初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试精练

2022-2023学年人教版九年级数学上册

21.2《解一元二次方程》综合练习

一、单选题

1．把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．将方程x2−4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（    ）

A．（x−1）2＝12 B．（2x−1）2＝12

C．（x−1）2＝0 D．（x−2）2＝3

3．用配方法解方程时，结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．9

5．关于的方程有实数根，则满足（    ）

A． B．且 C．且 D．

6．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（    ）

A．， B．，

C． D．，

7．若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（          ）

A．k<1 B．k<1且k0 C．k1 D．k>1

8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（    ）

A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0

B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1

C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3

D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0

9．如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(   )

A． B．

C． D．

10．已知，，下列结论正确的个数为(   )

①若是完全平方式，则；

②B－A的最小值是2；

③若n是的一个根，则；

④若，则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．

12．若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____．

13．已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．

14．关于的方程．

（1）当时，方程有__________的实数根；

（2）当时，方程有__________的实数根；

（3）当时，方程__________．

15．已知实数a、b满足，则________．

三、解答题

16．解方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

17．已知关于的一元二次方程

(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

(2)当为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．

18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．

19．综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．

(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：

①；    ②．

(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．

20．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．

解：                 第一步

                 第二步

                 第三步

                 第四步

                 第五步

所以，                 第六步

任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误；

任务二：请你直接写出该方程的正确解．

21．因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．已知．

(1)填空：当时，，所以是的一个因式．于是．则________________；

(2)已知关于x的方程的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．

参考答案

1．C

2．D

3．B

4．C

5．A

6．B

7．B

8．A

9．A

10．B

解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，

∴n=±3，故结论正确；

②∵B-A

=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）

=x2-2x+n2+3

=（x-1）2+n2+2，

而（x-1）2+n2≥0，

∴B-A≥2，

∴B-A的最小值是2，故结论正确；

③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，

把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，

得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，

解得

当时，

当时，

故结论错误；

④∵（2022-A+A-2019）2

=（2022-2019）2

=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）

=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2

=9，

∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误；

 故选B．

11．2

12．15

13．<

14．     两个不相等     两个相等     无实数根

15．2

16．(1)

(2)

(3)

(4)

17．

（1）

解：由方程有两个不相等的实数根可知

则

∴解得

（2）

解：设此方程的两个根分别为：，

将系数化为1得

则==1，

则

18．

（1）

∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，

∴m的取值范围是全体实数．

（2）

将x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，

解得：m＝﹣1．

19．

（1）解：①解方程得：，，，，不是“邻根方程”；②，，，，是“邻根方程”；

（2）解：，，，方程是常数）是“邻根方程”，或，或.

20．解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，

在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上，

∴第二步开始出现错误，

故答案是：配方法，完全平方公式，二；

任务二：解：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，．

21．

（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1）＝（x−1）（x²−4x＋k）＝（x−1）g（x），∴g（x）＝x²−4x＋k．

（2）∵，∴1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根．把1代入，得．∵方程的两根为1和3，∴三角形的三边为1，1，3．∵＜3，不成立；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根．由△，得．∵方程的两个根为2，2，∴等腰三角形的三边为1，2，2．∵＞2，成立．综上所述，实数．