培优专题18 分式方程应用题的常见类型-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

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专题18 分式方程应用题的常见类型


◎类型一：工程问题
1．（2022·四川成都·八年级期末）某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得工效提升了30%后，每小时加工（1+30%）x个零件，再根据题意可得等量关系：采用新工艺前加工1300个零件所用时间-采用新工艺后加工1300个零件所用时间=10，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，
由题意得：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
2．（2022·浙江湖州·七年级期末）某帐篷生产企业承接生产7000顶帐篷的任务，原计划每天生产x顶，但后因帐篷急需，该企业加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产数量提高到原计划的1.4倍，结果提前4天完成任务．根据题意，下面所列方程正确的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据题意直接列出方程选择即可．
【详解】设原计划每天生产x顶，则实际每天生产数量为1.4x顶，
根据题意有：．
故选D．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
3．（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务．如果设建筑公司实际每天修x米，那么可得方程是________．
【答案】
【分析】设实际每天修x米，则原计划每天修（x−10）米，根据实际比原计划提前2天完成了任务，列出方程即可．
【详解】解：设建筑公司实际每天修x米，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的等量关系为原计划用的天数－实际用的天数＝2．
4．（2022·江苏泰州·八年级期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x棵，根据题意列出方程________．
【答案】
【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为1.5x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．
【详解】解：根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程，根据题干信息找到等量关系列出分式方程是解题的关键．
5．（2022·河南信阳·八年级期末）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．
15.3分式方程
例：有甲乙两个工程队，甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，乙队每天比甲队多修40m，求甲队每天修路的长度小明：               小亮：

根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明同学所列方程中x表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；小亮同学所列方程中y表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
【答案】(1)甲队每天修路的米数；甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等；甲队修路800m所用时间；乙队每天比甲队多修40m
(2)甲队每天修路为80m

【分析】（1）设甲队每天修的路为x米，则甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，设甲队修路800m所用时间为y天；乙队每天比甲队多修40m，以此数量关系列出两个分式方程；
（2）解出分式方程即可．
（1）x表示甲队每天修路的米数；等量关系是：甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等y表示甲队修路800m所用时间；等量关系是：乙队每天比甲队多修40m
（2）解：若小明设甲队每天修xm，则：解这个分式方程经检验，是原分式方程的根答：甲队每天修路为80m．设甲队修路800m所用时间为y天，，解得：y＝10，经检验，是原分式方程的根，（m），答：甲队每天修路为80m．
【点睛】本题考查分式方程，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键．
6．（2022·福建·莆田二中八年级期末）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
【答案】甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米
【分析】可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
【详解】解：设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根据题意，可列方程：，
解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，
答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．

◎类型二：行程问题
（1）基本数量关系：路程=速度×时间
（2）常见应用题中的等量关系：
①－＝时间差
②顺水速度=船的速度+水速 逆水速度=船的速度-水速
③一段路程原计划按甲速度行驶完，但行驶途中速度变为乙速度，则：＝原计划时间，
甲速度行驶路程＋乙速度行驶路程＝全部路程，
－－＝时间差
7．（2022·浙江金华·七年级期末）某校组织七年级同学乘坐大巴到金华万福塔开展社会实践活动．该塔距离学校5千米．1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.5倍，求2号车的平均速度．设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为 （    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设1号车的平均速度为xkm/h，则2号车的平均速度为2xkm/h，根据“1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达”列出分式方程即可求解．
【详解】解：设1号车的平均速度为xkm/h，则2号车的平均速度为2xkm/h，根据题意得，，
故选C．
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键，此题注意将时间转化单位．
8．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．﹣＝B．﹣＝C．﹣＝30 D．﹣＝30
【答案】A
【分析】设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，根据基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可．
【详解】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，
根据题意可得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，详解本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
9．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）斑马线前“礼让行人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段“A﹣B﹣C”横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用20秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.5倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为____．

【答案】
【分析】设小敏通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是米/秒，根据题意建立分式方程即可求解．
【详解】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是米/秒，根据题意得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10．（2022·浙江浙江·二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．设自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为________．
【答案】
【分析】设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
11．（2022·辽宁沈阳·一模）小明家距学校980m．
(1)若他从家跑步上学，路上时间不超过490s，请直接写出小明跑步的平均速度至少为______m/s．
(2)若他从家出发，先步行了350m后，发现上学要迟到了，因此换骑上了共享单车，达到学校时，全程共花了480s．已知小明骑共享单车的平均速度是步行平均速度的3倍，求小明骑共享单车的平均速度是多少？（转换出行方式时，所需时间忽略不计，假设家到学校随时都有共享单车）．
【答案】(1)
(2)小明骑共享单车的平均速度是

【分析】（1）根据题中信息，利用速度=路程时间代值求解即可；
（2）根据解实际应用题的步骤“设、列、解、答”，找等量关系列方程求解即可．
(1)
解：根据题意可知小明跑步的平均速度至少为，
故答案为；
(2)
解：设小明步行的平均速度是，则小明骑共享单车的平均速度是，根据题意得：
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
，
答：小明骑共享单车的平均速度是．
【点睛】本题考查实际运用题的求解，熟练掌握解实际应用题的步骤“设、列、解、答”，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．
12．（2022·山东潍坊·八年级期末）甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．
【答案】列车甲从北京到上海运行的时间为4.5小时．
【分析】根据速度关系列方程，解分式方程求答．
【详解】解：设列车甲从北京到上海运行的时间为小时，则列车乙从北京到上海运行的时间为小时，
依题意得：，
约分：，
化一次方程：3（x＋1.5）=4x，
解得：，
经检验符合题意.
答：列车甲从北京到上海运行的时间为4.5小时．
【点睛】此题考查分式方程的解法，掌握分式方程化一次方程式解题的关键．

◎类型三：打折销售问题
总售价=单价×销售量

总利润=单价利润×销售量=总售价-总成本





利润=成本×利润率=售价-成本价（进价）

售价=成本×(1+利润率)

=标价×打折数(不打折时，售价=标价)

=成本价+利润

=成本价×(1+利润率)

标价=成本价×(1+提高成数)

成本价=售价-利润
13．（2022·安徽合肥·七年级期末）母亲节前夕，某花店购进若干束花，很快售完，接着又在原总进价的基础上增加12.5%购进第二批花．已知第二批所购花束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少8元，设第一批花束每束的进价为x元，依据题意可得方程（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设第一批花每束的进价为x元，则第二批花每束的进价为（x-8）元，根据数量=总价÷单价结合第二批所购花的数量是第一批所购花的数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设第一批花束每束的进价为x元，依题意得：
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．关键是根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5列方程．
14．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元，我们设乙图书每本价格为x元，则可得方程（　　）
A．＝4B．＝24C．＝24 D．＝24
【答案】A
【分析】设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，根据用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本列出分式方程即可．
【详解】解：设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：=24．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，正确理解等量关系是解答本题的关键．
15．（2022·贵州铜仁·八年级期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？设乙种消毒液零售价元/桶，则可立方程为：________．
【答案】
【分析】设乙种消毒液零售价元/桶，则甲种消毒液零售价元/桶，然后根据用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液列出方程即可．
【详解】解：设乙种消毒液零售价元/桶，则甲种消毒液零售价元/桶，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
16．（2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级阶段练习）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下200件按7折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利______元．
【答案】
【分析】设第一批购进这种衬衫件，则第二批购进这种衬衫件，利用单价＝总价÷数量，结合第二批购进的单价比第一批贵了5元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值，再利用总利润＝销售单价×销售数量－进货总价，即可求出结论．
【详解】解：设第一批购进这种衬衫件，则第二批购进这种衬衫件，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴


（元）
∴在这两笔生意中，商厦共盈利元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级期中）购买甲、乙两种物品，已知乙种物品的单价比甲种物品的单价贵10元，用480元购买乙种物品的数量与用360元购买甲种物品的数量相同，求甲、乙两种物品的单价各是多少元？
【答案】甲种物品的单价是30元，乙种物品的单价是40元
【分析】先设甲种物品的单价是x元，得出乙种物品的单价是（x+10）元，再利用用480元购买乙种物品的数量与用360元购买甲种物品的数量相同列方程求解即可．
【详解】解设：甲种物品的单价是x元，则乙种物品的单价是（x+10）元．
，
解得：x=30．
经检验，x=30是原方程的根，符合题意．
乙种物品的单价是30+10=40元．
答：甲种物品的单价是30元，乙种物品的单价是40元．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意设未知数列方程是解题的关键．
18．（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期末）列方程解应用题：
某商店用2000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了6600元．
(1)请求出第一批每只书包的进价；
(2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包；
(3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【答案】(1)20元
(2)第一批购进100只，第二批购进300只
(3)3400元

【分析】（1）设第一批书包的单价为x元，然后可得到第二批书包的单价，最后依据第二所购书包的数量是第一批购进数量的3倍列方程求解即可；
（2）依据书包的数量=总价÷单价求解即可；
（3）先求得全部卖出后的总售价，然后用总售价-总进价可求得获得的利润．
（1）
解：设第一批书包的单价为x元．
根据题意得：，
解得：x=20．
经检验：x=20是分式方程的解．
答：第一批每只书包的进价是20元．
（2）
第一批进货的数量=2000÷20=100个；
第二批的进货的数量=3×100=300个．
（3）
30×（100+300）-2000-6600=3400元．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，根据第二所购书包的数量是第一批购进数量的3倍列出关于x的方程是解题的关键．

◎类型四：方案选择问题
19．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（　　　）
A．﹣=6B．﹣=6C．﹣=6 D．﹣=6
【答案】B
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】由题意可得：﹣=6，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
20．（2013·山东泰安·九年级期末）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意得
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由题意分析知，平均路线2的车速比线路一提高80％，故线路2是=，则有，线路一的时间=，=
故，故选A
考点：代数式的应用
点评：代数式的分析，此类试题通过设未知数找出等式的中间项，进而列出方程式求解
21．（2020·黑龙江哈尔滨·二模）为了配合新型冠状病毒的防控工作，某社区欲购进一批酒精对社区进行消毒，现有 A、B 两种酒精可供选择，B 种酒精比 A 种酒精每瓶贵 2 元，用 600 元购买 A 种酒精和用 800 元购买B 种酒精的数量相同，现要求出A、B 两种酒精每瓶的价格.设A 种酒精每瓶的价格为 x 元， 则可列方程为__________．
【答案】
【分析】设A 种酒精每瓶的价格为 x 元，根据题意找到等量关系即可列出分式方程，故可求解．
【详解】设A 种酒精每瓶的价格为 x 元，根据题意得，
故答案为；．
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．
22．（2019·浙江温州·中考模拟）某校组织1080名学生去外地参观，现有A、B两种不同型号的客车可供选择．每辆B型客车的载客量比每辆A型客车多坐15人，若只选择B型客车比只选择A型客车少租12辆（每辆客车均坐满）．设B型客车每辆坐x人，则列方程为_____．
【答案】
【分析】根据题意:A型车的辆数-12=B型车的辆数，可以列出相应的分式方程
【详解】解：由题意可得，，
故答案为
【点睛】此题主要考查分式方程的应用
23．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．
(1)甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？
(2)公司制定的方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师进行技术指导，并担负每天25元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】(1)甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件
(2)甲工厂单独完成需6300元，乙工厂单独完成需5800元，甲乙两个厂家合作完成需要5400元，所以选择甲乙两个厂家合作完成

【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20， 由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用， 比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
（1）
解：设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
则：
解得：x＝16
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品；
（2）
方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天，
需要的总费用为：60×（80+25）＝6300 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+25）＝5800元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+25）＝5400元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
24．（2022·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．
(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？
(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？
【答案】(1)甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
(2)
(3)有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．

【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20y=70，根据x与y都是正整数，从而可求解．
（1）
解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集2x人，
依题意得：，
解得x=2，
2×2=4人，
经检验：x=2是方程的解且符合题意，
答：甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
（2）
解：依题意得：，
解得；
（3）
解：设10人试管有x个，20人试管有y个，依题意得：
10x+20y=70，即x=7-2y，
则有：或或或，
有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．