第11讲 指数-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第11讲 指数

1．理解n次方根、根式的概念．
2．能正确运用根式运算性质化简求值．
3．通过对有理数指数幂a(a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

知识点一 n次方根与根式
1．n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
性质
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a<0
x<0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为
a<0
x在实数范围内不存在
2．根式
(1)定义：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数；
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①()n＝；
② ＝
3．与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，
当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.
知识点一 指数幂的拓展
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数
指数幂
规定：a＝ (a＞0，m，n均为正整数)
负分数
指数幂
规定：＝＝(a＞0，m，n均为正整数)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义
2．指数幂的运算性质
(1)asat＝as＋t(a＞0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(a＞0，s，t∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a＞0，b＞0，t∈Q).
3．无理数指数幂
一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．
4．实数指数幂中底数的取值范围
幂指数
定义
底数的取值范围
整数指数
正整数指数
an＝ (n∈N*)
a∈R
零指数
a0＝1
a≠0且a∈R
负整数指数
＝(n∈N*)
a≠0且a∈R
有理数指数
正分数指数
a＝(m，n∈N*，且m，n互质)
n为奇数
a∈R
n为偶数
a≥0
负分数指数
＝(m，n∈N*，且m，n互质)
n为奇数
a≠0且a∈R
无理数指数
当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数
一般规定a＞0

考点一：根式的概念
例1 (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________；
(2)已知x7＝6，则x＝________；
【答案】　(1)±4　　(2)
【解析】　(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
【总结】
判断关于n次方根的结论的注意点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

变式 (多选)下列说法正确的是(　　)
A．16的4次方根是2
B．的运算结果是±2
C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
【解析】CD　16的4次方根应是±2；＝2，所以正确的应为C、D.

考点二：利用根式的性质化简与求值
例2 化简与求值．
(1) ； (2)
(3) ； (4) ＋.
【解析】　(1) ＝－5.
(2) ＝＝＝3.
(3) ＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x ∴ ＋＝
【总结】
根式化简的思想和注意点
(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的；
(2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．

变式 计算： ＋4＝________．
【答案】29
【解析】原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29.

考点三：带条件的根式的化简
例3 　化简 － (－3 【解析】　原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3 当－4 当0≤x－1<2，即1≤x<3时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.
∴ － ＝
【总结】
带条件根式的化简的一般方法
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简；
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
变式 当有意义时，化简－的结果是(　　)
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
【答案】C　
【解析】因为有意义，可得2－x≥0，即x≤2，
又由－＝－
＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝－1.故选C.

考点四：根式与分数指数幂的互化
例4 用根式或分数指数幂表示下列各式：， (a＞0)，，(a＞0), (a＞0).
【解析】　 ＝；＝(a＞0)；＝＝a2；
＝＝ (a＞0); ＝＝＝(a＞0).

【总结】
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

变式 (多选)下列结论中正确的有(　　)
A．＝
B．＝
C．当a＞0时，(ar)s＝(as)r
D．＝
【答案】CD　
【解析】对于A选项，＞0，而无意义，错误；对于B选项，左侧＝，右侧无意义，错误．C、D均正确．


考点五：指数幂的运算
例5 计算下列各式．
(1)＋2－2×－0.010.5；
(2) －＋＋16－0.75.
【解析】　(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
【总结】
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
变式 求值：(1)－＋(0.2)－2×－(0.081)0；
(2)π0－＋×.
【解析】(1)原式＝－＋25×－1＝－＋2－1＝－.
(2)原式＝1－16＋2＝－13.

考点六：条件求值问题
例6 已知＋＝，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
【解析】　(1)将＋＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
【总结】
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)：
(1)a±2＋b＝(±)2；
(2)a－b＝(＋)(－)；
(3) ＋＝(＋)(a－＋b)；
(4) －＝(－)(a＋＋b).

变式 （1）已知＋＝，求a2－a－2的值．
【解析】令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
（2）已知a＋a－1＝3，则a3＋a－3＝(　　)
A．27 B．18
C．15 D．25
【答案】B　
【解析】因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2a·a－1＝9－2＝7，
所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－a·a－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.故选B.


1．a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　
【解析】当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
【答案】B　
【解析】∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy＜0.故选B.
3．若2 A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
【答案】C　
【解析】原式＝|2－a|＋|3－a|，∵2 4．若x≠0，则|x|－＋＝________．
【答案】1
【解析】∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1.
5．化简＝________.
【答案】－1
【解析】＝＝|－1|＝－1.
6．将5写为根式，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D　
【解析】5＝.
7．若有意义，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．∪
C．
D．
【答案】D　
【解析】∵＝，∴1－2x＞0，得x<.
8．(多选)(2021·南京市第十四中学高一期中)下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是(　　)
A．－＝(－x)
B．＝－
C．＝ (xy＞0)
D．＝
【答案】ABD　
【解析】A，－＝－ (x≥0)，因此不正确；
B，＝(x≠0)，因此不正确；
C，＝＝ (xy＞0)，因此正确；
D，＝|y|，因此不正确．故选A、B、D.
9．已知a＞0，将化为分数指数幂的形式为________．
【答案】a
【解析】＝＝＝＝a.
10．计算：(1)＋－10(－2)－1＋π0；
(2) －＋－(－1)0.
【解析】(1)＋－10(－2)－1＋π0
＝－3＋10－10－20＋1＝－22.
(2)根据分数指数幂的定义，得＝＝22＝4，＝22＝4，
＝＝＝.从而原式＝4－4＋－1＝.

1．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
【答案】B　
【解析】由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a的取值范围是a≥2且a≠4.故选B.
2．下列各式正确的是(　　)
A．＝a
B．＝－3
C．＝－4
D．－＝－a
【答案】B　
【解析】当n为偶数时，＝|a|＝可知＝|a|，＝4，故A、C错误；
当n为奇数时，＝a，所以＝－3，－＝－(－a)＝a，故B正确，D错误．故选B.
3．若a＝，b＝，则a＋b的值为(　　)
A．1 B．5
C．－1 D．2π－5
【答案】A　
【解析】由根式的性质得a＝＝3－π，b＝＝|2－π|＝π－2，
因此a＋b＝(3－π)＋(π－2)＝1.故选A.
4．化简(m<0)的结果为(　　)
A．m B．m
C．－m D．－m
【答案】D　
【解析】∵m<0，∴＝＝－m.故选D.
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b C．b＞c＞a D．a 【答案】D　
【解析】∵a＝＝＝，
b＝＝＝，
c＝＝＝，∴a 6．若a2n＝3，a＞0，则的值为(　　)
A． B．2
C． D．
【答案】C　
【解析】由a2n＝3，a＞0，得an＝，a－n＝，a3n＝()3＝3，a－3n＝.
故＝＝＝＝.故选C.
7．(多选)下列各式错误的是(　　)
A．＝－3 B．＝a
C．＝2 D．＝2
【答案】ABD　
【解析】A，＝3，错误；B，＝|a|，错误；C，＝2，正确；D，＝－2，错误．故选A、B、D.
8．有下列说法：
① ＝5；②16的4次方根是±2；
③ ＝±3；④ ＝|x＋y|.
其中，正确的有________(填序号).
【答案】②④
【解析】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，＝－5，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；＝3，故③错误；是正数，故＝|x＋y|，故④正确．
9．化简(x＜0，y＜0)得________.
【答案】－2x2y
【解析】＝＝＝|2x2y|，
由x＜0，y＜0，则|2x2y|＝－2x2y.
10．(多选)下列各式中一定成立的有(　　)
A．＝n7m B．＝
C．＝(x＋y) D．＝
【答案】BD　
【解析】A中应为＝n7m－7；＝＝，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；＝＝，D正确．故选B、D.

11．(1)计算： ＋ (e≈2.7)；
(2)若x＞0，y＞0，且x－－2y＝0，求的值．
【解析】(1)原式＝ ＋
＝ ＋ ＝e－＋e＋＝2e≈5.4.
(2)因为x－－2y＝0，x＞0，y＞0，所以()2－－2()2＝0，
所以(＋)(－2 )＝0，
由x＞0，y＞0得 ＋ ＞0，所以－2 ＝0.
所以x＝4y，所以＝＝.
12．当a＞0时， ＝(　　)
A．x B．x
C．－x D．－x
【答案】C　
【解析】∵a＞0，∴x＜0，＝|x|＝－x.故选C.
13．设x，y∈R，且x＋3y＝2，则3x＋27y的最小值是(　　)
A．30 B．27
C．12 D．6
【答案】D　
【解析】由已知3x＋27y＝3x＋33y≥2＝2＝2＝6，
当且仅当3x＝33y，即x＝1，y＝时等号成立．故选D.
14．化简(1＜b＜2)＝________．
【答案】－1
【解析】＝＝＝|－1|.
因为1＜b＜2，所以1＜＜.所以原式＝|－1|＝－1.
15．若＜0，化简－－3的结果为________．
【答案】－4x
【解析】由＜0可得(x＋2)(3x－5)＜0，∴－2＜x＜，所求式子变形为－|x＋2|－3＝5－3x－x－2－3＝－4x.
16．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值．
【解析】∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，
∴a＋b＝6，ab＝4，
∴a－b＝＝2，
∴＝＝＝＝.
17．已知a＜b＜0，n＞1，n∈N*，化简＋.
【解析】∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0.
当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴＋＝
18．求使等式 ＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
【解析】∵＝
＝ ＝|a－3|，
∴要使等式 ＝(3－a)成立．
必须有即⇒⇒－3≤a≤3.
故a的取值范围是[－3，3].