2023年中考数学精选真题实战测试47 图形的相似 A

2023年中考数学精选真题实战测试47 图形的相似 A

一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)

1．（3分）（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　）

A．5 B．6 C． D．

2．（3分）（2022·衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．（3分）（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）（2022·贵阳）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）（2022·台湾）的边上有、、三点，各点位置如图所示.若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（　　）

A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8

7．（3分）（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

8．（3分）（2022·遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）

①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④

9．（3分）（2021·湘西）如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形 的周长是（　　） 

A．11 B．22 C．33 D．44

10．（3分）（2022·眉山）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，.以下结论：

①；②；③；④.其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)

11．（3分）（2022·邵阳）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件　                        　，使.

12．（3分）（2022·沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为　          　．

13．（3分）（2022·鞍山）如图，，，相交于点，若，，则的长为　     　．

14．（3分）（2022·东营）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为　     　．

15．（3分）（2022·北京市）如图，在矩形中，若，则的长为　     　．

16．（3分）（2022·常州）如图，在中，，，.在中，，，.用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是　     　.

三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)

17．（6分）（2022·盐城）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若      ▲      ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．

18．（8分）（2022·上海市）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

（1）（4分）∠CAE=∠BAF；

（2）（4分）CF·FQ=AF·BQ

19．（8分）（2022·玉林）如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．

（1）（4分）求 的长（用含a的代数式表示）；

（2）（4分）连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．

20．（8分）（2022·上海市）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．

（1）（4分）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）

（2）（4分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度

21．（8分）（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）（2分）网格中的形状是　           　；

（2）（2分）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：

（3）（2分）在图②中的边上确定一点E，连结，使：

（4）（2分）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．

22．（10分）（2022·益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

（1）（3分）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

（2）（3分）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

（3）（4分）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

23．（12分）（2022·湘潭）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.

（1）（3分）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC= ，分别求出线设BD、CE和DE的长；

（2）（5分）规律探究：

（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

（3）（4分）尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC．

24．（12分）（2022·苏州）如图

（1）（8分）如图1，在△ABC中， ，CD平分 ，交AB于点D， // ，交BC于点E.

①若 ， ，求BC的长；

②试探究 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

（2）（4分）如图2， 和 是△ABC的2个外角， ，CD平分 ，交AB的延长线于点D， // ，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为 ，△CDE的面积为 ，△BDE的面积为 .若 ，求 的值.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】D

9．【答案】D

10．【答案】D

11．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）

12．【答案】或4

13．【答案】5

14．【答案】

15．【答案】1

16．【答案】21

17．【答案】解：若选①；

证明：∵，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

又，

∴．

选择②；，不能证明．

若选③；，

证明：∵，

∴，∴，

又∵，

∴．

18．【答案】（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵CF=BE，

∴CE=BF，

在△ACE和△ABF中，，

∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF

（2）证明：∵△ACE≌△ABF，

∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，

∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，

∴，即，

∴△ACE∽△AFQ，

∴∠AEC=∠AQF，

∴∠AEF=∠BQF，

∵AE＝AF，

∴∠AEF=∠AFE，

∴∠BQF=∠AFE，

∵∠B=∠C，

∴△CAF∽△BFQ，

∴，即CF·FQ=AF·BQ．

19．【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴

（2）证明：由题意可得如图所示：

连接AC，

在矩形 中， ， ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 是平行四边形，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴四边形 是菱形．

20．【答案】（1）解：如图

由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α

∠B=∠D=∠CEB=90°

∴四边形CDBE为矩形，

则BE=CD=b，BD=CE=a，

在Rt∆ACE中，tanα= ，

得AE=CE=CE×tanα=a tanα

而AB=AE+BE，

故AB= a tanα+b

答：灯杆AB的高度为atanα+b米

（2）解：由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8

由于AB∥ED，

∴∆ABF~∆EDF，

此时

即①，

∵AB∥GC

∴∆ABH~∆GCH，

此时，

②

联立①②得

，

解得：

答：灯杆AB的高度为3.8米

21．【答案】（1）直角三角形

（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：

（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：

（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．

22．【答案】（1）解：（任意回答一个即可）；△AFB∽△BCE；△AFB∽△BGC

（2）解：∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，即，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴ ，即，∴CE＝7.5；

（3）解：

分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，

∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴ ，即，∴，∴CE＝；②当C'F＝BF时，如图3，

由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝＝4a，∵tan∠CBE＝，∴，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．

23．【答案】（1）解：∠BAC=90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB==45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45° ，
∴BD⊥AE，CE⊥DE，
即∠BDA=∠CEA=90° ，
∴∠ABD=90°-45° =45°，∠ACE = 90°-45° =45° ，
∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45° ，
∴AD=BD=ABsin∠DAB ==1，
∴AE=CE= ACsin∠EAC==1，
∴DE=AD+AE=2；

（2）解：（Ⅰ） DE=CE+BD；理由如下：
∵BD⊥AE， CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90° ，
∴∠DAB+∠DBA=90° ，
∴∠BAC=90° ，
∴∠DAB+∠CAE=90° ，
∴∠DBA=∠CAE，
∴AB=AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，
即DE=CE+BD；
（Ⅱ） BD=CE+DE，理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90° ，
∴∠DAB+∠DBA=90° ，
∵∠BAC= 90°，
∴∠DAB+∠CAE=90° ，
∴∠DBA=∠CAE，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=CE+DE.

（3）解：由(2) 可知，AD=CE=3，
∴AE= AD+DE=3+1=4，
在Rt△AEC中，
AC==5，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴DF∥CE，
∴，
即，
解得：AF=，
∴CF=AC-AF=5-=，
∵AB=AC=5，
∴S△BFC=CF×AB=××5=.

24．【答案】（1）解：①∵CD平分 ，

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ .

∴ .

∴ .

∴ .

∴ .

②∵ ，

∴ .

由①可得 ，

∴ .

∴ .

∴ 是定值，定值为1.

（2）解：∵ ，

∴ .

∵ ，

∴ .

又∵ ，

∴ .

设 ，则 .

∵CD平分 ，

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ .

∴ .

∴ .

如图，过点D作 于H.

∵ ，

∴ .

∴ .