高中数学2.2.3 两条直线的位置关系优质ppt课件

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重点：两直线平行，垂直的条件难点：用代数方法推导平行和垂直条件的思路
1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和斜率判定直线平行与垂直的差别.
1.两条直线的相交、平行与重合
如果两条直线斜率都存在，且直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，则：l1与l2相交k1≠k2；l1与l2平行k1＝k2且b1≠b2；l1与l2重合k1＝k2且b1＝b2.
设直线l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0.v1＝（A1，B1）是直线l1的一个法向量，v2＝（A2，B2）是直线l2的一个法向量，如图（1）（2）所示，不难看出：（1）l1与l2相交（即只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1；（2）l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即 .
（1） （2）
题组一 两条直线平行关系的判定例1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行：（1）直线l1经过点A（2，1），B（-3，5），直线l2经过点C（3，-2），D（8，-7）；（2）直线l1平行于y轴，直线l2经过点P（0，-2），Q（0，5）；（3）直线l1经过点E（0，1），F（-2，-1），直线l2经过点G（3，4），H（2，3）.
【规律方法】判定两条直线平行的常用方法在判断两直线是否平行时，先看两直线的斜率是否存在，再进行判断，同时注意不要漏掉两直线重合的情况.设两条斜率存在且不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下：
判断下列各组直线的位置关系.（1）l1：2x+y+1＝0，l2：x-y-5＝0；（2）l1：x-y-2＝0，l2：2x-2y+3＝0；（3）l1：3x-4y-1＝0，l2：6x-8y-2＝0.
题组二　两条直线垂直关系的判定例2 判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直：（1）l1经过点A（-1，-2），B（1，2），l2经过点P（-2，-1），Q（2，1）；（2）l1经过点A（3，4），B（3，6），l2经过点P（-5，20），Q（5，20）；（3）l1经过点A（1，3），B（-1，-1），l2经过点P（2，1），Q（4，0）.
解题提示：（1）（3）求出两直线的斜率，判断是否垂直；（2）易知直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，可判断两直线垂直.
【规律方法】两直线垂直与斜率的关系
题组三　根据两直线的位置关系求解参数问题例3 已知直线l1：3x-6y+1＝0，l2：x-my+2＝0，l3：nx+y+3＝0，若l1∥l2，且l1⊥l3，则m-n的值为（　　）A.4B.-4C.2D.0
（1）当m为何值时，直线l1：2x+（m+1）y+4＝0与直线l2：mx+3y-2＝0平行？（2）当a为何值时，直线l1：（a+2）x+（1-a）y-1＝0与直线l2：（a-1）x+（2a+3）y+2＝0垂直？
题组四　直线系方程的应用<1> 过两条相交直线交点的直线系方程的应用例4 （1）斜率为-2且过两条直线3x-y+4＝0和x+y-4＝0的交点的直线的方程为　　　　.（2）过直线2x-y+4＝0与直线x+y+5＝0的交点，且与直线x-2y＝0垂直的直线的方程是　　　　.
（2）（方法一）直线2x-y+4＝0与直线x+y+5＝0的交点的坐标为（-3，-2），所求直线的斜率为k＝-2，所以所求的直线方程为y+2＝-2（x+3），即2x+y+8＝0.（方法二）设所求的直线方程为2x-y+4+λ（x+y+5）＝0，整理得（2+λ）x+（λ-1）y+4+5λ＝0，因为所求直线与直线x-2y＝0垂直，所以满足2+λ-2（λ-1）＝0，所以λ＝4，故所求直线的方程为2x+y+8＝0.（方法三）因为所求直线与直线x-2y＝0垂直，故设所求直线方程为-2x-y+c＝0，又直线2x-y+4＝0与直线x+y+5＝0的交点的坐标为（-3，-2），将其代入直线方程-2x-y+c＝0可得c＝-8，故所求直线方程为2x+y+8＝0.答案：（1）2x+y-4＝0　（2）2x+y+8＝0
［2020·河南南阳高一联考］求经过直线l1：x+3y-3＝0和l2：x-y+1＝0的交点，且平行于直线2x+y-3＝0的直线l的方程.
<2>平行直线系和垂直直线系方程的应用例5 求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线3x+4y+8＝0平行且过点（3，-2）的直线l的方程为　　　　；（2）经过点A（2，1），且与直线2x+y-10＝0垂直的直线l的方程为　　　　.
【规律方法】根据直线的位置关系求直线方程的方法（1）根据两直线平行或垂直，可先确定出待求直线的斜率，再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程.（2）根据平行直线系方程或垂直直线系方程，设出待求直线的方程，利用待定系数法求解.
若a+b+c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax+by+c＝0必过一个定点.
题组五　对称问题<1>直线关于点对称例6 直线y＝2x+1关于点（1，1）对称的直线l的方程是　　　　.
［2020·河北五校联考］直线ax+y+3a-1＝0恒过定点M，则直线2x+3y-6＝0关于M点对称的直线方程为（　　）A.2x+3y-12＝0B.2x-3y-12＝0C.2x-3y+12＝0D.2x+3y+12＝0
<2>点关于直线对称例7 已知不同的两点P（a，b）与Q（b+1，a-1）关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）A.y＝x-2 B.y＝x+2C.y＝x-1 D.y＝x+3
［2020·河北高二期中］已知线段AB的中垂线方程为x-y-1＝0且A（-1，1），则B点坐标为（　　）A.（2，-2）B.（-2，2）C.（-2，-2）D.（2，2）
<3>直线关于直线对称例8 求直线l1：x-y-2＝0关于直线l：3x-y+3＝0对称的直线l2的方程.
【规律方法】直线l1与l2关于直线l对称，它们满足的几何性质如下：（1）若l1与l2相交，则直线l是l1，l2夹角的平分线所在的直线；（2）若l1与l2平行，则直线l在l1，l2之间且到l1，l2的距离相等；（3）若点A在l1上，则点A关于直线l的对称点B一定在l2上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.
设入射光线沿直线y＝2x+1射向直线y＝x，则被y＝x反射后，反射光线所在的直线方程是（　　）A.x+2y+3＝0B.x-2y+1＝0 C.3x+2y-1＝0D.x-2y-1＝0
<4>对称问题的应用例9 在直线l：x-y-1＝0上求两点P，Q，使得：（1）点P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大.（2）点Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小.
【规律方法】求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法当两点A，B在直线l的两侧时，可以在直线l上找到一点P，使得||PA|-|PB||最大.如图，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，交l于点P，连接PB，则点P就是所求点.若在直线l上取不同于点P的点P′，连接P′A，P′B，P′B′，则|P′B|＝|P′B′|.在△AP′B′中，||P′A|-|P′B′||<|AB′|（三角形两边之差小于第三边），即||P′A|-|P′B||<|AB′|，当P′与P重合时，||PA|-|PB||最大，且||PA|-|PB||max＝|AB′|.
求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法当两点A，C在直线l的同侧时，可以在直线l上找到一点Q，使得|QA|+|QC|最小.如图，作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交l于点Q，则点Q就是所求点.若在直线l上取不同于点Q的点Q′，连接Q′A，Q′C，Q′C′，QC，AC，则|Q′C|＝|Q′C′|，|QC|＝|QC′|.在△Q′AC′中，|AC′|<|Q′C′|+|Q′A|（三角形两边之和大于第三边），当A，Q′，C′三点共线，即Q′与Q重合时，|QA|+|QC|最小，且（|QA|+|QC|）min＝|AC′|.
在直线l：3x-y-1＝0上求点P，Q，使得：（1）点P到点A（4，1），B（0，4）的距离之差的绝对值最大；（2）点Q到点A（4，1），C（3，4）的距离之和最小.