2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（12）解答题C卷【配套新教材】

（12）解答题C卷

1.已知抛物线的焦点为为坐标原点,横坐标为的点P在抛物线C上,满足.

(1)求抛物线C的方程.

(2)过抛物线C上的点A作抛物线C的切线与O不重合,过O作l的垂线,垂足为B,直线与抛物线C交于点D.当原点到直线的距离最大时,求点A的坐标.

2.已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若.

（I）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程.

3.已知抛物线，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D.是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

4.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点.

（1）若，求抛物线的方程；

（2）求的最大值.

5.已知抛物线与圆交于点,点N在x轴的上方,.

(1)求抛物线C的方程.

(2)若平行于x轴的直线l交直线于点P,交抛物线C于点Q,且,求直线的方程.

6.已知点F为抛物线的焦点,点满足.

(1)求抛物线C的方程.

(2)若直线与C交于两点,则直线关于直线对称,证明:直线l过定点.

7.设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,过点F的直线l交抛物线于两点,线段的长是8,的中点到y轴的距离是3.

(I)求抛物线的标准方程;

(Ⅱ)设直线的斜率分别为,直线l的纵截距为1,此时数列满足.设数列的前n项和为,已知存在正整数m,使得,求m的值.

8.若抛物线上的第一象限的点满足，其中O为坐标原点，F为抛物线的焦点.

（1）求C的方程；

（2）过点的直线l与C交于A，B两点，试问点M是否总在以AB为直径的圆上？若是，请证明；若不是，请说明理由.

9.已知抛物线，，P为E上一动点.

（I）若，求的最小值；

（Ⅱ）过A作E的两条切线，交y轴于B，C两点，若外接圆半径，求抛物线E的方程.

10.已知圆的圆心是抛物线的焦点.

(1)求该抛物线的方程；

(2)直线与该抛物线交于A，B两点，与圆F交于C，D两点，，求实数t的值.

答案以及解析

1.答案：(1)

(2)或

解析：本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系.

(1)依题意设点,

由,得,

又,解得,

所以抛物线C的方程为.

(2)设,由求导,得,

所以过点A的切线l斜率为,

所以切线l的方程为,

即.

因为直线与切线l垂直,所以,

直线方程为,即,

由解得或(舍).

即点.

因为,所以,

则直线的方程为,

即.

原点到直线的距离,

当且仅当,即时,等号成立.

所以原点到直线的距离最大为2,

此时点A坐标为或.

2.答案：（I）

（Ⅱ）或

解析：（I）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，

联立，消y整理得

.

设，，

则，

则，解得，

所以抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）由题知，直线n的斜率显然存在，

设直线n的方程为，

联立

消去y整理得.

因为直线n与椭圆相切，

所以，

整理得.

联立，消去y整理得

.

因为直线n与抛物线相切，

所以，

整理得，

所以，

解得或

所以直线n的方程为或.

3.答案：（1），准线方程为

（2）存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或

解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得，

所以，

所以准线方程为.

（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，.

由消去y，得.

令，解得.

所以且.

由根与系数的关系得，.

解法一：直线BF的方程为，

又，所以，

所以，

因为，所以直线DE与直线AF的斜率相等.

又，所以.

整理得，即，

化简得，

，即.

所以，整理得，

解得.经检验，符合题意.

所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.

解法二：因为，所以，

所以.

整理得，即，

整理得.

解得，经检验，符合题意.

所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.

4.答案：（1）

（2）

解析：（1）由条件知，与联立，消去y，得，则.由抛物线的定义得.

又因为，所以，所以抛物线的方程为.

（2）解法一：由（1）知，且，设，

则M到AB的距离.

因为点M在直线AB的上方，

所以，

则

.

当时，.

故的最大值为.

解法二：由（1）知，且，

设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，

代入抛物线方程，得.

令，得.

所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，

两平行直线间的距离，

故的最大值为.

5.答案：(1)

(2)

解析：(1)由抛物线与圆的对称性及,点N在x轴的上方,得点N的纵坐标为p.

代入,解得,则点.

将点N的坐标代入,解得.

所以抛物线C的方程为.

(2)由(1)知,,

所以直线的方程为.

设直线l的方程为,

则,

所以.

由,得,

所以点Q的坐标为.

设直线的斜率为k,则,

所以直线的方程为.

即.

6.答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)由题意可知,.

又,

所以.

由,得.

整理,得,

解得或(不合题意,舍去).

故抛物线C的方程为.

(2)证明：由题意可知.

设.

由消去y并整理,得,

所以.

因为直线关于直线对称,

所以.

又,所以,

所以,即,

所以.

整理,得,

即,

所以,则.

所以直线过定点.

7.答案：(I)

(Ⅱ)2 021

解析：(I)设抛物线的标准方程为.

由题意及抛物线的定义可知.

又线段的中点到y轴的距离为3,

,

,

,

∴抛物线的标准方程为.

(Ⅱ)依题意可知直线l过点和,可得直线I的方程为.

由消去x并整理得,

则,

,

则,即,

由此可得,

,

.

由,得.

又,

∴正整数m的值为2 021.

8.答案：（1）

（2）点M总在以AB为直径的圆上，理由见解析

解析：（1）依题意得，，，，

所以.①

又，②

联立①②解得，

所以抛物线C的方程为.

（2）证明：①若直线l的斜率不存在，则直线方程为，联立，可得，，

所以以AB为直径的圆的方程为.

又，此时点M在以AB为直径的圆上.

②若直线l的斜率存在，可设直线方程为，与联立，消去x并整理得，

设，，

由韦达定理得

则，.

又，，

所以

，

所以，此时点M在以AB为直径的圆上，

综上，点M总在以AB为直径的圆上.

9.答案：（I）3

（Ⅱ）

解析：（I）由题易得抛物线E的焦点为，

则，

，即的最小值为3.

（Ⅱ）设切线AB，AC的方程分别为，，，，

令，则，，

联立消去x并整理得，

，即，

设BC中点，

则，

即，且.

设外接圆的圆心，

则，

解得或（舍）.

综上，抛物线E的方程为.

10.答案：(1)方程是.

(2)1或.

解析：(1)将圆F的一般方程化成标准方程为，

圆心是，圆的半径为2.

圆心是抛物线的焦点，

所求抛物线的方程是.

(2)联立，消去x得，

，

.

点到直线的距离，

.

，，

，

即，

解得或(舍负)，

即实数t的值为1或.