三年（2021-2023）高考数学真题专项03导数及其应用（选择题、填空题）（理）

  专题03 导数及其应用（选择题、填空题）（理）

知识点目录

知识点1：切线问题

知识点2：单调性、极最值问题

知识点3：比较大小问题

近三年高考真题

知识点1：切线问题

1．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】法一：函数是增函数，恒成立，

函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，

如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．

点在轴或下方时，只有一条切线．

如果在曲线上，只有一条切线；

在曲线上侧，没有切线；

由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．

故选：．

法二：设过点的切线横坐标为，

则切线方程为，可得，

设，可得，，，是增函数，

，，是减函数，

因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．

故选：．

【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．

2．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是           ．

【答案】，，．

【解析】，设切点坐标为，，

切线的斜率，

切线方程为，

又切线过原点，，

整理得：，

切线存在两条，方程有两个不等实根，

△，解得或，

即的取值范围是，，，

故答案为：，，．

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．

3．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　          　．

【答案】，．

【解析】当时，，设切点坐标为，，

，切线的斜率，

切线方程为，

又切线过原点，，

，

切线方程为，即，

当时，，与的图像关于轴对称，

切线方程也关于轴对称，

切线方程为，

综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．

4．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是           ．

【解析】当时，，导数为，

可得在点，处的斜率为，

切线的方程为，

令，可得，即，

当时，，导数为，

可得在点，处的斜率为，

令，可得，即，

由的图象在，处的切线相互垂直，可得，

即为，，，

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

5．（2021•甲卷（理））曲线在点处的切线方程为          ．

【答案】．

【解析】因为，在曲线上，

所以，

所以，

则曲线在点处的切线方程为：

，即．

故答案为：．

知识点2：单调性、极最值问题

6．（2022•乙卷（理））已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是           ．

【答案】．

【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，

对其再求导可得：，

当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，

则在单调递减，，单调递增，

此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；

当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，

则在单调递增，，单调递减，且，

此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，

故仅需满足，

即：，

解得：，又因为，故

综上所述：的取值范围是．

7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】对函数求导可得，，

依题意，在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则，

易知当时，，

则函数在上单调递减，

则．

故选：．

8．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】函数定义域为，

且，

由题意，方程即有两个正根，设为，，

则有，，△，

，，

，即．

故选：．

【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题．

9．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则　　

A．有两个极值点 

B．有三个零点 

C．点是曲线的对称中心 

D．直线是曲线的切线

【答案】

【解析】，令，解得或，令，解得，

在上单调递增，在上单调递减，且，

有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；

又，则关于点对称，故选项正确；

假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，

显然和均不在曲线上，故选项错误．

故选：．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．

10．（2023•乙卷（理））设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 　　．

【答案】的取值范围是，．

【解析】函数在上单调递增，

在上恒成立，

即，化简可得在上恒成立，

而在上，

故有，由，化简可得，

即，，

解答，

故的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．

知识点3：比较大小问题

11．（2021•乙卷）设，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】，，

，

令，，

令，则

，

，

，

在上单调递增，

（1），

，

，

同理令，

再令，则

，

，

，

在上单调递减，

（1），

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．

12．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】构造函数，，

则，，

当时，，

时，，单调递减；

时，，单调递增，

在处取最小值（1），

，且，

，，；

，，

，；

设，

则，

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

，当时，，

当时，，单调递增，

，，，

．

故选：．

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

13．（2021•天津）设，，，则三者大小关系为　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】，，

，，

，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题．

14．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】，，

．

故选：．

【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．