2022-2023学年湖南省郴州五中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖南省郴州五中九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  实验测得，某种新型冠状病毒的直径是米，米用科学记数法可表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.  一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根

6.  已知抛物线，下列结论错误的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大

7.  将一个长方形按如图所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接、，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若分式有意义，则的取值范围是______．

10.  若点，关于轴对称，则的值为        ．

11.  若关于的方程的一个根为，则的值为           ．

12.  某研究员从甲、乙两块试验田中各随机抽取株杂交水稻苗测试高度，整理数据后得到这两组数据的平均数分别为，，方差分别，，则杂交水稻长势比较整齐的试验田是______填“甲”或“乙”．

13.  如图，四边形内接于，对角线是的直径，，连接对角线，则的度数是        ．

14.  如图，，直线、分别与这三条平行线交于点、、和点、、已知，，，则的长为______．

15.  如果圆锥底面圆的半径为，它的侧面积为，那么它的母线长为______．

16.  如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于、，画直线，为的中点，为直线上任意一点若，的面积为，则长度的最小值为        ．

三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再从，，三个数中选一个合适的数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，菱形对角线交于点，，求证：四边形是矩形．

20.  本小题分
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整．
如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人．
此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．

21.  本小题分
常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度如图所示，平地上一幢建筑物与宝塔相距，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为、宝塔顶部的仰角为求天宁寺宝塔的高度结果保留根号．

22.  本小题分
年月日至日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为元个，“冰墩墩”挂件的进价为元个．
若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为元个，“冰墩墩”挂件售价定为元个，若购进的个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？

23.  本小题分
已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
求证：直线是的切线；
若，垂足为，的半径为，求的长．
 

24.  本小题分
探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
绘制函数图象
列表：下列是与的几组对应值，其中        ，        ．

描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象．

探究函数性质
当时，函数值随着自变量的增大而        ；填“减小”或“增大”
函数的图象关于        对称；
运用函数图象及性质
点，，在函数图象上，请比较，，的大小       
A.
B.
C.
D.
点，在函数图象上，请比较，的大小       
A.
B.
C.
D.不确定
写出方程的解        ；
写出不等式的解集        ．

25.  本小题分
如图，在矩形中，，，，，将绕点从处开始顺时针方向旋转，交边于点，交边于点，当旋转至处时，的旋转随即停止．

如图，在旋转中发现当经过点时，也经过点，求证：∽；
如图，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
设，连结，则在旋转过程中，当为何值时，与相似．

26.  本小题分
如图，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，顶点为．
求该抛物线的解析式；
点为该抛物线上一动点与点、不重合，
当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值；
在的条件下，点是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．
【解答】
解：，
最大的数是．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，单项式乘单项式法则和完全平方公式对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
【解答】
解：，选项的计算正确；
，选项的计算不正确；
，选项的计算不正确；
，选项的计算不正确．
故选：．
【点评】
本题主要考查了同底数幂的除法法则，合并同类项法则，单项式乘单项式法则和完全平方公式，正确使用上述法则与公式进行运算是解题的关键．  

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的表示形式解答即可，科学记数法写成的形式．
本题考查了科学记数法，熟练掌握其表示形式并确定指数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，，，，
，
有两个相等的实数根．
故选：．
利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线中，，抛物线开口向上，因此选项正确，不符合题意；
由解析式得，抛物线的对称轴为直线，因此选项正确，不符合题意；
由解析式得，抛物线的顶点坐标为，因此选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，因此当时，随的增大而减小，因此选项错误，符合题意；
故选：．
根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
 

7.【答案】 

【解析】解：由拼图可知，图为长为，宽为的长方形，因此的面积为，
图的面积可以看作边长为，边长为的两个正方形的面积差，即，
因此有，
故选：．
分别用代数式表示两个图中的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，
，
，
设，则，
故．
故选：．
分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解．
本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据，得出为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
根据点和关于轴对称，可知，，即可求出的值．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】
解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．  

12.【答案】乙 

【解析】解：，，，，
，
杂交水稻长势比较整齐的试验田是乙，
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：．
根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，即，
解得．
故答案为：．
先根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质得到的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得．
所以圆锥的母线长为．
故答案为：．
设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点．

，
，
垂直平分线段，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，连接，过点作于点利用三角形的面积公式求出，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．
 

17.【答案】解：．


． 

【解析】先计算特殊角的三角函数值、零次幂、乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
 

18.【答案】解：原式


，
且，
，
则原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形． 

【解析】由菱形的性质可得，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，即可得结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：，
“良好”等级的人数为人，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如下：

人，
参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人；
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，
选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，然后利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

21.【答案】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，

依题意，，，
是等腰直角三角形，
，
则四边形是正方形，
，
在中，，
，
答：天宁寺宝塔的高度为米． 

【解析】过点作于点，进而得出，解，根据，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个，
依题意得：，
解得：．
答：购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个．
设购进“冰墩墩”挂件个，则购进“冰墩墩”摆件个，
依题意得：，
解得：．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过个． 

【解析】设购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个，利用进货总价进货单价进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共个且共花费了元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进“冰墩墩”挂件个，则购进“冰墩墩”摆件个，利用总利润每个的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：
，
，
，
，
根据三角形的内角和定理得，，
连接，

，
，
，
，
点在上，
直线是的切线；

连接，如图，

，
，
，
，即，
于，
，，
在中，
，
． 

【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，三角形内角和定理，圆周角定理等知识，求出是解本题的关键．
先求出，进而求出，即可求出，结论得证；
先求出，用勾股定理求出，再用垂径定理即可得出结论．
 

24.【答案】    减小  轴      ，  或 

【解析】解：列表：当时，，
当时，，
故答案为：，；
描点，连线如下：


观察函数图象可得：当时，函数值随着自变量的增大而减小；填“减小”或“增大”
函数的图象关于轴对称；
故答案为：减小；轴；
点，，在函数图象上，则，
故答案为：；
点，在函数图象上，则，
故答案为：；
写出方程的解为，；
故答案为：，；
写出不等式的解集为或；
故答案为：或．
把和分别代入解析式即可得、的值；
按要求描点，连线即可；
观察函数图象，可得函数性质；
观察函数图象即得答案．
本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象．
 

25.【答案】解：证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽；      

的值为定值．
如图，过点作于，
，
，，
易知四边形是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
的值是定值，该定值为；

，
，
当时，，
∽，
，
，
；
当时，，
∽，
，
，
，
综上，当或时，与相似． 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判定∽；
过点作于，则，易知四边形是矩形，先判定∽，即可得到，进而得出的值是定值，该定值为；
分两种情况进行讨论：当时，∽；当时，∽，分别依据相似三角形对应边成比例，即可得到当或时，与相似．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例进行推导计算．
 

26.【答案】解：将，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
连接、，经过点作轴的垂线，交直线于点，

设直线的解析式为，
将，两点的坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点，点，
，
，
，且，
当时，有最大值，最大值是，此时点坐标为；
存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
由可知，，
设，，
当四边形为平行四边形时，则，，

，
，
解得，
；
当四边形为平行四边形时，则，，

，
，
解得，
；
当四边形为平行四边形时，则，，

，
，
解得，
；
综上所述，所有符合条件的点的坐标为或或 

【解析】将，代入即得抛物线的解析式为；
连接、，经过点作轴的垂线，交直线于点，求出直线的解析式为，设点，点，得出，根据，由二次函数的性质可得出答案；
分三种情况：当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思想．