第一章 一元二次方程（单元小结）-九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）课件PPT

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单元小结数学（苏科版）九年级 上册第一章一元二次方程考点归纳考点1、一元二次方程的定义；考点2、一元二次方程根的应用；考点3、一元二次方程的解法；考点4、一元二次方程根的判别式的应用；考点5、一元二次方程根与系数的关系；考点6、一元二次方程的应用知识归纳知识点一、一元二次方程的基本概念1.一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，最高次数为2的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式：ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)　知识归纳3、一元二次方程的项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)二次项： ax2 二次项系数：a一次项： bx 一次项系数：b常数项：c4、注意点： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 注：四个要求缺一不可，是我们判定一元二次方程的依据！　知识归纳二、解一元二次方程的方法x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）(x+m)2＝n（n ≥ 0）ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)(x + m) （x + n）＝0一元二次方程的解法类型归纳注：先观察一元二次方程的形式，再确定用哪个一元二次方程，磨刀不误砍柴工！　知识归纳1．直接开平方法直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝　 　；当b＜0时，方程没有实数根．2．配方法(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；③配方，方程两边同时加上　 　，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．一次项系数一半的平方知识归纳3．公式法(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝　_.用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②确定a，b，c的值；③求b2－4ac的值；④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．知识归纳4、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程变形为右边是0的形式；(2)将方程左边分解因式；(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．知识归纳三、一元二次方程在生活中的应用列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．考点讲练例1 若关于x的一元二次方程是(m-3)x2+mx-1=0，则m的取值范围是（ ）A. m≠3 B. m=3 C. m≥3 D. m≠0解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-3≠0,即m≠3,故选A.A考点讲练1.方程3x2-2x-3=x2-3+2x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2-40点睛：将方程进行移项，转化为一元二次方程的一般是=式，即可得到各系数；考点讲练解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-4=0，解得m=±2的值.这里应填-2.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.例2 若关于x的一元二次方程（m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,则m= .【易错提示】求出m值有两个2和-2,由于原方程是一元二次方程，所以2不符合，应引起注意.-2考点讲练2. 一元二次方程x2+px-3=0的一个根为1，则p的值为 .2解析：将x=1代入方程得：1+p-3=0，解得p=2.考点讲练【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．例3 (1)用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应变为（ ） A. (x-2)2=9 B.(x+4)2=9 C. (x+2)2=9 D.(x-4)2=9(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　 ）　A．13 B． 15 C．18 D．13或18AA考点讲练3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24A解：先解出x2-7x+12=0的解，得到x1=3，x2=4，∵菱形的一条对角线长为6,∴边AB的长为4∴菱形ABCD的周长为16故选A.考点讲练4、用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0. 考点讲练[解析] 用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(x＋m)2＝n的形式，当n≥0时，直接开平方求得方程的根．考点讲练A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.考点讲练5.下列所给方程中，没有实数根的是（ ）A. 2x2+x=0 B. 3x2-5x-2=0 C.2x2-5x+2=0 D. 5x2-4x+3=06.（开放题）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是　　（写出一个即可）．D-1考点讲练例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ．25解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.【重要变形】考点讲练A 考点讲练 例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？市场销售问题考点讲练解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.432x-2032-2(x-24)150其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x.（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.解得 x1=25, x2=35.由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.128考点讲练例7 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？[解析] 增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握增长率是指增长数与基准数的比．平均变化率问题考点讲练解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依题意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有(1＋x)3＝(1＋8)3＝729台电脑被感染．由于729>700，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．考点讲练几何问题 例8 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.考点讲练解：设水渠的宽度为 x m，根据题意，得:(92 - 2x) (60 - x) = 6×885.整理，得： x2 – 106x + 105 = 0.解得： x1=1; x2 = 105 (不合题意，舍去).答：水渠应挖1米宽.当堂检测1.下列方程中,一定是一元二次方程的是(　　)A.ax2+bx+c=0　 B. x2=0C.3x2+2y- =0　 D. x2+ -5=0【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.当堂检测2、解方程x2-2x-1=0.【自主解答】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方得:x-1=± ,x=1± ,所以x1=1+ , x2=1- .当堂检测3、已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是(　　)A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.当堂检测4、关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是(　　)A.1　 B.-1　 C.1或-1　 D.2【解析】选B.由题意:x1+x2= ,x1x2= ,因为x1-x1x2+x2=1-a,所以 - =1-a,即 =1-a,解得a1=1,a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以a=-1.当堂检测5、用公式法解下列一元二次方程：当堂检测6、解下列一元二次方程：（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2. 当堂检测(2) (3x－4)2=(4x－3)2.(2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0.将方程的左边分解因式，得〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0.∴7x－7=0,或 -x－1=0.∴x1=1, x2=-1当堂检测7、方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知,△=即m>0m-1<0∴0