求出，再由余弦定理求即可得解.【详解】（1），，.（2）由，可得，，，，，解得，，.（3），，，，由知，,，即，由余弦定理，，解得，，即的周长为.22．如图，四边形中，，三角形为正三角形.(1)当时，设，求的值；(2)设，则当为多少时.①四边形的面积最大，最大值是多少？②线段的长最大，最大值是多少？【答案】(1)(2)①；② 3 【分析】（1）过点作交于点,在中，，，，可求出的值；（2）在中，由余弦定理可得，①表示出面积即可求得四边形的面积最大，②利用正弦定理、余弦定理，三角恒等变换求最值.【详解】（1）在中，，，，，，过点作交于点,在中，，，，.（2）在中，由余弦定理可得，，，，因为，，此时.②由正弦定理得，即，所以，所以 ，，由余弦定理得，因为，所以当时，取得最大值3.