第七单元 用方程解决问题——2022-2023学年五年级下册数学北师大版知识点总结+练习学案（教师版+学生版）

北师大版数学五年级下册

知识点01：解形如“ax±x=b”类型的方程

根据乘法分配律和等式的性质来解，具体步骤如下：

ax±x=b

解：(a±1)x=b

x=b÷(a±1)

知识点02：解如“ax±x=b”类型的方程

根据乘法分配律和等式的性质来解，具体步骤如下：

ax±bx=c

解:(a±b)x=c

x=c÷(a±b)

知识点03：解决相遇问题

可以根据“速度和×相遇时间=路程和”这个等量关系来列方程。

速度和×相遇时间=路程和；路程和÷相遇时间=速度和；路程和÷速度和=相遇时间。

知识点04：方程法解题

就是把题中的末知量用x表示，使未知量x与已知量处于同等地位，直接参加运算。根据题意先找出等量关系，列出含有末知数的等式，再求得未知量的值的一种解题方法。

考点01：列方程解应用题（两步需要逆思考）

【典例分析01】请你用方程表示下面各题中数量间的相等关系。

（1）小红买了5支笔，共付9元，每支x元。

（2）文具店原有乒乓球40筒，卖出x筒，还剩18筒。

（3）甲地距乙地skm，一辆汽车以每小时42km的速度从甲地开往乙地，12小时到达。

【分析】（1）根据等量关系：每支笔的钱数×买的数量＝总钱数，列方程即可。

（2）根据等量关系：卖出的筒数+剩下的筒数＝总筒数，列方程即可。

（3）根据等量关系：路程÷速度＝时间，列方程即可。

【解答】解：（1）5x＝9

                 x＝1.8

答：每支1.8元。

（2）x+18＝40

              x＝22

答：卖出22筒。

（3）s÷42＝12

               s＝504

答：甲地距乙地504km。

【点评】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。

【变式训练01】看图列方程，并求出方程的解。

【变式训练02】2020年亚洲人口约54亿，比欧洲人口总数的5倍还多4亿人，欧洲人口大约有多少亿人？

【变式训练03】甲、乙两个工程队共同加固一段河堤，甲工程队有138人，乙工程队有96人，因工作需要，要从乙工程队调出一部分人到甲工程队，调动后甲工程队的人数是乙工程队人数的2倍，从乙工程队调多少人去甲工程队？（列方程解答）

考点02：列方程解三步应用题(相遇问题)

【典例分析02】甲乙两地全长55千米，一辆巴士从甲地出发，每小时行驶50千米，一辆小轿车从乙地出发，每小时行60千米，两车同时出发后几小时会相遇？（列方程解答）

【分析】根据“速度和×相遇时间＝甲乙两地的路程”，设两车同时出发后x小时会相遇，据此列方程解答。

【解答】解：设两车同时出发后x小时会相遇。

（50+60）×x＝55

        110x＝55

           x＝0.5

答：两车同时出发后0.5小时会相遇。

【点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的数量关系，由此列出方程解决问题。

【变式训练01】甲、乙两辆汽车同时从上海和南京相对开出，经过3.1小时后，甲车在超过中点12.4km处和乙车相遇.甲车平均每小时行54km，乙车平均每小时行多少千米？

【变式训练02】甲、乙两地相距294千米，一辆客车和一辆货车先后从两地出发，相向而行．货车先开出0.5小时后客车开出，已知货车每小时行60千米，客车的速度是货车的1.2倍．客车开出几小时后两车相遇？

【变式训练03】甲、乙两列火车分别从东、西两地同时相对开出，5小时后相遇。甲车速度是110千米/时，乙车速度是100千米/时。求东、西两地间的路程。（先画图整理条件和问题，再解答）

一．选择题（共5小题）

1．五（2）班植树108棵，比五（1）班植树棵数的2倍少40棵，五（1）班植树多少棵？如果设五（1）班植树x棵，下列方程错误的是（　　）

A．2x﹣40＝108 B．2x﹣108＝40 C．2x+40＝108

2．正方形ABCD（如图），边长80米，甲从A点，乙从B点，同时沿逆时针方向运动，每分钟的速度甲为135米，乙为120米，每过一个顶点时要多用5秒，出发后，甲与乙在何处相会（　　）

A．A B．B C．C D．D

3．常乐小学五年级有四个班，每个班植树12棵，五年级同学植树棵数是四年级的3倍，四年级同学植树多少棵？解：设四年级同学植树x棵。下列方程正确的是（　　）

A．x÷3＝12 B．12÷x＝3 C．3x＝12 D．3x＝12×4

4．王大爷家养了70只鸡，比鸭的4倍少2只，设鸭有x只，下列方程不正确的是（　　）

A．4x＝70+2 B．70﹣4x＝2 C．4x﹣2＝70

5．王顺和李小军同时从两地沿一条公路面对面走来。王顺的速度是73米/分，李小军的速度是88米/分，经过4分钟两人相遇。相遇时李小军比王顺多走了（　　）米。

A．60 B．279 C．644

二．填空题（共5小题）

6．某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要　   　秒．

7．甲、乙两车同时从两地相对开出，5小时相遇，两地相距360千米，甲车每小时行x千米，乙车每小时行40千米．等量关系：　   　，方程：　   　．

8．甲、乙两船同时从两港口相对开出，甲船每小时行50千米，乙船每小时行40千米，两船相遇时，甲船行了200千米。甲、乙两船经过 　   　小时相遇，两港口相距 　   　千米。

9．给下面的实际问题补上问题，使方程成立．

食堂运来120kg大米，已经吃了7天，还剩64kg．　   　？

解：设所求未知数为x则7x+64＝120

10．根据图可列方程为 　   　，解得x＝　   　。

三．判断题（共5小题）

11．甲、乙共有50本书，甲给乙8本，则两人的本数相同，求甲、乙原有书的本数。用方程解，设乙原来有x本书，列方程式x+x+8＝50。 　   　

12．0÷x＝0中，x可以是除0外的任何数．　   　．

13．学校买来200本科技书，买的故事书比科技书的2倍少50本，买故事书多少本？解：设买故事书x本．2x﹣50＝200，x＝125．　   　．

14．一个数的8倍比50少8，求这个数．设这个数是x，列式为8x﹣8＝50．　   　．

15．小胖看一本书210页的书，前5天平均每天看18页，剩下的页数平均每天看15页，还要几天可以看完？设：还要x天可以看完．列出方程：210﹣15x＝5×18　   　

四．应用题（共5小题）

16．一套桌椅的价格共480元，椅子的价格是桌子的。桌子的价格是多少元？（用方程解）

17．妈妈买苹果和梨各2kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱？（用方程解答）

18．据调查，我国成人平均每天的食盐摄入量为10.5克，比《中国居民膳食指南》建议成人平均每天食盐最多摄入量的2倍还多0.5克。《中国居民膳食指南》建议成人平均每天最多摄入多少克食盐？（列方程解答）

19．A、B两地相距300千米，甲、乙两辆汽车同时从两地同时从A、B两地相向而行，2.5小时后相遇。已知甲车每小时比乙车多行驶12千米，甲车的速度是每小时多少千米？（用方程解答）

20．快车和慢车同时从相距324千米的甲乙两地相对开出，3小时相遇，已知慢车每小时行驶47.5千米，快车每小时行驶多少千米？（列方程解答）

一．选择题（共5小题）

1．一条路长480米，甲乙两个修路队同时从路的两端开始修路，4天修完。已知甲队每天65米，乙队每天修x米。不正确的方程是（　　）

A．65×4+4x＝480 B．（65+4x）×4＝480 

C．65+x＝480÷4 D．4x＝480﹣65×4

2．甲、乙两数之和为50，甲数比乙数的4倍多2，乙数是几？设乙数为x，列方程正确的是（　　）

A．4x+2＝50 B．4+x+2＝50 C．4x+x+2＝50 D．4x﹣2＝50﹣x

3．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知客车每小时行70千米，货车每小时行x千米。下面所列方程错误的是（　　）

A．70×4+4x＝480 B．4x＝480﹣70 

C．70+x＝480÷4 D．（70+x）×4＝480

4．淘气和笑笑在操场跑步，淘气跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分。淘气和笑笑同时从起点出发，他们至少要经过（

）分才能在起点第一次相遇。

A．24 B．12 C．6

5．下列关系式与此图线段图不相符的是（　　）

A． B．x﹣（）＝180 

C．x（1﹣﹣）＝180 D．＝180

二．填空题（共6小题）

6．奇思每分跑280米，妙想每分跑320米。环湖公路一周的长度是5400米，两人同时反方向跑步，　   　分钟后两人相遇。

7．（1）图中的等量关系是：　   　；

（2）列方程：　   　，解得x＝　   　。

8．广济中心小学开展Steam玩创节，参加“乐器秀”的有250人，比参加”小车秀”的人数多，用方程求参加“小车秀”的人数依据的等量关系是　   　，列出的方程为　   　。

9．小英和爷爷去操场上散步。爷爷走一圈需要10分钟，小英走一圈需要8分钟。如果两人同时从同一个地方出发，相背而行，相遇时他们都走了 　   　分钟。

10．客车和货车从两地同时出发，相向而行，已知客车行完全程要15分钟，货车每分钟行300米。当客车行了全程的时与货车相遇，相遇时货车行了 　   　米。

11．水果店购进一批苹果，若卖2.4元/kg，就会亏40元；若把单价提到2.7元/kg，就会赚80元。老板购买这批苹果一共用了 　   　元。（建议用方程思维解题）

三．判断题（共5小题）

12．一个数减去60，得到的差再除以60，商是7，这个数是420．　   　

13．如五年级一班有女生32人，比男生的2倍少23人，则五年级一班的女生比男生多．　   　

14．计算图中两条彩带一共长多少米，列出的方程是6.9＝x+2.7．　   　

15．三个连续的自然数的平均数是27，那么中间数是27．　   　．

16．小东和爷爷去操场散步。小东走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要8分钟。如果两人同时从同一个地方出发，相背而行，相遇时他们都走了4分钟。 　   　

四．应用题（共5小题）

17．足球的单价是88元，比篮球单价的还多7元。篮球单价是多少元？（用方程解）

18．将一批帐篷和棉被共350个运往灾区，帐篷数量是棉被数量的，这批帐篷和棉被各有多少个？（用方程解答）

19．甲、乙两船同时从相距273km的两个码头相向驶出，3小时后相遇。已知乙船的速度比甲船的2倍少5km，甲、乙两船的速度是多少千米/时？（列方程解答）

20．A、B两地相距440千米，甲、乙两辆汽车分别从AB两地相向而行，经过2.5小时相遇，已知甲车的速度是乙车的1.2倍。求甲乙两车每小时各行多少千米？（列方程解答）

21．学校举行书画竞赛，四、五年级共有75人获奖，其中五年级获奖人数是四年级的1.5倍，四、五年级各有多少同学获奖？（先写出等量关系，再列方程解答）

一．选择题（共5小题）

1．（2022秋•内黄县期末）一条路长480米，甲乙两个修路队同时从路的两端开始修路，4天修完．已知甲队每天65米，乙队每天修x米．不正确的方程是（　　）

A．65×4+4x＝480 B．（65+x）×4＝480 

C．65+x＝480÷4 D．4x＝480﹣65

2．（2022秋•胶州市期末）2021年我国高铁运营里程达到4万千米，比2015年的2倍多0.04万千米。2015年我国高铁运营里程是多少万千米？如果设2015年我国高铁运营里程是x万千米，则下列方程正确的是（　　）

A．2x+0.04＝4 B．2x﹣0.04＝4 C．2x＝4+0.04

3．（2022秋•殷都区期末）上海“东方明珠”广播电视塔高468米，是一栋普通住房高度的30倍。这栋普通住房高多少米？设这栋普通住房高x米，下列方程错误的是（　　）

A．30x＝468 B．x÷30＝468 C．468÷x＝30

4．（2022秋•竹溪县期末）甲、乙两列火车同时从两地相对出发，4小时后在离中点10千米的地方相遇。已知慢车每小时行50千米，快车每小时行多少千米？设快车每小时行x千米，下列方程正确的是（　　）

A．4x﹣50×4＝10 B．4x﹣50×4＝10×2 

C．4x﹣10＝50×4+10×2

5．（2021秋•历城区期末）两地间的路程是455km，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过3.5小时相遇。甲车每小时行68km，乙车每小时行多少千米？正确的列式是（　　）

A．（455﹣68）÷3.5 B．（455﹣68）÷（68+3.5） 

C．455÷3.5﹣68

二．填空题（共5小题）

6．（2022春•莱阳市期末）正方形的边长为x厘米，周长为36厘米，列方程为 　   　，方程的解为 　   　。

7．（2021秋•江北区期末）李叔叔从A市到B市要2小时，王叔叔从B市到A市要3小时，两人同时分别从A市和B市出发，　   　小时后相遇。

8．（2022•湘潭县）在一幅地图上，图上3cm对应的实际距离是120km，这幅地图的比例尺是 　   　；在这幅地图上量得A、B两个城市间的公路长12cm，甲、乙两车分别从A、B两个城市相向而行，甲车每小时行驶78km，乙车每小时行驶82km，两车 　   　小时相遇。

9．（2022春•莱西市期末）小明看一本故事书，看了20页，剩下的页数是看了的3倍，这本故事书有x页。题中的数量关系式是 　   　，根据题意列出方程 　   　。

10．（2021春•李沧区期末）一辆货车和一辆轿车同时从A地出发去B地。货车平均每小时行驶60千米，轿车平均每小时行驶80千米。轿车到达B地，停留了1小时又按原路返回，在距B地20千米处与货车相遇。A、B两地相距 　   　千米。

三．判断题（共5小题）

11．（2022春•新城区期中）列方程要先找到等量关系。 　   　

12．（2022春•神木市期末）等式0.3x＝4.5是方程。 　   　

13．（2021春•镇巴县期末）同学们参加“喜迎十四运”绘画展览，五年级一共去了264人，五年级去的人数比四年级的1.4倍少16人，设四年级去了x人，则可列方程为1.4x﹣16＝264。 　   　

14．（2014秋•南京期末）一道商是一位数的除法题，商8后，余数正好与除数相等，那么把商改成9，余数就一定为0　   　

15．（2022•吉首市）小东和爷爷去操场散步。小东走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要8分钟。如果两人同时从同一个地方出发，相背而行，相遇时他们都走了4分钟。 　   　

四．应用题（共5小题）

16．（2022秋•西城区期末）甲、乙两地铁路全长120km。一列火车从甲地开出，每小时行驶110km，另一列火车从乙地开出，每小时行驶90km。两列火车同时开出，经过几小时相遇？（用方程解答）

17．（2022秋•远安县期末）一个两层的货架上共有350kg的货物，下层货物的重量是上层货物重量的2.5倍，上、下层各有多少千克的货物？（用方程解）

18．（2022秋•江城区期末）A、B两地间的路程是425千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经过2.5小时两车相遇。甲车平均每小时行83千米，乙车平均每小时行多少千米？（列方程解答）

19．（2022秋•下陆区期末）学校准备印一些宣传资料，两家印刷厂的报价分别为：甲印刷厂每份0.8元，另收600元制版费；乙印刷厂每份1.2元，不收制版费。计算后发现，到甲印刷厂和乙印刷厂印刷的费用相同。问：学校准备印多少份宣传资料？（列方程解）

20．（2022秋•佛坪县期末）3筐苹果比4筐梨重12.5千克，已知梨每筐重25.4千克，苹果每筐重多少千克？（用方程解）