高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质学案

函数奇偶性讲义（含解析答案）

知识点梳理

一 奇偶性的定义

（1） 一般地，如果对于函数定义域内任意一个，都有= ，则函数；

（2） 一般地，如果对于函数定义域内任意一个，都有= ，则函数；

对于奇偶性的理解

（1） 函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的（整体性质）；

（2） 函数的奇偶性的前提条件是定义域必须关于原点对称；

（3） 定义域关于原点对称的奇函数，则=0；

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数一定是=0(定义域关于原点对称)

例题1 下列说法正确的是（     ）

1. 偶函数的图像一定与轴相交。
2. 若奇函数 在=0；
3. 奇函数 的图像一定过原点
4. 图像原点的奇函数必是单调函数

例题2 奇函数 （为奇函数,则必有（    ）

A.

C. <            D >

二 奇偶函数的图像特征

（1） 奇函数的图像关于原点对称

（2） 偶函数的图像关于轴对称

三 奇偶性和单调性的关系

    奇函数在两个对称区间上的单调性相同；偶函数在两个对称区间上的单调性相反

题型一  奇偶性的判断

例题 判断下列函数的奇偶性

（1）    =0

（2）    =2

（3）    =

（4）    =

（5）   

（6）   

（7）   

（8）   

（1）既是奇函数又是偶函数（2）偶函数（3）奇函数（4）奇函数（5）既是奇函数又是偶函数（6）既不是奇函数又不是偶函数(7)偶函数（8）奇函数

题型二 利用奇偶性求解析式

例  已知是定义在R上的奇函数,当+5,求函数的解析式

解：当时，，+5= +5,

       又因为是定义在R上的奇函数所以

        所以= +5,

所以= 5

由是定义在R上的奇函数可知=0

综上所述函数的解析式为

例题 已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，求的解析式

解：由得=

       又分别是定义在R上的偶函数和奇函数

       所以= ，=

        所以=

       联立

      可得

题型三 奇偶性的应用

例题    已知奇函数 在(0,单调递减,且则不等式的解集为____________

解:因为奇函数 在(0,单调递减,且，所以奇函数 在(-,且

所以当或 当或

当时，不等式等价于，

所以或,解得

当时，不等式等价于，

所以或,解得0<

综上不等式的解集为

例题二  

已知是定义在R上的偶函数，当时单调递增,比较

解:因为是定义在R上的偶函数，所以

又2<3< 时单调递增，

练习

一 选择题

1.若函数则下列函数为奇函数的是(      )

A．B．

C．D．

2. 若奇函数 在区间[3,6]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为7,最小值为则的值为（      ）

A.13      B. 13      C.5    D. 5

3.已知函数 为偶函数,则下列关系一定成立的是(　)

A. =       B. =      

C. =    D. =

４已知是奇函数,

则的值（     ）

1. 随的取值而变化
2. 只与的取值有关
3. 与和的取值都有关
4. 为0

5.已知定义域为R的函数在区间[2,+上单调递减，

且是奇函数,则的大小关系是(     )

A.       B.

C.       D.

6. 已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则下列结论正确的是（     ）

A.   是偶函数  

B．是奇函数

C．  是奇函数  

D．  是奇函数  

7.已知设函数为为则的值可能为（     ）

A.4和3      B.3和1      C.5和2    7和4

8.若则满足的实数的取值范围是(   )

A.(       B. .(  

C.       D.  

9.(多选题)已知指不超过的最大整数)，下列说法正确的是(    )

A.

B. 为增函数

C．为奇函数

D.

二．填空题

1.已知定义在[的奇函数

2.已知 是定义在R上的奇函数，且当若

3.设是偶函数，当则使的的取值范围是________

4.已知定义在R上的偶函数 在(0,单调递增,且则不等式的解集为____________

二解答题

1. 已知函数

(1)           写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性;

(2)           用单调性定义证明在区间（1，1）上单调递增；

(3)           若函数的定义域为（1，1），解不等式

2. 定义在R上的奇函数 对于任意

(1)           若试比较的大小关系；

(2)           若，求实数的取值范围.

答案

选择题

1.A    2.B   3.B    4.D   5.D  6.C  7.B  8.C  9.AD

填空题

1. 8

2. 11

3.

4.

解答题

1（1）定义域为R，奇函数（2）略（3）(0,

2(1)

(2)