2024届江苏省连云港市灌南县第二中学高三上学期阶段性测试一数学试题含答案

2024届江苏省连云港市灌南县第二中学高三上学期阶段性测试一数学试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据真数大于0列不等式，求解可得.

【详解】由题知，，解得或，

所以函数的定义域为.

故选：C

2．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的补集、交集运算即可.

【详解】因为集合，集合，

所以，则.

故选：C.

3．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.

【详解】若，，则，，则A、B错误；

若，，则，则C错误；

，，又，，则D正确.

故选：D.

4．已知函数，则（    ）

A．3 B．9 C．19 D．33

【答案】B

【分析】根据题中刚给出的解析式，直接代入求解即可.

【详解】由题中函数的解析式可得：

由选：B

5．己知，则的最小值为（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】A

【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.

【详解】，，

，

，

，

，

当且仅当，即，时等号成立，

故选：A

6．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得不等式对任意实数均成立，分和，结合二次函数的性质求解即可.

【详解】解：因为不等式对任意实数均成立，

 即不等式对任意实数均成立，

当，即时，有恒成立，满足题意；

当，即时，

则有，

解得，

综上所述，实数的取值范围为.

故选：B.

7．若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案.

【详解】当时,即,时成立;

当时,满足,解得;

综上所述:.

故选:C.

8．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.

【详解】令

由题可知：

则，即

故选：C

二、多选题

9．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】分两种情况进行讨论，当时，对恒成立；当时，对恒成立可通过一元二次不等式进行求解，即.求出的取值范围后便可逐个选项进行判断.

【详解】当时，对恒成立，符合题意；

当时，，解得，综上，实数的取值范围是.

所以“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故A正确；

“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件，故B正确；

“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件，故C错误；

“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件，故D错误.

故选：AB.

10．已知实数，满足，，则可能取的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】令，根据，求得的值，结合不等式的性质，即可求解.

【详解】由题意，实数，满足，，

令，即，

可得，解得，所以，

则，，

所以.

故选：BC.

11．下列命题中正确的是（    ）

A．命题：“，”的否定是“，”

B．函数（且）恒过定点

C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为

D．若函数，则

【答案】BCD

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D.

【详解】A选项，“”的否定是“”，A错误；

B选项，且，当时，，故函数（且）恒过定点，B正确；

C选项，由得：，故函数的定义域为，C正确；

D选项，，且，

故，D正确.

故选：BCD.

12．下列命题中的真命题有（    ）

A．当x＞1时，的最小值是3

B．的最小值是2

C．当0＜x＜10时，的最大值是5

D．若正数x，y为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y的最大值为3

【答案】AC

【分析】对于A、C利用基本不等式分析判断，对于B由对勾函数的性质分析判断，

对于D根据基本不等式的变形分析判断.

【详解】对于选项A因为，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；

对于选项B因为，

等号成立的条件是，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为2，令，则在上单调递增，所以时取得最小值，故选项B错误；

对于选项C因为，则

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；

对于选项D由得，故，当且仅当时取等号，故选项D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知，，且，则的最小值为      .

【答案】1

【分析】构造，展开，利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

即，

因为，，所以，

，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为1.

故答案为：1

14．已知，则的取值范围为           ．

【答案】

【分析】利用不等式的性质计算即可.

【详解】由题意可得，又，由不等式的同向可加性可得.

故答案为：

15．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是            ．

【答案】(-2,2)

【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可.

【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得.

故答案为：.

16．若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为      ．

【答案】

【分析】首先把不等式恒成立转化为求的最小值，再解关于的不等式即可．

【详解】两个正实数，满足，，

，

当且仅当，即，时等号成立，，

若不等式恒成立，则应，解得，，

故答案为：．

四、解答题

17．已知二次函数的图象过点，不等式的解集为．

(1)求的解析式；

(2)若函数图象的顶点在函数图象上，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)详见解析

【分析】（1）首先设二次函数的两根式，再代入点，即可求解；

（2）首先求二次函数的顶点坐标，代入函数后，整理不等式，讨论后，求不等式的解集.

【详解】（1）因为的解集为，

所以设，因为，所以，

所以；

（2）由（1）可知，

函数的顶点在的图象上，

则，则，，

所以，

所以，

整理为：，即，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为,

当且时，不等式的解集为.

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的中点.

(1)求证：PB平面AEC；

(2)设PA=AB=1，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）根据线线平行即可得线面平行，

（2）利用线面垂直得线线垂直，进而得平面夹角的平面角，即可利用边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量夹角即可求解.

【详解】（1）如图，连接交于点，连接，则为的中点，

为的中点，

又平面平面，

平面.

（2）方法一：由于, PA⊥平面ABCD，平面ABCD,所以,

平面,所以平面,

平面,所以,

由于为中点，所以,

因此即为平面AEC与平面AED所成角的平面角或其补角，

由于,

所以,

故平面AEC与平面AED所成角的余弦值为.

解法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

平面的法向量为，

设平面的法向量为，则即

令，则，

，

设平面与平面的夹角为，

则，

故平面与平面夹角的余弦值为.

19．已知的内角的对边分别为，且．

(1)求；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合辅助角公式以及三角函数的性质就可求解，

（2）由余弦定理以及不等式可得的最大值，即可由面积公式求解.

【详解】（1）由正弦定理可得所以

进而可得，由于,所以

（2）由余弦定理可得，

由于，所以，当且仅当等号成立，

故的最大值为12，故面积为，

故面积的最大值为

20．已知数列的前项和为，且.

(1)求，并求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)；；

(2)

【分析】（1）将、代入求，根据关系及递推式可得，再次由关系及等比数列定义写出通项公式；

（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求结果.

【详解】（1）由题意①，

当时；当时；

当时，②，

①－②得，

当时，也适合上式，所以，所以时，

两式相减得，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）由（1）得，

③，

④，

③－④得：，

所以 .

21．已知函数，，．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)当时，讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，点斜式即可得切线方程；

（2）求出函数导数，对分类讨论即可得出函数单调性.

【详解】（1）定义域为，，

所以切线斜率为，又，

所以切线方程为，即．

（2），

则定义域为，，

①当时，有恒成立，在上单调递增，

②当时，由，解得，由，解得，

故函数在上递增，在上递减．

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上递增，在上递减．

22．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用给定的渐近线方程设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.

（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示，求解作答.

【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，

即，又双曲线的右焦点，则，解得，

所以双曲线的标准方程为.

（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，

由消去整理得，显然，，

而，则

，

化简得，即，而，解得，

所以直线的方程为，即.

【点睛】思路点睛：如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.