初二数学北师大版春季班 第2讲 三角形的证明（二）--提高班 试卷

第2讲 三角形的证明（二）

知识点1 线段的垂直平分线

1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

【典例】

例1（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（　　）

A．58° B．63° C．67° D．70°

【解答】解：∵DE垂直平分BC，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB，

∵EB＝EC，BE＝AC，

∴AC＝EC，

∴∠AEC＝∠EAC（180°﹣12°）＝84°，

∴∠EBC＝∠ECB∠AEC＝42°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠EBF＝∠CBF＝21°，

∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°，

故选：B．

【方法总结】

本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

例2（2020春•铁西区期末）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝4，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E．连接CD，若CD⊥AB，则△ABC的面积为（　　）

A．12 B．14 C．24 D．28

【解答】解：∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝∠CDA＝90°，

∵DE垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴△BCD为等腰直角三角形，

∴BD＝CDBC44，

在Rt△ADC中，AD3，

∴AB＝4+3＝7，

∴S△ABCCD×AB4×7＝14．

故选：B．

【方法总结】

本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

例3（2020春•泰山区期末）如图，在钝角△ABC中，已知∠A＝135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，交AB、AC于点F、G．若BD＝12，CE＝9．求DE的长度．

【解答】解：连接AD、AE，

∵∠BAC＝135°，

∴∠B+∠C＝45°，

∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，

∴DA＝DB＝12，EA＝EC＝9，

∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，

∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°，

由勾股定理得，DE15．

【方法总结】

本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6

【解答】解：∵DF为AB的垂直平分线，

∴AF＝BF，

∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，

∵AB＝AC，AB+BC＝6，

∴AC+BC＝6，

∴△BCF的周长为6．

故选：D．

2．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点M，N，若∠B+∠C＝40°，则∠MAN＝　100°　．

【解答】解：∵∠B+∠C＝40°，

∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，

∵AB，AC的垂直平分线交BC于点M，N，

∴MA＝MB，NA＝NC，

∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，

∴∠MAB+∠NAC＝∠B+∠C＝40°，

∴∠MAN＝140°﹣40°＝100°，

故答案为：100°．

知识点2角平分线的性质

1.角平分线上的点到角两边的距离相等.

2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

【典例】

例1（2020春•舞钢市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，

∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，

∴DE＝AD＝2，

故选：C．

【方法总结】

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

例2（2020春•东城区校级期末）已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．

【解答】证明：延长AD交BC于F，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，

∵∠B＝∠EAC，

∴∠DFE＝∠DAE，

∴AE＝FE，

∵ED⊥AD，

∴ED平分∠AEB．

【方法总结】

此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质，垂直的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

例3（2020春•南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

（1）如图1，求∠BDC的度数；

（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．

【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC∠ABC60°＝30°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB∠ACB40°＝20°，

∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB

＝180°﹣30°﹣20°

＝130°；

（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，

∴DH＝DE＝2，

∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，

∴DF＝DH＝2，

∴△ADC的面积DF•AC2×4＝4．

【方法总结】

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【随堂练习】

1．（2020春•漳州期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM＝MP＝6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是　6　．

【解答】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，

∴∠AOP∠AOB＝30°，

∴∠DPO＝60°，

∵PM＝DM＝6，

∴∠MDP＝∠DPM＝60°，

∵∠PDO＝90°，

∴∠ODM＝30°＝∠AOP，

∴OM＝DM＝6，

∴OP＝12，

∴PDOP＝6，

∵点C是OB上一个动点，

∴PC的最小值为P到OB距离，

∴PC的最小值＝PD＝6，

故答案为：6．

2．（2020春•招远市期末）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE＝4，则DF＝　8　．

【解答】解：作DG⊥OB于G，

∵OC是∠AOB的平分线，DG⊥OB，DE⊥OA，

∴DG＝DE＝4，

在Rt△EOF中，∠AOB＝60°，

∴∠OFE＝30°，

∴DF＝2DG＝8，

故答案为：8．

3．（2020春•渭滨区期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABFS△ABC．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，

∴∠BAE＝∠CAE＝52°，

∴①正确；

∵∠C＝40°，AD⊥BC，

∴∠CAD＝50°，

∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，

∴②正确；

∵△AEF是斜三角形，△AED是直角三角形，

∴△AEF和△AED不全等，

∴EF≠ED，

∴③错误；

∵点F为BC的中点，

∴BFBC，

∴S△ABFS△ABC，

∴④正确；

故选：C．

综合运用

1．（2020春•太原期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，

∴AG＝CG，AE＝BE，

∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，

∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，

∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，

故选：B．

2．（2020春•丹东期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）

A．15 B．12 C．10 D．14

【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：

∵BD是AC边上的高，

∴ED⊥AC，

又∵AE平分∠CAB，DE＝3，

∴EF＝3，

∵AB＝8，

∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．

故选：B．

3．（2020秋•渝中区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，

∴OD＝OE＝OM，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，

∴S△ABCAC•BCAB•OEAC•ODBC•OM，

∴•OM，

∴OM＝2，

故选：B．

4．（2020•文成县二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连结CF．若∠A＝50°，∠ACF＝40°，则∠CFD的度数为（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°

【解答】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠CFD＝2x°，

∵EF是BC的垂直平分线，

∴BF＝CF，

∴∠FCB＝∠CBD＝x°，

∵∠A＝50°，∠ACF＝40°，

∴50°+40°+x°+2x°＝180°，

解得：x＝30，

∴∠CFD＝2x°＝60°，

故选：D．

5．（2020春•石阡县期中）如图，在△ABC中，AP为∠ABC的平分线，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，△ABC的面积是24cm2，AB＝14cm，AC＝10cm，则PE＝　2　cm．

【解答】解：∵AP为∠ABC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，

∴PD＝PE，

∵△ABC的面积是24，AB＝14，AC＝10

∴AB×PDAC×PE＝24，

解得，PD＝PE＝2，

故答案为：2．

6．（2020春•醴陵市期末）如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是　7　．

【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，

∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，

∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，

在△ADC和△AFC中，

∵，

∴△ADC≌△AFC（AAS），

∴AD＝AF，

在△CBE≌△CBF中，

∵，

∴△CBE≌△CBF（AAS），

∴BE＝BF，

∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，

故答案为：7．

7．（2020春•东明县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．

（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；

（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．

【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，

∴EA＝EB，

∵AD＝DB，

∴DF是线段AB的垂直平分线；

（2）解：∵∠A＝46°，

∴∠ABE＝∠A＝46°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝67°，

∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，

∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．

8．（2020春•兴宁区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．

（1）求∠DAF的度数；

（2）如果BC＝10cm，求△DAF的周长．

【解答】解：（1）设∠B＝x，∠C＝y．

∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∴110°+∠B+∠C＝180°，

∴x+y＝70°．

∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，

∴DA＝BD，FA＝FC，

∴∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C．

∴∠DAF＝∠BAC﹣（x+y）＝110°﹣70°＝40°．

（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，

∴DA＝BD，FA＝FC，

∴△DAF的周长为：AD+DF+AF＝BD+DF+FC＝BC＝10（cm）．