2022-2023学年福建省厦门第六中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门第六中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“，”的否定是“，”.

故选：C

2．设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】图中阴影部分表示的集合为，结合题意运算求解，注意集合的元素．

【详解】，图中阴影部分表示的集合为．

故选：A．

3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】判断奇偶性，再判断单调性后可得．

【详解】中函数是奇函数，C中是偶函数，B中函数无奇偶性．排除CB，

在上不是单调函数，在是上增函数．

故选：D．

4．已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（    ）

A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数

C．是偶函数 D．是奇函数

【答案】B

【分析】根据幂函数的图象过求得其解析式，然后逐项判断.

【详解】设幂函数f（x）＝xα，

因为幂函数y＝f（x）的图象过点 ，

所以，

解得，

所以，

所以y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A错误；B正确，

因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，

故选：B．

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性可排除选项A，B；根据函数在上的单调性可排除选项C，进而可得正确选项.

【详解】函数的定义域为且，关于原点对称，

因为，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项A，B，

当时，，

由在上单调递增，在上单调递减，

可得在上单调递增，排除选项C，

故选：D.

6．已知,,,则,,大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数单调性判断a,c的大小以及范围,又由,可选出结果.

【详解】解:由题知记 ,可知单调递减,

,

,

记 ,可知单调递增,

,

故选:C

7．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先将命题“，”为假命题转化“，”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.

【详解】命题“，”为假命题，

即命题“，”为真命题，

则，解得，

对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误；

对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误；

对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确；

对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误.

故选：C.

8．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和二次函数值域的求法可求得在每一段上的值域，根据有最小值可构造不等式求得结果.

【详解】当时，；当时，；

若存在最小值，只需，解得：，即实数的取值范围为.

故选：D.

二、多选题

9．已知，，下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.

【详解】对于A，由不等式性质，可得，正确；

对于B，时，显然不成立，故错误；

对于C，时，，故错误；

对于D，由可得，所以，

即，故正确.

故选 ：AD

10．已知且，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】由基本不等式判断各选项．

【详解】因为，所以

，当且仅当，即时等号成立，A正确；

，即，当且仅当，即时等号成立，B错；

，当且仅当时等号成立，C正确；

，当且仅当时等号成立，D正确．

故选：ACD．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

11．下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．函数的最小值为2

B．若，则的值为1

C．函数的减区间是

D．已知在上是增函数，若，则

【答案】BD

【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，因为，所以，故A错误；

对于B选项，若，则，，则，故B正确；

对于C选项，解不等式得，所以函数的定义域为，开口向下，对称轴为，所以函数的减区间是，故C错误；

对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故D正确.

故选：BD.

12．设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的值域为

C．的单调递增区间为 D．为偶函数

【答案】BCD

【分析】由题知，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为等式的解为或

所以的解集为，的解集为或，

所以，

所以对于A选项，，故A选项错误；

对于B选项，当时，，当时，，所以的值域为，故正确；

对于C选项，当时，在区间上单调递增，当时，函数为常函数，所以的单调递增区间为，故正确；

对于D选项，函数图像关于对称，其图像向左平移一个单位得图像，此时图像关于对称，即关于轴对称，故为偶函数，故正确.

故选：BCD

三、填空题

13．函数（且）恒过定点，则点的坐标为______.

【答案】

【分析】根据指数函数恒过定点求解.

【详解】函数（且）

令，即，可得.

故恒过点.

故答案为：.

14．已知函数，若，则_______.

【答案】

【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得.

【详解】解：因为，且，

所以或，

解得或无解；

故答案为：

15．函数的值域为______.

【答案】

【分析】令，结合换元法和二次函数性质即可求解

【详解】令，则原函数可代换为，由二次函数性质可知，的对称轴为，故在单调递增，当时，，故的值域为

故答案为：

16．设奇函数对任意的（），有，且，则的解集为______.

【答案】.

【分析】先根据得到单调递减，由函数为奇函数得到，从而根据函数奇偶性得到，由单调性解出解集.

【详解】因为，，所以单调递减，

又为奇函数，所以，

因为，所以，

故，

当时，只需，故解集为，

当时，只需，故解集为，

综上：的解集为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合A＝{x|x－a<0，a∈R}，集合B＝.                

（1）当a＝3时，求A∩B；

（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）分别求出集合A，B，再按交集的定义运算即可；（2）根据题意，结合数轴，数形结合即可.

【详解】（1）当时，，或

所以或

（2）因为，或

要使A∪B＝R，

只需

18．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2)．

【分析】(1)根据指数幂的运算法则计算即可；

(2)根据对数的运算法则计算即可．

【详解】（1）原式

．

（2）原式

．

19．已知函数（）是奇函数,是偶函数.

(1)求;

(2)判断函数在上的单调性并说明理由;

(3)若函数满足不等式,求出的范围.

【答案】(1)3;

(2)单调递增,理由见解析;

(3).

【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出即可;

(2)先判断单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积;

(3) 根据的奇偶性,将不等式化为,再根据的单调性及定义域写出范围解出即可.

【详解】（1）解:由题知（）是奇函数,

,

是偶函数,

,

,

,

故;

（2）在上的单调递增,理由如下:

由(1)知,

任取,

,

,

,

故在上的单调递增;

（3）由(1)(2)知是奇函数且在上的单调递增,

,

,

,

故.

20．已知（）.

(1)若的解集为，求关于的不等式的解集；

(2)若，解关于的不等式.

【答案】(1)或

(2)当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，由根与系数的关系即可求解，由分式不等式的求解即可得解；

（2）分类讨论即可求解含参数的一元二次型不等式，

【详解】（1）若的解集为,

则是方程的两根，

所以解得.

故不等式等价于.即，解得或.

所以不等式的解集为或

（2）当时，原不等式可化为.

当，即时，解得；

当，即时，解得；

当，即时，解得.

综上所述，

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

21．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.

【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.

（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.

【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

所以，

解得，

当时， ，

当时， .

所以

（2）①当时， ，所以；

②当时， ，由于，

当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.

综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.

【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；

（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

22．已知定义在上的奇函数．在时，．

(1)试求的表达式；

(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；

（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；

【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，，

因为在时，，

设，则，

则，

故 .

（2）解：由题意，可化为

化简可得，

令，，

因为在定义域上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，

，

故．