【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（9）解析几何A卷

（9）解析几何

A卷

1.在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,直线与双曲线C交于两点,点在双曲线C上.

(1)求线段中点的坐标;

(2)若,过点D作斜率为的直线与直线交于点P,与直线交于点Q,若点满足,求的值.

2.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值.

3.已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程.

4.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.

（1）求椭圆C的标准方程

（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

5.设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.

（1）求C的方程；

（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程.

6.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，证明：直线HN过定点.

7.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在AB上；②；③.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

8.已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率；

（2）若，求的面积.

9.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
 

（1）求椭圆C的方程.

（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

10.已知半椭圆和半圆组成曲线C.如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.

（1）求曲线C的方程；

（2）连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证为定值.

答案以及解析

1.答案：(1)

(2)

解析：本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合应用.

(1)依题意,双曲线C的离心率,则, 故双曲线C的方程为.

联立得,且.

设,则.

设线段的中点为,故,

将代入直线,得,

故线段的中点坐标为.

(2)依题意,,则双曲线C的方程为.

直线,又点在双曲线C上,

所以,故直线的方程为.

由题可知,点均不重合,由易知为的外心,设,则,即,即.

线段的垂直平分线的方程为,线段的垂直平分线的方程为.

联立得

联立解得,同理.

故,

故解得

代入方程,得,

即,则.

2.答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）-4

解析：（Ⅰ）依题意可知，
得，故椭圆E的方程为.

（Ⅱ）由题可知直线BC的方程为，
设，，
联立直线BC和椭圆E的方程，得，
整理得，
，，
由得，
易知直线AB的斜率，
直线AB的方程为，

令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标.





，得.

故k的值为-4.

3.答案：(1)方程为.

(2)方程为.

解析：(1)设，

因为抛物线C的焦点为，所以当直线l过C的焦点时，

直线AB的方程为，

由得.

则，

，

整理得，

所以，故抛物线C的方程为.

(2)易知直线AB的斜率在在具不为零，设直线AB的方程为，

由得，

则，即或，.

易知直线AQ的方程为，

由得，

设，则，

设，同理可得，

则

，

得，故直线AB的方程为.

4.答案：(1)标准方程为.

(2)过定点.

解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，

，

四边形OMPN的周长为，

，

，

，

椭圆C的标准方程为.

(2)设，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入，整理得，

则，

.

易知，

，

化简得，

或(舍去)，

直线l的方程为，即，直线l过定点.

当直线l的斜率不存在时，设，

代入，解得，

由得，

，解得或(舍去)，

此时直线l过点.

综上，直线l过定点.

5.答案：（1）C的方程为；

（2）

解析：（1）当轴时，有，得，
所以抛物线C的方程为.

（2）如图，根据（1）知，.
当轴时，易得，此时.
当MN的斜率存在时，设，，，，
 

则直线MN的方程为，
即，
即，
所以直线MN的方程为.
同理可得，直线AM的方程为，直线BN的方程为，直线AB的方程为.
因为在MN上，所以.

因为在AM，BN上，所以，，
所以，.
所以，，
所以直线AB的方程可化为，
所以，，
所以.
当时，，所以不符合题意.
当时，，，
当且仅当，，即时取等号，
此时取得最大值，直线AB的方程为.

6.答案：（1）；
（2）直线HN过定点

解析：（1）椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，
可设椭圆E的方程为，
又椭圆E过，，得，
E的方程为.

（2）当直线MN的斜率不存在时，，
由，得，.
结合题意可知，，
过M且平行于x轴的直线的方程为.
易知点T的横坐标，直线AB的方程为即，
由，得，.
，，
，即.
当直线MN的斜率存在时，如图，设，，.
由，得，，，.

过M且平行于x轴的直线的方程为，
与直线AB的方程联立，得，得，
.
，，
，
即.
令，得

.
，
，
，

，

，
，
直线HN过定点.

综上，直线HN过定点.

7.答案：（1）

（2）见解析

解析：（1）由题意得①.

因为双曲线的渐近线方程为，
所以②.

又③，
所以联立①②③得，，
所以双曲线C的方程为：.
（2）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为，
将直线PQ的方程代入C的方程，整理得，
则，，所以，
所以.
设点M的坐标为，则，
两式相减，得，
又，
所以，解得；
两式相加，得，
又，
所以，
解得.
因此，点M的轨迹为直线，其中k为直线PQ的斜率.

若选择①②：因为，所以直线AB的方程为，设，，
不妨令点A在直线上，
则由，
解得，，
同理可得，，
所以，.
点M的坐标满足，
得，，
故M为AB的中点，即.

若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，
此时M不在直线上，矛盾.
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为，，，
不妨令点A在直线上，
则由，解得，，
同理可得，，
因为M在AB上，且，
所以，，
又点M在直线上，所以，
解得，因此.
若选择②③：因为，所以直线AB的方程为，设，，
不妨令点A在直线上，则由，解得，，
同理可得，.
设AB的中点为，则，.
因为，所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线，即上，
与联立，得，，
即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上.

8.答案：（1）-1

（2）

解析：解：（1）将点A的坐标代入双曲线方程得，
化简得，得，
故双曲线C的方程为.

由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
，，
联立直线l与双曲线C的方程并整理得，
故，.
，
化简得，
故，
整理得，

又直线l不过点A，即，故.

（2）不妨设直线PA的倾斜角为，由题意知，
所以，
解得或（舍去），
由，得，
所以，
同理得，所以.
因为，所以，
故.

9.答案：（1）；（2）是定值，.

解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，

①，又由，化简得②，

①②两式联立解得：或（舍去），，，

椭圆方程为；

（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，

则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，

直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，

，

把直线代入椭圆得，

由韦达定理得，

，是定值.

10.答案：（1）和

（2）见解析

解析：（1）因为点M在半圆上，所以，又，所以.

当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，的面积最大.

因为，所以，

又，所以，

所以曲线C的方程为和.

（2）证明：由题意得，，

设，

则，令，得，即，

，令，得，

即，

又，，，

所以

.