第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元测试

【单元测试】第1章 一元二次方程（夯实基础）

（考试时间：100分钟  试卷满分：120分）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2022·陕西安康·九年级期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．（2021·河南南阳·九年级期中）方程的解是（       ）

A． B． C．， D．，

3．（2022·湖南郴州·中考真题）一元二次方程的根的情况是（       ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

4．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（       ）

A．7 B． C．6 D．

5．（2022·全国·九年级单元测试）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（       ）

A． B．4 C． D．5

6．（2021·山东·费县第二中学九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(     )

A． B．

C． D．

7．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（       ）

A． B．

C． D．

8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）

9．（2022·全国·九年级单元测试）若关于x的方程是一元二次方程，则m=_____．

10．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____．

11．（2021·广西南宁·九年级期中）方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，则正整数a的值为________.

12．（2022·河北保定·九年级期末）一元二次方程的一个根为，则的值为________，另一根为________．

13．（2022·北京·九年级期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，口云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______．

14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．

15．（2021·湖北襄阳·一模）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为 _____cm（纸板的厚度忽略不计）．

16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．

17．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．

18．（2022·四川成都·九年级期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．

三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）

19．（2020·江苏无锡·九年级期中）解下列方程

(1)4(x－2)2－25＝0；

(2)(m＋1)2＝4(m＋1)；

(3)(t＋3) (t－1)＝12；

(4)3x2－5x＋4＝0

20．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程．

(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．

21．（2021·湖南永州·中考真题）若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

22．（2022·江苏·九年级单元测试）阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

例如：x2+11x+24

＝（x+8）（x+3）

根据以上材料，解答下列问题：

(1)初步感知：用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；

(2)问题探究：下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：

解：x2﹣3x﹣40

＝x2﹣3x+32﹣32﹣40

＝（x﹣3）2﹣49

＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）

＝（x+4）（x﹣10）

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“一一”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程．

23．（2022·河南驻马店·九年级期中）上蔡生姜味道纯正，色泽金黄，无丝耐煮，味长久，被誉为“蔡州生姜”，它既是人们生活中不可缺少的调味品，又是优良的中药材．上蔡县某村民合作社2019年种植生姜100亩，2021年该合作社扩大了上蔡县生姜的种植面积，共种植144亩．

(1)求该合作社这两年种植上蔡生姜亩数的平均增长率．

(2)假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2022年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？

(3)某专卖店销售上蔡县生姜，市场调查发现，当生姜售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知生姜的平均成本价为12元/千克，若使销售生姜每天获利1800元，则售价应降低多少元？

24．（2021·江苏淮安·九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：

解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设，那么，于是原方程可变为，解得，．

当时，，；当时，，；

原方程有四个根：，，，．

仿照上面方法，解方程：．

25．（2022·河南安阳·九年级期末）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．

(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；

(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；

(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

26．（2022·山东临沂·九年级期末）某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．

(1)若每份套餐售价不超过10元．

①试写出y与x的函数关系式；

②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？

(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？

27．（2021·湖北宜昌·中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．

（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？

（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．

（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？

28．（2022·江苏·九年级期末）定义，若关于x的一元二次方程的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的的衍生点．

(1)若方程为，写出该方程的的衍生点M的坐标．

(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．

(3)是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．