2023年中考数学精选真题实战测试48 图形的相似 B

2023年中考数学精选真题实战测试48 图形的相似 B

一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)

1．（3分）（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （　　） 

A．4 B．6 C．8 D．16

2．（3分）（2022·雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）（2022·连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 △DEF的周长是（　　）

A．54 B．36 C．27 D．21

4．（3分）（2022·重庆）如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是它们的位似中心，且相似比为 1：2，则△ABC 与△DEF 的周长之比是(　　)

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9

5．（3分）（2022·鄂尔多斯）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．3

6．（3分）（2022·贵阳）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）（2022·海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）（2022·扬州）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点.下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

9．（3分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（　　）

①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

10．（3分）（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：

① ；② ；③ ；④ ；⑤ .

其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④

二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)

11．（3分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是　     　．

12．（3分）（2022·锦州）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为　     　．

13．（3分）（2022·娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值.其中正确的结论有　     　（填结论对应的序号）.

14．（3分）（2022·杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=　     　cm．

15．（3分）（2022·四川）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于人射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为　     　．

16．（3分）（2022·鞍山）如图，在正方形中，点为的中点，，交于点，于点，平分，分别交，于点，，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　     　．（填序号即可）．

三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)

17．（6分）（2022·菏泽）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．

18．（8分）（2022·江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．

（1）（4分）求证：；

（2）（4分）当时，求的长．

19．（8分）（2021·雅安）如图， 为等腰直角三角形，延长 至点B使 ，其对角线 ， 交于点E. 

（1）（4分）求证： ； 

（2）（4分）求 的值. 

20．（8分）（2022·常德）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接.

（1）（4分）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②.

（2）（4分）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.

21．（10分）（2022·黄冈）问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明.

尝试证明：

（1）（4分）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；

（2）（6分）应用拓展：
如图3，在中，，是边上一点.连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处.

若，，求的长；

若，，求的长用含，的式子表示.

22．（10分）（2022·烟台）   

（1）（3分）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（2）（3分）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．

（3）（4分）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．

①求的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

23．（10分）（2022·孝感）问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝.小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝.

（1）（4分）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；

（2）（6分）应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.

①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；

②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）.

24．（12分）（2022·襄阳）矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

（1）（4分）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

（2）（4分）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；

（3）（4分）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】D

9．【答案】C

10．【答案】B

11．【答案】2

12．【答案】3

13．【答案】①②③

14．【答案】9.88

15．【答案】

16．【答案】①③④

17．【答案】证明：∵

∴∠C=∠BEC，

∵∠BEC=∠AED，

∴∠AED=∠C，

∵AD⊥BD，

∴∠D=90°，

∵，

∴∠D=∠ABC，

∴．

18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴，，

，，

∵，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴，

即，

解得：．

19．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形 

∴E为BD中点

∵

∴

∴

又∵ 为等腰直角三角形

∴ ，

∴

∴

∵

∴

在 与 中

∴ ；

（2）解：设

∵ 为等腰直角三角形

∴ ， ，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

∵ ，

∴

∵E是DB中点

∴

∴

∴

∴ .

20．【答案】（1）证明：①证明过程：

四边形ABCD为矩形，

平分

为等腰直角三角形

②证明：连接BG，CG，

G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，

平分，

（2）解：作，如图所示

由（1）同理可证：

四边形ABCD为平行四边形

G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得

，

21．【答案】（1）证明：，

，，

∽，

，

，，

，

，

（2）解：①∵将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，

，，

由（1）可知，，

又，，

，

，

，

，

，

，

；

；

②∵将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，

，，，

，

由（1）可知，，

，

，

又，

，

，

.

22．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

，∠DAE＝∠BAC＝45°，

∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD∽△CAE，

；

（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，，

∴∠CAE＝∠BAD，

∴△CAE∽△BAD，

；

②由①得：△CAE∽△BAD，

∴∠ACE＝∠ABD，

∵∠AGC＝∠BGF，

∴∠BFC＝∠BAC，

∴sin∠BFC．

23．【答案】（1）证明：∵AB∥CE，

∴∠BAD=∠DEC，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠CAD=∠DEC，

∴AC=EC，

∵∠BDA=∠CDE，

∴，

∴，

即，

∴；

（2）解：①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，

由（1）得，，

∵AC＝1，AB＝2，

∴，

∴，

解得：CD=，

∴DE= CD=；

②由折叠可知∠AED＝∠C=，

∴，

由①可知，

∴，

∴，

即：.

24．【答案】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．

∵k=2，

∴AB=BC．

∵∠B=90°，BH=BE，

∴∠1=∠2=45°，

∴∠AHE=180°-∠1=135°，

∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，

∴∠3=∠DCG=45°，

∴∠ECF=∠3+∠4=135°，

∵AE⊥EF，

∴∠6+∠AEB=90°，

∵∠5+∠AEB=90°，

∴∠5=∠6，

∵AB=BC，BH=BE，

∴AH=EC，

∴△AHE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF；

（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．

∵∠B=90°，BH=BE，

∴∠BHE=∠BEH=45°，

∴∠AHE=135°，

∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，

∴∠DCF=∠DCG=45°．

∴∠ECF=135°，

∵AE⊥EF，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴△AHE∽△ECF，

∴，

∵，E是BC边的中点，

∴EC=HB=BC，

∴AH=AB-BC=BC，

∴；

（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，

∵k=3，

∴，

设AB=3a，则BC=2a，

∵∠PAE=45°，

∴∠P'AP=90°，

连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，

∵AH=AD=2a，

∴BH=a，

∵E是BC的中点，

∴BE=a，

∴HE=a，∠BHE=45°，

∴∠P'HE=135°，

∵CG=EC=a，

∴∠GEC=45°，

∴∠PGE=135°，

∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，

∴△AEP'≌△AEP（SAS），

∴PE=P'E，

∴△PEG≌△P'EH（AAS），

∴∠PEG=∠P'EH，

∵∠HEG=∠EGH=45°，

∴∠HEG=90°，

∴∠PEP'=90°，

∴∠AEP=∠AEP'=45°，

∴∠APE=∠AP'E=90°，

∴四边形APEP'是正方形，

∴AP=PE，

∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，

∴∠DAP=∠EPC，

∵AP=PE，

∴△APD≌△PEC（AAS），

∴AD=PC=2a，PD=ED=a，

∴PE=a，

由（2）得△AHE∽△ECF，

∴，

∵

∴，

∵∠HEG=∠AEF=90°，

∴∠HEA=∠GEF，

∵∠PEG=∠P'EH，

∴∠PEF=∠P'EH=45°，

过点P作PK⊥AE交于K，

∵EF⊥AE，

∴PKEF，

∵，

∴PK=EF，

∴四边形PKEF是矩形，

∴PF=KE，

∵，

∴，

∴

∴．