第二章 平面解析几何-2.3圆及其方程 2.3.1圆的标准方程 2.3.2圆的一般方程（课件PPT）

2.3　圆及其方程2.3.1　圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程　第二章 平面解析几何重点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的标准方程难点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的标准方程1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2.能根据所给条件求圆的标准方程.3.掌握点与圆的位置关系. 1.圆的标准方程 C（a，b） r2.点与圆的位置关系 3. 圆的一般方程 常考题型题组一 圆的标准方程<1>辨析圆的标准方程例1 圆（x-1）2+（y+2）2＝4的圆心坐标和半径分别为 （　　）A.（1，-2），4 B.（1，2），4 C.（1，-2），2 D.（1，2），2【解析】　圆（x-1）2+（y+2）2＝4的圆心坐标为（1，-2），半径r＝2.【答案】　C【变式训练】   <2>求圆的标准方程例2 圆心为C（2，-3），且经过坐标原点的圆的标准方程为　　　　. 【变式训练】1.［2020·江苏苏州高二检测］在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为　　　　　　　　　　 .  【变式训练】2. ［2020·四川绵阳南山中学高二检测］圆（x+2）2+y2＝5关于y轴对称的圆的方程为（　　）A.（x-2）2+y2＝5　 　　 B.x2+（y-2）2＝5C.（x+2）2+（y+2）2＝5　　 D.x2+（y+2）2＝5 解析：圆心（-2，0）关于y轴的对称点为（2，0），所以所求圆的方程为（x-2）2+y2＝5.【方法技巧】 <3>已知圆的标准方程，求解点与该圆的位置关系问题例3 已知点P1（3，8），P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3），N（3，4），P（3，5）是在圆上、圆内，还是在圆外.【解题技法】 例4 已知圆C的标准方程为（x-5）2+（y-6）2＝a2（a>0）.（1）若点M（6，9）在圆上，求半径a；（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.  【变式训练】（1）已知点P（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2＝4的内部，求实数a的取值范围.（2）已知点A（1，2）在圆C：（x+a）2+（y-a）2＝2a2的外部，求实数a的取值范围. 题型二 圆的一般方程<1>二元二次方程表示圆的条件例4 若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a＝0表示圆，则a的值为 （　　）A.1或-2 B.2或-1 C.-1 D.2 1.［2020·四川蓉城名校联盟高二检测］若方程x2+y2-2tx+4y+2t+7＝0表示圆，则实数t的取值范围是　　　 　 　 .【变式训练】解析：若方程x2+y2-2tx+4y+2t+7＝0表示圆，则（-2t）2+42-4（2t+7）>0，解得t<-1或t>3.（-∞，-1）∪（3，+∞）【变式训练】解析：若方程x2+y2-ax+2y+1＝0能表示圆，则（-a）2+22-4×1>0，解得a≠0.所以，若方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则a＝0.2.［2020·山东青岛高二检测］若方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则实数a的值为（　　）A.0　　 B.1　　 C.-1　　 D.2A   【变式训练】 A<3>求圆的一般方程例6 已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l经过点B且与直线x-y+1＝0平行，点A和点C关于直线l对称.（1）求直线AC的方程；（2）求△ABC外接圆的方程.【解题提示】　（1）先由题意求出直线l的方程，再由点A和点C关于直线l对称，确定直线AC的斜率，由点斜式写出直线AC的方程即可；（2）可根据题意求出圆心坐标以及半径，得到圆的标准方程；也可结合（1）的结果先求出点C的坐标，再由待定系数法设出圆的一般方程，将A、B、C三点坐标代入得出方程组，求解即可.【解】　（1）∵ 直线l与直线x-y+1＝0平行，∴ 直线l的斜率kl＝1.又∵ 点A和点C关于直线l对称，∴ 直线AC与l垂直，∴ 直线AC的斜率kAC＝-1.又∵ 直线AC过点A（1，1），∴ 直线AC的方程为y-1＝-（x-1），即x+y-2＝0.  ［2020·河南驻马店高一期末］已知△ABC三个顶点坐标为A（0，2），B（0，-2），C（-2，2）.（1）在△ABC中，求与BC边平行的中位线所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程.【变式训练】解：（1）由题意知，AC边的中点为（-1，2），AB边的中点为（0，0），故与BC边平行的中位线所在直线方程为2x+y＝0. 【方法技巧】过不共线的三点A，B，C的圆的方程的求法1.待定系数法（代数法）：设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0，分别把三个点的坐标代入，求出待定系数D，E，F，即可求出圆的方程；2.直接法（几何法）：因为所求圆为△ABC的外接圆，所以△ABC任意两边的中垂线交点即为外接圆的圆心，顶点到圆心的距离即为外接圆的半径，代入圆的标准方程即可.<4>点与圆的位置关系问题例7 已知点A是圆C：x2+y2+ax+4y-5＝0上任意一点，点A关于直线x+2y-1＝0的对称点也在此圆上，则实数a＝　　　　.  【变式训练】B 题组三　与圆有关的轨迹问题例8 已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足|PA|＝λ|PB|（λ>0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝　　　　；若λ＝2，则点P的轨迹方程为　　　　.【解题提示】　设P（x，y），把|PA|＝λ|PB|两边平方，整理得，（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+4（1+λ2）x+4-4λ2＝0，从而可得结果. 已知圆C与y轴相切，圆心在直线x-2y＝0上，且经过点A（2，3），求圆C的方程.【变式训练】解：∵ 圆心在直线x-2y＝0上，∴ 设圆心坐标为（2a，a）.又圆C与y轴相切，∴ 半径r＝2|a|.设圆C的标准方程为（x-2a）2+（y-a）2＝4a2，∵ 圆C经过点A（2，3），∴ （2-2a）2+（3-a）2＝4a2，∴ a＝1或a＝13，∴ 圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2＝4或（x-26）2+（y-13）2＝676.【方法技巧】求轨迹方程的常用方法1.直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.2.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义写出动点的轨迹方程.3.代入（相关点）法：动点P（x，y）随另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程.1.圆的标准方程圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2＝r2.表示以点（a,b）为圆心，r为半径的圆.2.点与圆的位置关系 3. 圆的一般方程