第07讲 全称量词命题与存在量词命题-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第07讲 全称量词命题与存在量词命题

1．理解全称量词与存在量词的意义．　
2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别．　
3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别．

知识点一 全称量词命题与存在量词命题
1． 全称量词与全称量词命题
全称量词
“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词
符号

全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
∀x∈M，p(x)
2．存在量词与存在量词命题
存在量词
“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词
符号

存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
∃x∈M，p(x)

知识点二 全称量词命题和存在量词命题的否定
p
¬p
结论
全称量词命题：∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题：∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题

1．要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬p(x)”成立．
2．要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．


知识点三 存在(全称)量词命题真假的应用
1．直接判定命题的真假
命题
判定为真
判定为假
存在量词命题
找到一个特例
严格证明
全称量词命题
严格证明
找到一个反例
2．利用命题p和¬p的对立关系(真假性相反)判定．

考点一：全称量词命题与存在量词命题的判断
例1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．

【总结】
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路

[注意]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
变式 (多选)下列语句是存在量词命题的是(　　)
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数
D．存在x∈R，2x＋1是奇数

考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假．
(1)∃x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)∀x∈N，x2＞0.

【总结】
全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可；
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
变式 (多选)下列结论中正确的是(　　)
A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题

考点三：全称量词命题与存在量词命题的否定
例3 (1)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

【总结】
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论；
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

变式 设x∈Z，集合A为偶数集，命题“∀x∈Z，2x∈A”的否定为(　　)
A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A
C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A

考点四：存在(全称)量词命题真假的应用
例4 已知命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．

【总结】
已知全称(存在)量词命题的真假求参数的解题思路
(1)已知全称量词命题的真假求参问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现 “恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；
(2)已知存在量词命题的真假求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决此类问题时，应尽量分离参数．
变式 已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________________．


1．下列结论正确的个数是(　　)
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定为“∀x∈R，x2＋4x＋4＞0”．
A．0 B．1
C．2 D．3

2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2

3．命题“∀x∈R，x2－2x＋12≤0”的否定为(　　)
A．∀x∉R，x2－2x＋12≤0
B．∀x∈R，x2－2x＋12＞0
C．∃x0∈R，x－2x0＋12＞0
D．∃x0∉R，x－2x0＋12＞0

4．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A.∀x∈Z，x2的个位数字不等于3
B．∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数
C．∃x∈N, ∈N
D．∃x∈Z，x2＋1是4的倍数

5．命题“∃x∈(－1，2)，2x2＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

6．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是(　　)
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q
C．∃xQ，使得x∈P D．∃x∈P，使得xQ

7．下列存在量词命题中，是假命题的是(　　 )
A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆
D．某些四边形不存在外接圆

8．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　 )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

9．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．

10．若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．


1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．∃x>1，x2－2x－3＝0
B．若2x为偶数，则x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数

2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　)
A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C．所有四边形的四个顶点共圆
D．所有四边形的四个顶点都不共圆

3．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q

5．下列命题中是存在量词命题且为假命题的是(　　)
A．∃x∈R，－x2＋x－≥0 B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∃x∈R，使x3＋1＝0

6．(多选)已知命题p：有理数的算术平方根是无理数．则下列结论中正确的是(　　)
A．命题p是真命题
B．命题p的否定是真命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p是存在量词命题

7．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．命题“∃x0∈R，使得x＋x0－1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1＞0”
B．∀x∈R，x2＋x＋1＞0
C．“x2－x＝0”是“x＝1”的必要不充分条件
D．如果a＜b＜0，那么＜

8．命题“∀x∈R，<0”的否定是________________．

9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在实数x，使x2＋2<0;
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．

10．命题“∃x∈[1，3]，x2－2x－a≥0”为真命题的充要条件是________．

11．判断下列命题的真假．
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立；
(4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；
(5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.

12．(多选)下列命题错误的是(　　)
A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0 B．∃x∈Q，x2＝3
C．∀x∈R，x2－1>0 D．∃x∈N，|x|≤0

13．以下四个命题中，真命题的个数是(　　)
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．
A．0 B．1
C．2 D．3

14．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围________(填“一致”“不一致”中的一种).

15．已知命题“∃x∈R，使4x2＋x＋(a－2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________.

16．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.若命题“∀x∈A，x∈B”是真命题，求a的取值范围．


17．已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．


18．已知a，b，c为△ABC的三边长，集合A＝{x|x2＋2ax＋b2＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2cx－b2＝0，x∈R}．
(1)若a＝b＝c＝4，求A∪B；
(2)求A∩B≠∅的充要条件．